高中数学第3章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数例题与探究苏教版必修4.doc

高中数学第3章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数例题与探究苏教版必修4高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数例题与探究 苏教版必修4典题精讲例1 求下列各式的值：(1)coscos；(2)(cos-sin)(cos+sin)；(3)-cos2；(4)cos215°.思路解析：灵活运用二倍角公式，如(1)题添加系数2，即可逆用倍角公式；(2)题利用平方差公式之后由逆用倍角公式；(3)中提取系数2后产生倍角公式的形式；(4)则需提取系数.解：(1)coscos=cossin=×2cossin=sin=；(2)(cos-sin)(cos+sin)=cos2-sin2=cos=；(3)-cos2=-(2cos2-1)=-cos=；(4)cos215°=(2cos215°-1)=cos30°=. 绿色通道：根据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，这当中一定要整体考虑式子的特征. 变式训练 1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.思路解析：由sin30°=，原式可化为sin10°sin50°sin70°，再转化为cos20°cos40°cos80°，产生成倍数的角，增加一项sin20°，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形的目的.解法1：sin10°sin30°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=解法2：令M=sin10°sin30°sin50°sin70°，N=cos10°cos30°cos50°cos70°，因为M·N=（sin10°cos10°）(sin30°cos30°)(sin50°cos50°)(sin70°cos70°)=sin20°sin60°sin100°sin140°=cos10°cos30°cos50°cos70°=N所以M=，即sin10°sin30°sin50°sin70°=. 例2 已知sin(+α)sin(-α)=，且α∈(，π)，求sin4的值.思路解析：发现+α与-α的互余关系，将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得2α的三角函数值，进一步可求4α的正弦值.解：因为(+α)+(-α)=，所以sin(-α)=cos(+α).因为sin(+α)sin(-α)=，所以2sin(+α)cos(+α)= ，即sin(+2α)=.所以cos2α=.又因为α∈(，π)，所以2α∈(π，2π).所以sin2α=.所以sin4α=2sin2αcos2α=. 绿色通道：通过角的形式的变化，生成所求的角或再加变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对所给角有敏锐的感觉. 变式训练 2设5π＜θ＜6π，cos=a，则sin的值等于( )A. B.C. D.思路解析：本题中的显然是的一半，可以直接应用公式，首先根据θ的范围确定要求的的范围，然后确定sin的正负.∵5π＜θ＜6π，∴＜＜3π,＜＜，∴sin= 答案：D 例3 求证：4sinθ·cos2=2sinθ+sin2θ.思路解析：观察所给式子中的角，显然应考虑将转化为θ，再进一步转化为2θ的三角函数.证明：左边=4sinθ·cos2=2sinθ·(1+cosθ)=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边.本题也可从右到左，即2sinθ+sin2θ=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ(1+cosθ)=2sinθ·2cos2=4sinθcos2. 绿色通道：证明等式成立，常有以下方法：从左到右；从右到左；两边到中间，但总的原则是从繁到简，从复杂到简单.. 变式训练 3（2006湖南高考，文16） 已知sinθ-·cosθ=1,θ∈(0,π),求θ的值. 思路解析：三角函数的性质和三角变换的知识是高考的常考点，应力争在这方面全面过关.应避免未能正确运用诱导公式导致变换出错.解：由已知条件得sinθ-·cosθ=1.即sinθ-2sin2θ=0.解得sinθ=或sinθ=0.由0＜θ＜π知sinθ=，从而θ=或θ=. 例4 设25sin2x+sinx-24=0，x是第二象限角，求cos的值.思路解析：先解方程获得sinx的值，再根据角x的范围确定sinx以及的象限，最后利用半角公式得到cos.解：因为25sin2x+sinx-24=0，所以sinx=或sinx=-1.又因为x是第二象限角，所以sinx=，cosx=.又是第一或第三象限角，从而cos=±. 绿色通道：利用半角公式求角的三角函数值的时候，首要任务是确定角的范围，如果角的范围不能具体确定,三角函数的符号则要考虑带着正负号. 变式训练 4（2006北京高考，文15） 已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tanα=，求f(α)的值.思路解析：本题通过借助函数的相关性质，结合三角函数的基本计算解答.解题时应当注意三角函数在各个象限的符号问题.以免出错.解：(1)由cosx≠0,得x≠kπ+(k∈Z),故f(x)的定义域为｛|x|x≠kπ+,k∈Z｝.(2)因为tanα=,且α是第四象限的角,所以sinα=,cosα=,故f(α)=. 例5 （2006天津高考，文17） 已知tanα+cotα=，α∈(,).求cos2α和sin(2α+）的值.思路解析：在这里通过分析条件角与目标角的关系，从而创设运用同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等条件，达到活用公式.解法1：由tanα+cotα=,得,则,sin2α=.因为α∈(,),cos2α==-,sin(2α+)=sin2α·cos+cos3α·sin=×-×=.解法2：由tanα+cotα=,得tanα+,解得tanα=2或tanα=.由已知α∈(,).故舍去tanα=,得tanα=2.因此，sinα=,cosα=.那么cos2α=cos2α-sin2α=-,且sin2α=2sinαcosα=,故sin(2α+)=sin2α·cos+cos2α·sin=×-×=. 绿色通道：将已知中的正余切化为正余弦的形式进行化简计算，解法1利用切割化弦思想解题过程顺利时行.解法2借助同角三角函数关系并淮确把握这些公式的结构特征，使解题过程非常简洁.三角化简计算题为高考考查重点内容，解决好这类问题的关键要熟练掌握三角化简计算公式的正用、逆用. 变式训练 5设-3π＜α＜，化简.思路解析：整个式子显然符合倍角公式的特征，首先运用诱导公式化简，再逆用倍角公式可得结果.解：∵-3π＜α＜，∴-＜＜，cos＜0.又由诱导公式得cos(α-π)=-cosα，∴-cos. 变式训练 6（2006上海高考,文17） 已知α是第一象限的角，且cosα=，求的值.思路解析：对于分式化简问题，通常要将分子、分母均化为积的形式，且若分子、分母有公因式，通常约分把式子化简，这是我们解这类问题地常用思路.解：由已知可得sinα,∴原式=×.问题探究 问题1 如图3-2-1，设球的半径为R，联系已知球半径、锥底半径和母线来表达外切于这个球的一切圆锥中全面积最小的圆锥的全面积.图3-2-1 导思：球的半径是定值，但这个球的外切圆锥是相当自由的概念，锥高h>2R，可大可小，锥底半径也随着锥高的变化而变化，如何选择一个恰当的自变量，可以互相兼顾，比较方便地勾勒出这些量，从而把外切圆锥的全面积表示为这个变量的函数，然后来求全面积这个目标函数的最小值，是一个很重要的问题.经过多方试探，这里给出一种选用∠OAC=θ，来联系已知球半径、锥底半径和母线来表达全面积的方法，是比较理想的方法之一. 探究：设∠OAC=θ(0<θ<), 则锥底半径AC=Rcotθ，母线PA=，因此全面积可以表示为θ的函数：S(θ)=πAC2+πAC·PA=πR2cot2θ+πR2·=πR2cot2θ(1+)=πR2·π.设f(θ)=tan2θ(1-tan2θ)，则因为tan2θ+(1-tan2θ)=1是常数，且tan2θ>0,(1-tan2θ)>0，所以f(θ)=tan2θ(1-tan2θ)≤()2=，当且仅当tan2θ=1-tan2θ，即tanθ=时，fmax=.所以当tanθ=时，球外切圆锥的全面积为最小，最小全面积是8πR2平方单位.6。