2019高考数学二轮复习 第一部分 压轴专题二 函数与导数 第2讲 利用导数研究函数的综合问题练习 理.doc

第2讲 利用导数研究函数的综合问题A组　小题提速练一、选择题1．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，下面的不等式在R上恒成立的是(　　)A．f(x)>0　　　　　　 B．f(x)<0C．f(x)>x D．f(x)2f(－1)D．f(0)＋f(－2)≥2f(－1)解析：由题意得，当x≥－1时，f′(x)≥0，当x≤－1时，f′(x)≤0，∴f(x)的最小值为f(－1)，即对任意实数x，都有f(x)≥f(－1)，∴f(0)≥f(－1)，f(－2)≥f(－1)，∴f(0)＋f(－2)≥2f(－1)，故选D.答案：D3．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且f(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：设h(x)＝f(x)g(x)，又h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0知x<0时，h(x)为增函数，又f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，∴h(x)为奇函数且在(0，＋∞)上为增函数，且h(3)＝0，所以f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故选D.答案：D4．已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)<，f(1)＝1，则不等式f(x)<＋的解集为(　　)A．{x|x<－1} B．{x|x>1}C．{x|x<－1或x>1} D．{x|－11.答案：B5．(2018·贵阳模拟)求曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积，其中正确的是(　　)A．S＝(x2－x)dxB．S＝(x2－x)dxC．S＝(y2－y)dyD．S＝(y2－y)dy解析：依题意，在同一坐标系下画出曲线y＝x2与直线y＝x的图象(图略)，注意到它们的交点坐标分别为(0,0)与(1,1)，结合图形及定积分的几何意义可知，相应的图形的面积可用定积分表示为(x2－x)dx，选B.答案：B6．(2018·合肥模拟)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C的方程为x2－y＝0)的点的个数的估计值为(　　)A．5 000　　　　　　 B．6 667C．7 500 D．7 854解析：S阴影＝S正方形－x2dx＝1－＝，所以有＝＝，解得n≈6 667，故选B.答案：B7．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　)A. B．1C．0 D．不存在解析：f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得00，则函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是(　　)A．0 B．1C．2 D．3解析：当x≠0时，f′(x)＋＝＝>0，当x>0时，[xf(x)]′>0，则h(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数，且h(0)＝0，∴h(x)＝xf(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，又>0，∴F(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即F(x)在(0，＋∞)上无零点．当x<0时，[xf(x)]′<0，∴h(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数，且h(0)＝0，∴h(x)＝xf(x)>0在(－∞，0)上恒成立，所以F(x)＝xf(x)＋在(－∞,0)上为减函数，当x→0时，xf(x)→0，→－∞，则F(x)<0，x→－∞时，→0，F(x)≈xf(x)＞0，∴F(x)在(－∞，0)上有唯一零点．综上所述，F(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有唯一零点，故选B.答案：B9．若∀x，y∈[0，＋∞)，不等式4ax≤ex＋y－2＋ex－y－2＋2恒成立，则实数a的最大值是(　　)A. B．1C．2 D.解析：ex＋y－2＋ex－y－2＋2＝ex－2(ey＋e－y)＋2≥2(ex－2＋1)，当且仅当y＝0时等号成立．由2(ex－2＋1)≥4ax，得2a≤.令g(x)＝，则g′(x)＝，可得g′(2)＝0，且在(2，＋∞)上，g′(x)>0，在[0,2]上，g′(x)<0，故g(x)的最小值为g(2)＝1，所以2a≤1，即a≤.故选D.答案：D10．已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是(　　)A．－ B.C．2 D．5解析：由题意知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集为[－2,3]，且在x＝3处取得极小值－115，故有解得a＝2.答案：C11．设函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是(　　)A. B.C．(－∞，0) D.解析：设y＝2x3＋3x2＋1(－2≤x≤0)，则y′＝6x(x＋1)(－2≤x≤0)，所以－2≤x<－1时y′>0，－10时，y＝eax在(0,2]上的最大值e2a≤2，所以02，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　)A．f(x1)f(x2) D．不确定解析：由(x－1)f′(x)<0可知，当x>1时，f′(x)<0，函数单调递减．当x<1时，f′(x)>0，函数单调递增．因为函数f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数f(x)图象的对称轴为x＝1.所以，若1≤x1f(x2)；若x1<1，则x2>2－x1>1，此时有f(x2)f(x2)．综上，必有f(x1)>f(x2)，选C.答案：C二、填空题13．定积分dx＝________.解析：由y＝得x2＋y2＝16(y>0)，所以dx表示以原点为圆心，半径为4的圆的面积的，所以dx＝×π×42＝4π.答案：4π14．已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．解析：由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立．又∵y＝－x＋在上单调递减，∴max＝，∴2a≥，即a≥.答案：15．已知函数f(x)＝ln x，则函数g(x)＝f(x)－f′(x)在区间[2，e]上的最大值为________．解析：因为f(x)＝ln x，所以f′(x)＝，则g(x)＝f(x)－f′(x)＝ln x－，函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝＋>0在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以g(x)在区间[2，e]上的最大值g(x)max＝g(e)＝ln e－＝1－.答案：1－16．已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f(x)>0，则函数g(x)＝xf(x)＋1(x>0)的零点个数为________．解析：设F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0在R上恒成立，且F(0)＝0，所以F(x)＝xf(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以在(0，＋∞)上g(x)＝xf(x)＋1>1恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋1的零点个数为0.答案：0B组　大题规范练1．已知函数f(x)＝.(1)判断函数f(x)的单调性；(2)求证：exln(x＋1)≥x2＋ln(x＋1)．解析：(1)由已知得f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝＝，设g(x)＝(x－1)ex＋1，则g′(x)＝xex，令g′(x)＝0，得x＝0，∴g(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，∴g(x)≥g(0)＝0，∴f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．(2)证明：设h(x)＝x－ln(x＋1)，x>－1，则h′(x)＝1－＝，令h′(x)＝0，得x＝0，∴h(x)在(－1,0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，∴h(x)≥h(0)＝0，即x≥ln(x＋1)．①当x>0时，x≥ln(x＋1)>0，∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)≥f(ln(x＋1))，即≥，∴(ex－1)ln(x＋1)≥x2.②当－1x≥ln(x＋1)，∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴f(x)≥f(ln(x＋1))，即≥，∴(ex－1)ln(x＋1)≥x2.③当x＝0时，(ex－1)ln(x＋1)＝x2＝0.由①②③可知，对一切x>－1，均有(ex－1)ln(x＋1)≥x2，即exln(x＋1)≥x2＋ln(x＋1)．2．已知函数f(x)＝(a∈R)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直．(1)试比较2 0162 017与2 0172 016的大小，并说明理由；(2)若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点x1，x2，证明：x1x2>e2.解析：(1)2 0162 017>2 0172 016.理由如下：依题意得，f′(x)＝，因为函数f(x)在x＝1处有意义，所以a≠－1.所以f′(1)＝＝，又由过点(1，f(1))的切线与直线x＋y＋1＝0垂直可得，f′(1)＝1，即＝1，解得a＝0.此时f(x)＝，f′(x)＝，令f′(x)>0，即1－ln x>0，解得0e.所以f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．所以f(2 016)>f(2 017)，即>，则2 017ln 2 016>2 016 ln 2 017，所以2 0162 017>2 0172 016.(2)证明：不妨设x1>x2>0，因为g(x1)＝g(x2)＝0，所以ln x1－kx1＝0，ln x2－kx2＝0.可得ln x1＋ln x2＝k(x1＋x2)，ln x1－ln x2＝k(x1－x2)，要证x1x2>e2，即证ln x1＋ln x2>2，也就是k(x1＋x2)>2，因为k＝，所以只需证>，即ln>，令＝t，则t>1，即。