【新课标】高考数学(理)专题强化复习三章导数及其应用.pdf

第三章导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景；(2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数yc(c 为常数 )， yx，yx2，y x3，yx1，yx的导数；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 (仅限于形如f(ax b)的复合函数)的导数. 3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次 ). 4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；(2)了解微积分基本定理的含义. 本章重点：1. 导 数 的 概念；2. 利 用 导 数求 切 线 的 斜率；3. 利 用 导 数判 断 函 数 单调 性 或 求 单调区间；4. 利 用 导 数求 极 值 或 最值；5. 利 用 导 数求 实 际 问 题最优解 . 本章难点： 导数 的 综 合 应用. 导数与定积分是微积分的核心概念之一， 也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性， 为我们解决有关函数、 数列问题提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、 数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力 .考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力 . 知识网络3.1导数的概念与运算典例精析题型一导数的概念【例 1】 已知函数f(x) 2ln 3x8x，求0limxf(1 2x)f(1)x的值 . 【解析】由导数的定义知：0limxf(12x )f(1)x 20limxf(1 2x)f(1)2x 2f (1) 20. 【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当x0时， 平均变化率yx的极限 . 【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm) 与时间 t(min) 的函数关系可以近似地表示为 f(t)t2100，则在时刻t10 min 的降雨强度为() A.15mm/min B.14mm/min C.12mm/min D.1 mm/min 【解析】选A. 题型二求导函数【例 2】 求下列函数的导数. (1)yln(x 1x2)；(2)y(x2 2x3)e2x；(3)y3x1x. 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则. (1)y 1x1x2(x1x2) 1x1x2(1x1x2)11x2. (2)y (2x2)e2x2(x22x 3)e2x 2(x2x2)e2x. (3)y 13(x1x32)1xx(1x)213(x1x32)1(1 x)213x32(1 x) 34【变式训练2】如下图， 函数 f(x) 的图象是折线段ABC ，其中 A、B、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 f(f(0) ；0limxf(1 x )f(1)x(用数字作答). 【解析】 f(0)4， f(f(0) f(4)2，由导数定义0limxf(1x )f(1)xf (1).当 0 x2 时， f(x) 42x，f (x) 2，f (1) 2. 题型三利用导数求切线的斜率【例 3】 已知曲线C：yx3 3x22x， 直线 l：ykx，且 l 与 C 切于点 P(x0，y0) (x0 0)，求直线 l 的方程及切点坐标. 【解析】由l 过原点，知ky0 x0(x0 0)，又点 P(x0， y0) 在曲线 C 上， y0 x3 03x2 02x0，所以y0 x0 x2 03x02. 而 y 3x2 6x2， k3x2 06x02. 又 ky0 x0，所以 3x2 06x0 2x2 0 3x02，其中 x00 ，解得 x032. 所以 y038，所以 ky0 x014，所以直线l 的方程为y14x，切点坐标为(32，38). 【点拨】利用切点在曲线上， 又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标. 【变式训练3】若函数yx33x4 的切线经过点 (2，2)，求此切线方程. 【解析】设切点为P(x0，y0)，则由y3x23 得切线的斜率为k3x2 03. 所以函数yx33x4 在 P(x0，y0)处的切线方程为yy0(3x2 03)(x x0). 又切线经过点 (2,2)，得2y0(3x2 03)(2x0)，而切点在曲线上，得y0 x3 03x04， 由解得x0 1 或 x0 2. 则切线方程为y2 或 9xy200. 总结提高1.函数 yf(x) 在 xx0 处的导数通常有以下两种求法：(1) 导数的定义，即求0limxyx0limxf(x0 x )f(x0)x的值；(2)先求导函数f (x)，再将 xx0 的值代入，即得f (x0)的值 . 2.求 yf(x) 的导函数的几种方法：(1)利用常见函数的导数公式；(2)利用四则运算的导数公式；(3)利用复合函数的求导方法. 3.导数的几何意义： 函数 yf(x) 在 xx0 处的导数f (x0)， 就是函数 yf(x) 的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率. 导数的应用 (一) 典例精析题型一求函数 f(x)的单调区间【例 1】已知函数f(x)x2axaln(x1)(aR)，求函数f(x) 的单调区间 . 【解析】函数f(x) x2 axaln(x1)的定义域是 (1， ).f (x)2xaax12x(xa22)x1，若 a0 ，则a221 ，f (x)2x(xa22)x1 0 在 (1， ) 上恒成立，所以a0 时， f(x)的增区间为 (1， ).若 a 0，则a221，故当 x (1，a22时， f (x)2x(xa 22)x1 0；当 xa22， ) 时， f (x)2x(xa22)x10 ，所以 a 0 时， f(x) 的减区间为 (1，a22，f(x) 的增区间为 a 22， ).【点拨】在定义域x1 下，为了判定f (x)符号，必须讨论实数a 22与 0 及 1 的大小，分类讨论是解本题的关键. 【变式训练1】已知函数f(x) x2ln xax 在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围 . 【解析】因为f (x) 2x1x a，f(x) 在(0,1)上是增函数，所以 2x1xa0 在(0,1)上恒成立，即 a2x 1x恒成立 . 又 2x1x22(当且仅当 x22时，取等号 ). 所以 a22，故 a 的取值范围为 ( ，2 2. 【点拨】当f(x) 在区间 (a，b)上是增函数时 ? f (x) 0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间 (a，b)上为减函数时 ? f (x) 0在(a， b)上恒成立 .然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了. 题型二求函数的极值【例 2】已知 f(x) ax3bx2cx(a 0) 在 x 1 时取得极值，且f(1) 1. (1)试求常数a，b，c 的值；(2)试判断 x 1 是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由. 【解析】 (1)f (x)3ax22bx c. 因为 x 1 是函数 f(x) 的极值点，所以 x 1 是方程 f (x)0，即 3ax22bxc0 的两根 . 由根与系数的关系，得, 13,032acab又 f(1) 1，所以 abc 1. 由解得a12，b 0，c32. (2)由(1)得 f(x)12x332x，所以当 f (x)32x2320 时，有 x 1 或 x1；当 f (x)32x2320 时，有 1 x1. 所以函数f(x) 12x332x 在 ( ， 1)和(1， ) 上是增函数，在(1,1)上是减函数 . 所以当 x 1 时，函数取得极大值f(1)1；当 x1 时，函数取得极小值f(1) 1. 【点拨】 求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x) 来讲， f(x) 在点 xx0 处取极值的必要条件是f (x)0.但是，当 x0 满足 f (x0) 0 时， f(x) 在点 xx0 处却未必取得极值，只有在 x0 的两侧 f(x) 的导数异号时，x0 才是 f(x)的极值点 .并且如果f (x)在 x0 两侧满足 “ 左正右负” ，则 x0 是 f(x)的极大值点，f(x0) 是极大值；如果f (x)在 x0 两侧满足 “ 左负右正 ” ，则 x0是 f(x) 的极小值点，f(x0) 是极小值 . 【变式训练2】定义在R 上的函数yf(x) ，满足 f(3x)f(x) ，(x32)f (x)0，若 x1x2，且 x1x23，则有 () A. f(x1) f(x2) B. f(x1) f(x2) C. f(x1) f(x2) D.不确定【解析】由f(3x)f(x) 可得 f3 (x32)f(x 32)，即 f(32x)f(x 32)，所以函数f(x) 的图象关于x32对称 .又因为 (x32)f (x)0，所以当x32时，函数f(x) 单调递减，当x32时，函数 f(x) 单调递增 .当x1x2232时， f(x1) f(x2) ，因为 x1x23，所以x1x2232，相当于x1， x2 的中点向右偏离对称轴，所以f(x1) f(x2).故选 B. 题型三求函数的最值【例 3】 求函数 f(x) ln(1x)14x2 在区间 0,2上的最大值和最小值. 【解析】 f (x)11x12x，令11 x12x 0，化简为x2x20，解得 x1 2 或 x21，其中 x1 2 舍去 . 又由 f (x)11x12x0，且 x0,2 ，得知函数f(x) 的单调递增区间是(0,1)，同理，得知函数 f(x) 的单调递减区间是(1,2)， 所以 f(1) ln 214为函数 f(x) 的极大值 .又因为 f(0) 0， f(2)ln 310，f(1) f(2)，所以， f(0)0 为函数 f(x) 在0,2上的最小值， f(1) ln 214为函数f(x) 在0,2上的最大值 . 【点拨】 求函数 f(x) 在某闭区间 a，b上的最值， 首先需求函数f(x) 在开区间 (a，b)内的极值，然后，将 f(x) 的各个极值与f(x) 在闭区间上的端点的函数值f(a)、 f(b)比较，才能得出函数f(x)在a，b上的最值 . 【变式训练3】(2008 江苏 )f(x) ax33x 1 对 x 1,1总有 f(x) 0 成立，则a. 【解析】若x0，则无论a为何值， f(x) 0 恒成立 . 当 x(0,1时， f(x) 0 可以化为a3x21x3，设 g(x) 3x21x3，则 g(x) 3(12x)x4，x(0，12)时， g (x)0，x(12，1时， g(x) 0. 因此 g(x)maxg(12)4，所以 a 4.当 x1,0)时， f(x) 0 可以化为a3x21x3，此时 g(x) 3(1 2x)x40，g(x)min g(1)4，所以 a 4.综上可知， a4. 总结提高1.求函数单调区间的步骤是：(1)确定函数f(x) 的定义域 D；(2)求导数 f (x)；(3)根据 f (x)0，且 xD，求得函数f(x) 的单调递增区间；根据f (x)0，且 xD，求得函数 f(x) 的单调递减区间. 2.求函数极值的步骤是：(1)求导数 f (x)；(2)求方程 f (x)0 的根；(3)判断 f (x)在方程根左右的值的符号，确定f(x) 在这个根处取极大值还是取极小值. 3.求函数最值的步骤是：先求 f(x) 在(a，b)内的极值；再将f(x) 的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是。