选修22导数及其应用典型例题.docx

第一章导数及其应用1.1变化率与导数【知识点概括】1.均匀变化率：2.刹时速度：3.导数及导函数的观点：4.导数的几何意义：拓展知识：5.均匀变化率的几何意义：6.导数与切线的关系：【典型例题】题型一求均匀变化率：例1.已知函数yf(x)2x21的图像上一点（1,1）及其周边一点(1x,1y)，则y=_______.x变式训练：1.以v0(v00)速度竖直向上抛出一物体，t秒时的高度为s(t)v0t1gt2，求物体在t0到2t0t这段时间的均匀速度v.2.求正弦函数ysinx在x0和x周边的均匀变化率，并比较他们的大小.2题型二实质问题中的刹时速度例2已知质点M按规律s2t23做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）（1）当t2,t0.01时，求s；（2）当t2,t0.001时，求s；tt（3）求质点M在t=2时的刹时速度.题型三求函数的导数及导函数的值例3求函数yx11处的导数.在xx题型四曲线的切线问题例4（1）已知曲线y2x2上一点A（1，2），求点A处的切线方程.（2）求过点（-1，-2）且与曲线y2xx3想切的直线方程.（3）求曲线f(x)1x3x25在x=1处的切线的倾斜角.3（4）曲线yx3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标.1.2导数的计算【知识点概括】1.常有函数的导数：2.基本初等函数的导数公式：3.导数的运算法例：4.复合函数的导数：【典型例题】题型一基本初等函数导数公式运用例1给出以下结论：①(cos)sin112x33x，则[f(1)]3；；②若yx2，则y；③若f(x)662④.若y3x，则y13x3此中正确的选项是_________________.题型二导数运算法例的应用例2求以下函数的导数：（1）y1x52x3；（2）ylgxex；（3）1gcosx；（4）yxsinxgcosx.53x22变式训练：判断下边的求导能否正确，假如不正确，加以更正.1cosx2x(1cosx)x2sinx(x2)x2题型三复合函数求导的应用例7求以下函数的导数.（1）y(1cos2x)3；（2）ysin21.x变式训练：求函数y(2x23)1x2的导数题型四切线方程及应用例4曲线ysinxex在点（0，1）处的切线方程是？变式训练：曲线yx3x2在P处的切线平行于直线y4x1，则点P的坐标为_________.题型五利用导数求参数问题例5若曲线yx3ax在座标原点处的切线方程是2xy0，则实数a=_________变式训练：若函数f(x)exa的值在x=a处的导数值为函数值互为相反数，求x题型六对数求导数的应用（选讲）例6求以下函数的导数（1）y(x1)(x2)(x3)(x3)；（2）y(x1)(x2)(x3)(x1)；2x12题型七求导数的实质应用例7有一把梯子贴靠在笔挺的墙上，已知梯子上端下滑的距离s（单位：m）对于时间t（单位s）的函数为ss(t)5259t2.求函数在t7时的导数，并解说它的实质意义.151.3导数在研究函数中的应用函数的单一性与导数【知识点概括】1.函数的单一性与其导数的关系：2.利用导数求函数的单一区间：3.导数的绝对值的大小与图像的关系（选讲）：【典型例题】题型一里用导数的信息确立函数大概图像例1已知导函数f(x)的以下信息：当2x3时，f(x)0；当x3或x2时，f(x)0；当x3或x2时，f(x)0；试画出函数f（x）图像的大概形状.题型二判断或许证明函数的单一性例2试判断函数f(x)lnxx在其定义域上的单一性.变式训练：证明：函数f(x)lnx在区间（0，2）上是单一递加函数.x题型三求函数的单一性例3确立函数f(x)2x36x27的单一区间.变式训练：求函数yxx3的单一性.题型四含有参数的函数的单一性例4已知函数f(x)lnxax2(2a)x，议论f（x）的单一性.变式训练：已知函数f(x)ax1在(2,)内单一递加，务实数a的取值范围.x2导数的极值与导数【知识点概括】1.导数的极值的观点：2.导数的极值的判断和求法：【典型例题】题型一求函数的极值例1求以下函数的极值：（1）yx27x6；（2）yx2lnx.变式训练：设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)知足f(1)2a,f(2)b，此中常数a,bR.1）求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程.（2）设g(x)f(x)ex，求函数g(x)的极值.题型二判断函数极值点的状况例2判断以下函数有无极值，如有极值，恳求出极值；假如没有极值，请说明原因.1x31x3x22（1）f(x)4；（2）f(x)4x；（3）f(x)1(x2)3.33变式训练：设函数f(x)ax2blnx，此中ab0.证明：当ab0时，函数f（x）没有极值点，当ab0时,函数f（x）有且只有一个极值点，并求出极值.题型三导函数的图像与函数极值的关系例3函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）a，b）内的图象如下图，A1个B.2个C.3个D.4个题型四极值的逆向问题例4已知函数f(x)ax4lnxbx4c(x0)在x=1处获得极值-3-c，此中a，b为常数.1）试确立a，b的值.2）议论函数f（x）的单一区间.综上：若说明函数没有极值，一般不议论有无导数，而是在区间上只有一个单一性，没有“拐点”.函数的最大小值与导数【知识点概括】1.最大小值与极值的关系：2.求最大小值的步骤：3.开区间的最值问题：【典型例题】题型一利用导数求函数最值问题例1求函数f(x)x55x45x31在区间[1,4]上的最大值和最小值.变式训练：设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图像在(1,f(1))处的切线与直线x6y70垂直，导数的最小值为-12.（1）求a，b，c的值.（2）求函数f（x）的单一递加区间，并求函数f（x）在[-1,3]上的最大小值.题型二含参数最值问题例2设a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值.变式训练：1.设f(x)1x31x22ax32（1）若f（x）在(2,)上存在单一递加区间，求a的取值范围.316（2）当0a2时,f（x）在[1,4]上的最小值为，求f（x）在该区间上的最大值.3题型三由函数的最值求参数的值例3设2a1，函数f(x)x33ax2b(1x1)的最大值为1，最小值为6，322求a，b的值.1.4生活中的优化问题【知识点概括】利用求函数的最大小值的方法务实质应用中的最优化问题函数的极值与端点值的比较【典型例题】题型一收益最大问题例1某商品每件成本9元，售价为30元，每礼拜卖出432件，假如降廉价钱，销售量可以增添，且每礼拜多卖出商品件数与商品单价的降低值x（单位：元,0x21）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一礼拜多卖出24件.（1）将一礼拜的商品销售收益表示成x的函数（2）怎样订价才能使一个礼拜的商品销售收益最大（ 变式训练：某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，而且每件产品需向总公司交m（3≤m≤5）元的管理费，估计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为(12-x)2万件．1）求分公司一年的收益L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的收益L最大，并求出L的最大值Q（m）．题型二用料最省、花费最低问题例2如图，某单位用木材制作如下图的框架，框架的下部是边长分别为的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为x，y（单位：米）8平方米．（Ⅰ）求x，y的关系式，并求x的取值范围；（Ⅱ）问x，y分别为多少时用料最省？变式训练：某公司拟建筑如下图的容器（不计厚度，长度单位：米），此中容器的中间为圆柱形，左右两头均为半球形，依据设计要求容器的体积为80立方米，且l2r．假定该容器的建。