材料力学第七章弯曲剪应力.ppt

2. .公式推导公式推导( (1) ) 取微段取微段dx§§5. .7 梁的切应力梁的切应力t t 1 1MFSt t 2 2M+dMFSFxFMbhzySy§7-3 7-3 弯曲剪应力和强度校核弯曲剪应力和强度校核一一. .矩形截面截面梁的剪应力矩形截面截面梁的剪应力t t 1 1MFSt t 2 2M+dMFShbzyO在在h h b b的情况下的情况下结论：结论：zyy3. .切应力分布规律切应力分布规律§§5. .7 梁的切应力梁的切应力bhyzFSy2. 工字形截面梁工字形截面梁(1) 腹板上的切应力腹板上的切应力其中其中 可见腹板上的切应力在与中性轴可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向垂直的方向按二次抛物线规律变化按二次抛物线规律变化(2) 在腹板与翼缘交界处：在腹板与翼缘交界处：在中性轴处：在中性轴处： 对于轧制的工字钢，上式中的对于轧制的工字钢，上式中的 就是型钢就是型钢表中给出的比值表中给出的比值 ，此值已把工字钢截面的翼缘，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。

厚度变化和圆角等考虑在内(3) 翼缘上的切应力翼缘上的切应力 翼缘横截面上平行于翼缘横截面上平行于剪力剪力FS的切应力在其上、的切应力在其上、下边缘处为零下边缘处为零( (因为翼缘的因为翼缘的上、下表面无切应力上、下表面无切应力) )，可，可见翼缘横截面上其它各处见翼缘横截面上其它各处平行于平行于FS的切应力不可能的切应力不可能大，故不予考虑分析表大，故不予考虑分析表明，工字形截面梁的腹板明，工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力承担了整个横截面上剪力FS的的90%以上 但是，如果从长为但是，如果从长为d dx的梁段中的梁段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的分离体所示包含翼缘自由边在内的分离体就会发现，由于横力弯曲情况下梁就会发现，由于横力弯曲情况下梁的相邻横截面上的弯矩不相等，故的相邻横截面上的弯矩不相等，故所示分离体前后两个同样大小的部所示分离体前后两个同样大小的部分横截面上弯曲正应力构成的合力分横截面上弯曲正应力构成的合力 和和 不相等，因而铅垂的纵截不相等，因而铅垂的纵截面上必有由切应力面上必有由切应力t t1′构成的合力。

构成的合力udx A*自由边自由边根据根据 可得出可得出 从而由切应力互等定理可从而由切应力互等定理可知，翼缘横截面上距自由边为知，翼缘横截面上距自由边为u处有平行于翼缘横截面边长的处有平行于翼缘横截面边长的切应力切应力t t1，，而且它是随而且它是随u按线性按线性规律变化的规律变化的udx A*自由边自由边思考题思考题: 试通过分析说明，图试通过分析说明，图a中中所示上、下翼缘左半部分所示上、下翼缘左半部分和右半部分横截面上与腹和右半部分横截面上与腹板横截面上的切应力指向板横截面上的切应力指向是正确的，即它们构成了是正确的，即它们构成了“切应力流切应力流” 由由56a号工字钢制成的简支梁如图号工字钢制成的简支梁如图a所示，试所示，试求梁的横截面上的最大切应力求梁的横截面上的最大切应力t tmax和同一横截面上和同一横截面上腹板上腹板上a点处点处( (图图b) )的切应力的切应力t t a 不计梁的自重不计梁的自重例题例题 4-131.求求t tmax 梁的剪力图如图梁的剪力图如图c所示，由图可见所示，由图可见FS,max=75kN。

由型钢表查得由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图号工字钢截面的尺寸如图b所示，所示，Iz=65 586 cm4和和Iz/S * z,max=47.73cmd=12.5mm例题例题 4-13解解:例题例题 4-13其中：其中：于是有：于是有：2. 求求t ta例题例题 4-13腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示t tmax例题例题 4-133. 薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图的特征如图a所示：所示： (1) 由于由于d <

对称 薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力t tmax在中性轴在中性轴z上，半个环形截面的面积上，半个环形截面的面积A*=p pr0 ，，其其形心离中性轴的距离形心离中性轴的距离(图图b)为为 ，故求，故求t tmax时有时有及及得出：得出： 整个环形截面对于中性整个环形截面对于中性轴轴z的惯性矩的惯性矩Iz可利用整个截可利用整个截面对于圆心面对于圆心O的极惯性矩得的极惯性矩得到，如下：到，如下：从而有从而有式式中，中， A=2p pr0  为整个环形截面的面积为整个环形截面的面积(4) 圆截面梁圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲圆截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征时，其横截面上切应力的特征如图如图a所示：认为离中性轴所示：认为离中性轴z为为任意距离任意距离y的水平直线的水平直线kk'上各上各点处的切应力均汇交于点处的切应力均汇交于k点和点和k'点处切线的交点点处切线的交点O '，，且这些且这些切应力沿切应力沿y方向的分量方向的分量t ty相等因此可先利用公式因此可先利用公式 求出求出kk'上各点的切上各点的切应力竖向分量应力竖向分量t ty ，，然后求出各点处各自的切应力。

然后求出各点处各自的切应力 圆截面梁横截面上的圆截面梁横截面上的最大切应力最大切应力t tmax在中性轴在中性轴z处，其计算公式为处，其计算公式为II. 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 图图a所示受满布均布荷所示受满布均布荷载的简支梁，其最大弯矩载的简支梁，其最大弯矩所在跨中截面上、下边缘所在跨中截面上、下边缘上的上的C点和点和D点处于点处于单轴应单轴应力状态力状态(state of uniaxial stress) (图图d及图及图e)，，故根故根据这些点对该梁进行强度据这些点对该梁进行强度计算时其强度条件就是按计算时其强度条件就是按单轴应力状态建立的正应单轴应力状态建立的正应力强度条件力强度条件  该该梁梁最大剪力所在两最大剪力所在两个支座截面的中性轴上个支座截面的中性轴上E和和F点，通常略去约束力点，通常略去约束力产生的挤压应力而认为其产生的挤压应力而认为其处于处于纯剪切应力状态纯剪切应力状态 (shearing state of stress ) (图图f及图及图g)，，从而其切应从而其切应力强度条件是按纯剪切应力强度条件是按纯剪切应力状态建立的，即梁的切力状态建立的，即梁的切应力强度条件为应力强度条件为亦即亦即式式中，中，[t t ]为材料在横力弯曲时的许用切应力。

为材料在横力弯曲时的许用切应力二二.工字形截面梁的剪应力工字形截面梁的剪应力腹板腹板翼缘翼缘在腹板上：在腹板上： 在翼缘上，有平行于在翼缘上，有平行于FS的剪应力分量，分布情况的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计 在翼缘上，还有垂直于在翼缘上，还有垂直于FS方向的剪应力分量，它方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的 腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩截面上的大部分弯矩对于标准工字钢梁对于标准工字钢梁：：在翼板上：在翼板上：NlNlldxdxzy三三. .圆及圆环截面梁的剪应力圆及圆环截面梁的剪应力最大剪应力：最大剪应力：1.1.圆截面圆截面2.2.圆环截面圆环截面最大剪应力：最大剪应力：四四.弯曲剪应力强度条件弯曲剪应力强度条件[ [例例7-6]7-6]圆形截面梁受力如图所示已知材料的许用应圆形截面梁受力如图所示已知材料的许用应力［力［σσ］］=160MPa=160MPa，［，［ττ］］=100MPa=100MPa，，试求最小直径试求最小直径d dminminCL8TU19（第二个强度条件）（第二个强度条件）解：解：由正应力强度条件：由正应力强度条件：由剪应力强度条件：由剪应力强度条件：-40kN-40kN40kN40kN1.求求t tmax 梁的剪力图如图梁的剪力图如图c所示，由图可见所示，由图可见FS,max=75kN。

由型钢表查得由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图号工字钢截面的尺寸如图b所示，所示，Iz=65 586 cm4和和Iz/S * z,max=47.73cmd=12.5mm例题例题 4-13解解:例题例题 4-13其中：其中：于是有：于是有：2. 求求t ta例题例题 4-13腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示t tmax例题例题 4-13 一简易吊车的示意图如图一简易吊车的示意图如图a所示，其中所示，其中F=30 kN，，跨长跨长 l=5 m吊车大梁由吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲号工字钢制成，许用弯曲正应力正应力[ [ ]=]=170 MPa，，许用切应力许用切应力[ [t t]=]=100 MPa试试校核梁的强度校核梁的强度 例题例题 4-141. 校核正应力强度吊车梁可简化为简支梁校核正应力强度吊车梁可简化为简支梁(图图b) 荷载移至跨中荷载移至跨中C截面处截面处(图图b)时梁的横截面上的时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大荷载在此最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示，所示，例题例题 4-14解解: 由型钢规格表查得由型钢规格表查得20a号工字钢的号工字钢的Wz=237cm3。

梁的最大弯曲正应力为梁的最大弯曲正应力为例题例题 4-142. 校核切应力强度校核切应力强度 荷载移至紧靠支座荷载移至紧靠支座A处处(图图d)时时梁的剪力为最大此时的约束力梁的剪力为最大此时的约束力FA≈F，相应的剪力，相应的剪力图如图图如图e所示FS,max=FA=30kN对于对于20a号钢，由型钢规格表查得：号钢，由型钢规格表查得：例题例题 4-14于是有于是有由于梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以由于梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以该梁是安全的该梁是安全的e)例题例题 4-14 简支梁在移动荷载简支梁在移动荷载F作用下，全梁弯矩为最大时，作用下，全梁弯矩为最大时，F力的最不利位置，可用如上所述的由经验来判断力的最不利位置，可用如上所述的由经验来判断也可用公式推导，即也可用公式推导，即FAABFFBxl例题例题 4-14[ [例例7-7]7-7]两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示若材料许用应力为图所示若材料许用应力为[ [ ] ]，其许可载荷，其许可载荷[ [F F] ]为多少？如将为多少？如将两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许用剪应力为用剪应力为[τ][τ]，，求螺栓的最小直径？求螺栓的最小直径？F解：叠梁承载时，每解：叠梁承载时，每梁都有自己的中性层梁都有自己的中性层1.1.梁的最大正应力梁的最大正应力：其中其中：FSF-FLMbL2.当两梁用螺栓联为当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只有一体时，中性轴只有一个：一个：bF由正应力强度条件：由正应力强度条件：可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。

可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍3.求螺栓最小直径：求螺栓最小直径：螺栓主要是受剪螺栓主要是受剪zzττ设梁达到了许用应力设梁达到了许用应力[ [F F] ]中性轴处：中性轴处：全梁中性层上的剪力：全梁中性层上的剪力：由螺栓剪切强度条件：由螺栓剪切强度条件：可得：可得：讨论：讨论：F Fs s 与何力平衡？与何力平衡？FS§7-4 §7-4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施控制梁弯曲强度的主要因素是正应力控制梁弯曲强度的主要因素是正应力设计梁的原则应设计梁的原则应使使Mmax尽可能地小，使尽可能地小，使WZ尽可能地大尽可能地大一一. . 合理的布置合理的布置支座位置支座位置载荷和载荷和合理加载合理加载1.合理布置支座位置合理布置支座位置ACBACB2.合理布置载荷合理布置载荷CL8TU23[ [例例7-8]7-8]两人体重均两人体重均800N800N，，需借助跳板跨过沟已知跳板的许可需借助跳板跨过沟已知跳板的许可弯矩弯矩[ [M M]=600]=600N N. .m m，，若跳板不计重量，给出两人安全过沟办法？若跳板不计重量，给出两人安全过沟办法？解解: : 人单独通过，行至离沟人单独通过，行至离沟边边1 1米时，板最大弯矩达米时，板最大弯矩达600600N N. .m m。

两人过河，一个在右外伸端两人过河，一个在右外伸端距支座为距支座为x1 1处，一个在桥上，处，一个在桥上，行至行至x2 2处弯矩如图所示处弯矩如图所示弯矩最值弯矩最值欲通过，要求欲通过，要求一人立于右外伸端离右支座为一人立于右外伸端离右支座为o.537-0.746o.537-0.746间另一人可安全通过间另一人可安全通过通过的人立于左外伸端离左支座为通过的人立于左外伸端离左支座为0.536-0.750.536-0.75之间后者再通过之间后者再通过o.536≤o.536≤x1≤0.746≤0.746解得解得F FF Fx2x1L LM M1=F Fx1，， M2=F F(L L-x1-x2)x2/LM M1≤[M M]，，M M2≤[M M]由此得由此得使上式恒成立，则使上式恒成立，则由由M M1 1≤≤[ [M M] ]得得x1 1 ≤0.75≤0.75B B支座反力：支座反力：二二. .梁的合理截面梁的合理截面合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大CL8TU20W要大同时要大同时A要小，要小，W/A最大为好最大为好 CL8TU211 1）对于）对于[ [ t t]= ]= [ [ c c] ]的材料，可用与中性轴对称的的材料，可用与中性轴对称的截面，使截面上、下边缘截面，使截面上、下边缘σσtmaxtmax= = σσcmaxcmax2 2）对于）对于[ [ t t]≠]≠[ [ c c] ]的材料，如铸铁的材料，如铸铁[ [ t t] ]＜＜[ [ c c] ]，，宜用中性轴偏于受拉边的截面。

宜用中性轴偏于受拉边的截面三、采用变截面梁、等强度梁的概念三、采用变截面梁、等强度梁的概念梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力例如：矩形截面梁，跨中例如：矩形截面梁，跨中C C处处受受集中力集中力P,P,截面高截面高h h为常数，宽度为常数，宽度b b可变化，可变化，b=bb=b（（x x））, ,求求b b（（x x））［［σ］］时，称为时，称为等强度梁等强度梁PLABCxb(x)b(x)min研究半梁研究半梁ACAC由等强度条件：由等强度条件：对于矩形截面：对于矩形截面：同理：若同理：若b b为常量，高度为常量，高度h=h(x)h=h(x)抛物线抛物线由剪切强度条件由剪切强度条件：鱼腹梁鱼腹梁PLABCx§7-5 §7-5 非对称截面梁平面弯曲的条件非对称截面梁平面弯曲的条件 开口薄壁截面梁的弯曲中心开口薄壁截面梁的弯曲中心一、非对称截面梁平面弯曲的条件一、非对称截面梁平面弯曲的条件 前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一个纵向对前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线。

对称面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线对于非对称截面梁横截面上有一对形心主惯性轴于非对称截面梁横截面上有一对形心主惯性轴y y、、z z，，形心主惯性轴形心主惯性轴y y、、z z与轴线与轴线x x组成两个形心主惯组成两个形心主惯性平面性平面xOyxOy、、xOzxOz形心主惯性平面形心主惯性平面y y、、z z轴为形心主惯性轴轴为形心主惯性轴 对于非对称截面梁，由实验和理论分析得到它发生对于非对称截面梁，由实验和理论分析得到它发生平面弯曲的条件是平面弯曲的条件是: : (1) (1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平面内时面内时, ,梁产生平面弯曲梁产生平面弯曲 (2)(2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲否则将内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲否则将会伴随着扭转变形但由于实体构件抗扭刚度很大，会伴随着扭转变形但由于实体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性平面内平面内( (非对称平面非对称平面) )，则梁除发生弯曲变形外，还将，则梁除发生弯曲变形外，还将发生扭转变形。

发生扭转变形只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时，梁才只发生平面弯曲，而无扭转变形某个特定点时，梁才只发生平面弯曲，而无扭转变形这个特定点称为横截面的这个特定点称为横截面的弯曲中心弯曲中心，用，用A A表示二二. . 开口薄壁截面的弯曲中心开口薄壁截面的弯曲中心 平衡对象及其受力 开口薄壁截面开口薄壁截面弯曲切应力弯曲切应力 平衡对象及其受力 弯曲切应力弯曲切应力 Fx=0+ (  d x)=0FNx*+d FNx*-FNx* 弯曲切应力弯曲切应力+ (  d x)=0FNx*+d FNx*-FNx*其中其中FNx*＝＝ xdAA *FNx*+d FNx*= ( x+d  x)dAA * x=Mz yIz, Sz=  ydAA *平衡方程与切应力表达式平衡方程与切应力表达式 弯曲切应力弯曲切应力平衡方程与切应力表达式平衡方程与切应力表达式 =  =FQ Sz*  Iz切应力公式应用切应力公式应用切应力公式应用切应力公式应用- - - -弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心 弯曲切应力弯曲切应力jastin7.swf切应力公式应用切应力公式应用切应力公式应用切应力公式应用- - - -弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心切切应应力力流流 弯曲切应力弯曲切应力切应力公式应用切应力公式应用切应力公式应用切应力公式应用- - - -弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心切应力流切应力流 弯曲切应力弯曲切应力切应力公式应用切应力公式应用切应力公式应用切应力公式应用- - - -弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心合力合力 向向向向形形形形心心心心简简简简化化化化结结结结果果果果 向向弯弯曲曲中中心心简简化化结结果果 弯曲切应力弯曲切应力A 以槽钢为例说明截面弯曲中心的以槽钢为例说明截面弯曲中心的确定方法。

确定方法剪应力合力的作用点就是截面弯剪应力合力的作用点就是截面弯剪应力合力的作用点就是截面弯剪应力合力的作用点就是截面弯曲中心的位置曲中心的位置曲中心的位置曲中心的位置薄壁截面弯曲中心符合下列规则薄壁截面弯曲中心符合下列规则: :(2)(2)具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定在这具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定在这个对称轴上个对称轴上1)(1)具有两个对称轴或反对称轴的截具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯曲中心与形心重合面，其弯曲中心与形心重合(3)(3)若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心组成，则此交点就是截面的弯曲中心试画出下列各薄壁试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大截面弯曲中心的大致位置若剪力Ｑ致位置若剪力Ｑ的方向垂直向下，的方向垂直向下，试画出剪应力流的试画出剪应力流的方向作业：作业：4-40, 43, 47, 53电阻应变计测量方法简介电阻应变计测量方法简介一.电阻应变计测量原理电阻应变计测量原理1.电阻与应变电阻与应变2.应变的测量办法应变的测量办法谢谢 谢谢 大大 家家 !下章下章下章下章结束结束结束结束目录目录目录目录。