因数和倍数--质数和合数.doc

因数和倍数 质数和合数整理教师：刘新民一、基础知识（一）因数和倍数1. 因数和倍数的意义 已知a、b、c均为正整数，且a×b=c，那么c就是a和b的倍数，a和b就是c的因数，倍数和因数是相互依存的，不能独立存在2. 因数和倍数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数既是它本身的因数，又是它本身的倍数二）能被2、3、5整除的数的特征1. 能被2整除的数的特征：个位上的数字是0，2,4,6,82. 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数3. 能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或54. 能同时被2、5整除的数的特征：个位上的数字是0三）奇数和偶数1. 奇数：在自然数中，不能被2整除的数叫做奇数2. 偶数：在自然数中，能被2整除的数叫做偶数3. 研究奇数和偶数时包括0，因此自然数不是奇数就是偶数最小的奇数是1，没有最大的奇数；最小的偶数是0，没有最大的偶数四）质数和合数1. 质数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），最小的质数是2，2是唯一的偶质数，没有最大的质数。

2. 合数的意义：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数最小的合数是4，没有最大的合数注意：1既不是质数也不是合数除2以外，所有的质数是奇数，所有的偶数是合数3. 判断一个数是质数还是合数的方法1）通过找因数的个数来判断：先找出这个数的因数，再数因数的个数，只有1和它本身两个因数的数就是质数，有三个或三个以上因数的数就是合数2）查表法：看质数表里有没有所要查的数，如果有，它是质数，如果没有，它就不是质数4. 奇数和偶数的运算性质1）和差的奇偶性奇数±奇数=偶数（偶数个奇数相加） 奇数±奇数=奇数（奇数个奇数相加）奇数±偶数=奇数 偶数±偶数=偶数（2）积的奇偶性奇数×奇数=奇数； 奇数×偶数=偶数； 偶数×偶数=偶数（五）分解质因数1. 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数2. 分解质因数：把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数3. 分解质因数的方法：把一个合数分解质因数，通常运用短除法分解质因数时，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数就用质因数继续去除，直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。

六）最大公因数和最小公倍数1. 最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数2. 最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数3. 互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数4. 求两个数的最大公因数的方法：（1）列举法；先分别找出每个数的因数，从中找出公因数，再找出最大的一个因数就是它们的最大公因数2）筛选法：先找出两个数中较小数的因数，从中圈较大数的因数，再看哪个因数最大，这个数就是它们的最大公因数3）分解质因数法：先将两个数分别分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数4）短除法：把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数5. 求两个数的最小公倍数的方法：（1）列举法：分别写出两个数各自的倍数，再从其中找出公有的倍数，然后从公倍数中找出最小的一个就是这几个数的最小公倍数2）筛选法：先写出两个数中较大数的倍数，然后从这组数中按从小到大的顺序圈出较小数的倍数，第一个圈出的就是它们的最小公倍数。

3）分解质因数法：分别把两个数分解质因数，相同的质因数对齐写，独有的质因数单独写，然后相同的质因数取一个，单独的质因数都取出来，把它们连乘，积就是最小公倍数4）短除法：用两个数公有的质因数按从小到大的顺序，依次作为除数连续去除这两个数，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后所得的商连乘起来，就是这两个数的最小公倍数6. 求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况1）如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是较小数的最小公倍数2）如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是1，最小公倍数就是这两个数的乘积3）两个数的乘积等于最大公因数和最小公倍数的乘积二、例题精讲例1、有因数2，又是3和5的倍数的最大三位数是多少？分析与解答：根据题意，这道题所求的数是同时是2，3，5的倍数的最大三位数同时是2，3，5的倍数的数的个位上的数字一定是0，其他各位上数字的和是3的倍数要使其最大，百位上一定是9，十位上也是9，所以这个三位数是990例2、（选择）把210分解质因数是（ ）A. 210=1×2×3×5×7 B. 2×3×5×7=210C. 210=5×6×7 D. 210=2×3×5×7分析与解答：分解质因数是把一个合数写成几个质因数相乘的形式，所有的因数必须是质数，所以选项A中，1不是质数；选项C中，6不是质数；分解质因数和乘法算式不同，应该把被分解的合数写在等号的左边，故选项B也不对，那么正确答案是D。

例3、求24和36的最大公因数和最小公倍数分析与解答：要求两个数的最大公因数和最小公倍数，应该先分别把这两个数分解质因数：24=2×2×2×336=2×2×3×3求两个数的最大公因数时，把这两个数公有的因数2、2和3乘起来，即2×2×3=12；求两个数的最小公倍数时，把它们公有的因数2、2、3和各自独立的因数2、3都乘起来，即2×2×3×2×3=72；所以24和36的最大公因数是12，最小公倍数是72例4、把长1.36m、宽0.8m的长方形纸裁成同样大小的正方形纸如果要使正方形纸的面积尽可能大，且裁完没有剩余，可裁出多少张正方形纸？分析与解答：把长方形纸裁成正方形纸且没有剩余，则正方形纸的边长是长方形纸长与宽的公因数，要使正方形纸的面积尽可能大，正方形纸的边长应是长与宽的最大公因数先把米化成厘米，即1.36m=136㎝，0.8m=80㎝，因为136和80的最大公因数是8，所以正方形的边长为8㎝，那么长方形在长可以分136÷8=17（段），宽可以分80÷8=10（段），故可裁17×10=170（张）例5、一袋糖果，如果平均分给4个小朋友，还剩3块；如果平均分给5个小朋友，还缺1块；如果平均分给6个小朋友，还缺1块。

这袋糖果至少有多少块？分析与解答：题中“如果平均分给5个小朋友，还缺1块” 可以理解为“如果平均分给5个小朋友，还剩4块；同理“如果平均分给6个小朋友，还缺1块” 可以理解为“如果平均分给6个小朋友，还剩5块” 如果给这堆糖果再加1块，那么分别平均分给4个小朋友，5个小朋友，6个小朋友，都正好分完也就是说这袋糖果加1块后正好是4，5，6的公倍数，这袋糖果至少有多少块，就是求4，5，6的最小公倍数即4，5，6的最小公倍数是60，所以这袋糖果至少有60-1=59（块）三、练习精选1. 填空1）20以内既是偶数又是质数的有（ ），既是奇数又是合数的是（ ）2）一个数的最大因数是48，它的最小倍数是（ ），把这个数分解质因数是（ ）3）任意两个连续的自然数中，两个数都是质数的有（ ）组4）a和b是两个自然数，a除以b的商是5，没有余数，那么a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）5）既是3的倍数，又是5的倍数的最大两位奇数是（ ）6）如果A=2×3×5，B=3×5×7，那么A和B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。

7）两个质数的和是31，这两个质数的积是（ ）8）一个自然数除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是（ ）9）有三根铁丝，一根长48dm，一根长60dm，一根长36dm，要把它们截成同样长的几段，不许剩余，每段最长（ ）dm，一共可以截成（ ）段2. 判断1）一个自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数 ）（2）因为60=3×4×5，所以3，4，5都是60的质因数3）有公因数1的两个数叫做互质数 ）（4）互质的两个数相乘的积一定是合数 ）3. 选择1）求18和30的最大公因数，必须包含18和30的（ ）质因数A. 所有的 B. 公有的 C. 全部公有的（2）24用两个质数的和表示是（ ）A. 1+23 B. 4+20 C. 2+22 D. 11+13（3）40=2×4×5，下面说法中正确的是（ ）A. 2，4，5都是40的质因数B. 40=2×4×5是把40分解质因数C. 2，4，5都是40的因数，（4）在0，3，6，5这4个数字中选择3个数字，组成一个同时是2，3，5的倍数的最小三位数是（ ）A. 306 B. 350 C. 360 D. 630（5）两个奇数的和一定是（ ）数，积一定是（ ）数。

A. 奇 B. 偶 C. 质 D. 合4. 解决问题1）学期末，老师把35支铅笔和42本练习本平均分给六（3）班获得“三好学生”的同学，结果铅笔缺1支，练习本多2本，获得“三好学生”的最多有多少人？（2）一行有36棵小树，原来每隔2m栽一棵，现在没两棵之间的距离改为5m，一共有几棵小树不必移动？四、思维训练1. 我国首台自行研制的“蛟龙”号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟下潜的深度是（ ）米1）这个数是一个四位数，千位上的数字是最小质数与最小合数的和2）个位上的数字是5的最小倍数3）百位上的数字是最大的一位数4）十位上的数字与千位上的数字相同2. 甲、乙两数的积是700，甲、乙两数的最大公因数是5，最小公倍数是（ ）3. 将下面8个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样分？14 30 33 35 39 75 143 169。