全国数学（理）.doc

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)理科数学（必修+选修Ⅱ）注意事项：1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．7．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径一、选择题1．（ ）A． B． C． D．解：【答案】 D【解析】sin2100 =，选D。

2．函数的一个单调增区间是（ ）A． B． C． D．解：【答案】 C【解析】函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(p，)，选C3．设复数满足，则（ ）A． B． C． D．解：【答案】 C【解析】设复数z=, (a，b∈R)满足=i，∴ ，，∴ z =，选C4．下列四个数中最大的是（ ）A． B． C． D．解：【答案】 D【解析】∵ ，∴ ln(ln2)<0，(ln2)2< ln2，而ln=ln20，∴ ，原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞)，选C7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（ ）A． B． C． D．解：【答案】 A【解析】已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，，选A。

8．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A．3 B．2 C．1 D．解：【答案】 A【解析】已知曲线的一条切线的斜率为，=，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A 9．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）A． B． C． D．解：【答案】 C【解析】把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ，选C10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）A．40种 B．60种 C．100种 D．120种解：【答案】 B【解析】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种，选B11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使 且，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．解：【答案】 B【解析】设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。

若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B12．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）A．9 B．6 C．4 D．3解：【答案】B【解析】设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3， ∴ |FA|+|FB|+|FC|=，选B第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中常数项为 ．（用数字作答）解：【答案】 －42【解析】(1+2x2)(x－)8的展开式中常数项为=－4214．在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为 ．解：【答案】 0.8【解析】在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s>0），正态分布图象的对称轴为x=1，x在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率于x在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。

15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm．解：【答案】 2+4【解析】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2.16．已知数列的通项，其前项和为，则 ．解：【答案】 －【解析】已知数列的通项an=－5n+2，其前n项和为Sn，则=－三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．解：（1）的内角和，由得．应用正弦定理，知 ， ． 因为， 所以， （2）因为 ， 所以，当，即时，取得最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则互斥，且，故 于是． 解得（舍去）．（2）的可能取值为．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故 ． ． ．所以的分布列为01219．（本小题满分12分）AEBCFSD如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．（1）证明平面；（2）设，求二面角的大小．解法一：（1）作交于点，则为的中点．连结，又，故为平行四边形．，又平面平面．所以平面．（2）不妨设，则为等腰直角三角形．AEBCFSDHGM取中点，连结，则．又平面，所以，而，所以面．取中点，连结，则．连结，则．故为二面角的平面角 ．所以二面角的大小为．AAEBCFSDGMyzx解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．设，则，．取的中点，则．平面平面，所以平面．（2）不妨设，则．中点又，，所以向量和的夹角等于二面角的平面角． ．所以二面角的大小为．20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离， 即 ．得圆的方程为．（2）不妨设．由即得 ．设，由成等比数列，得 ，即 ． 由于点在圆内，故由此得．所以的取值范围为．21．（本小题满分12分）设数列的首项．（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．解：（1）由 整理得 ． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 （2）方法一： 由（1）可知，故． 那么， 又由（1）知且，故， 因此 为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以 ．由可得，即 两边开平方得 ．即 为正整数．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．解：（1）求函数的导数；． 曲线在点处的切线方程为： ，即 ．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根．记 ，则 ．当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即 ．。