立体几何问题中转化策略.doc

立体几何问题中转化策略本文就立体几何问题中常见的几种转化策略作一介 绍•❷一、空间问题平面化策略❷所谓平面化是指将空间的点、线、面的位置关系通过适 当的转化，使之转化在同一平面内进行研究•常见的转化策略有“截、展、❷移”等❷•❷（1） “截”就是根据题目需要，在几何体的适当位置 作一能反映所研究各元素间关系的面,使问题转化在同一个平面内研究•❷例1设球0的半径为5, —个内接圆台的上、下底面半 径分别为3和4,求这个圆台的体积.❷解析 图1是球及其内接圆台的轴截面，球心0到圆台 的两底面的距离分别为0M=[KF （]5❷2—4❷2[KF） ]=3,❷ON=[KF （]5❷2-3❷2[KF） ]=4.❷①若圆台的两底面在球心的两侧，则圆台的髙为 MN=4+3=7.❷所以圆台的体积为❷V=[SX (]“[]3[SX) ] X7X (3❷2+3X4+4X2)❷2❷二[SX (]259 jt []3[SX) ]•❷②若圆台的两底面在球心的同侧，则圆台的高为MN=4-3=1.❷所以圆台的体积为❷V=[SX (]“[]3[SX) ] XIX (3❷2+3X4+4X2)❷2= [SX (]37 jt []3[SX)].❷(2) “展”就是将几何体展开，将空间几何问题转化 为平面几何问题来解决.此法通常用来解决空间几何体的表面积问题和几何体表面上(曲 线)线段的最小值问题•转化的关键是要搞清楚几何体中的点、线在展开图中的相应的位置关 系.令例2如图2,正三棱锥P-ABC侧棱长是2,各侧面的 顶角均为30° .现一细绳由点A绕侧面一周回到点A,求细绳的最 小长度•❷解将侧面沿PA剪开展成平面，如图3.由平面几何知当A、M、N、A'共线时,细绳❷最短❷.❷由题设知ZAPA' =90° ,❷故 AA‘ =[KF (]2[KF) ]PA=2[KF (]2[KF) ]•❷所以细绳的最小长度为2[KF (]2[KF)].❷(3) “移”就是将立体几何图形中的某些图形平移到 适当的位置，使不在同一平面内的元素经过平移后，集中在某一个平面内，再用平面几何知识 来处理•常用于异面直线所成❷的角❷•❷[HJ]例3如图4,三棱锥A-BCD的各棱长都是a, M, N分 别为BC, AD的中点，求异面直线MN与BD所成的角•❷解如图4,取CD的中点F,连结MF, NF•❷因为M为BC的中点，❷所以 MF〃BD, MF=[SX (]1[]2[SX) ]BD・❷同理 NF二[SX (]1[]2[SX) ]AC.❷则ZNMF (或其补角)就是异面直线MN与BD所成的角. 连结AM, MD•❷由三棱锥的各条棱都相等，❷知 MN❷2二AM❷2—AN❷2二[SX (]1[]2[SX) ❷2•❷又 MF二[SX C1[]2[SX) ]a, NF二[SX (]1[]2[SX) ]a,❷可得MN❷2二MF❷2+NF❷2,❷故是等腰直角三角形，❷所以ZNMF二45。

•❷故MN与BD所成的角为45° .❷二、空间问题“割补"化策略❷对于某些立体几何问题，如果直接根据原有图形进行解 题比较困难时，不妨将图形巧妙地进行割补，转化为我们熟悉的柱、锥等较规则的或易 于研究的几何体来处理，从而化繁为简，化难为易，使问题易于解决•❷例4如图5,已知三棱锥A-BCD中，AB=CD=1,BC=BD=AC=AD=2.求三棱锥 A-BCD的体积.❷解注意到三棱锥的对棱分别相等，可将三棱锥A—BCD补形成如图5所示的长方体•❷设长方体的长、宽、高分别x, y, z,则❷x❷2+y❷2二BD❷2=4,❷x❷2+z❷2二BC❷2=4,❷z❷2+y❷2二CD❷2=1.❷由三式解得❷x❷2二[SX( ] 7 [] 2 [SX)], y❷2二[SX( ] 1 [] 2 [SX)], z❷2二[SX (]1[]2[SX)].❷所以V❷❷A—BCD❷❷ 一 Vgp—ABC ❷ 一 VgQ—BCD ❷一 V ❷❷ S - ABD ❷—VgR—ACD ❷❷二V❷❷长方体❷一4 VgQ - BCD❷=xyz-4X [SX (]1[]3[SX) ] X [SX (]1[]2[SX) ]xyz❷二[SX ( ]1[]3[SX ) ]xyz=[SX ( ] [KF(]14[KF) ] []12[SX)].❷三、空间问题整体化策略❷当立几问题中的某些元素无法找到或者较难作出时，可 把问题作为一个有机的整体，从整体上考察问题中的数量关系和空间形式，对整体结构 进行全面、深刻地分析和改造，从而达到探求解题思路或优化和简化解题过程的目的•❷例5如图6,棱长为2的正方形SG❷1G❷2G❷3中，E,F分别是G❷1G❷2, G❷2G❷3的中点，D是EF的中点，现在沿SE, SF及EF把 这个正方体折叠成一个四面体，且G❷1, G❷2, G❷3三点重合，重合后的点记为G,如图7,求四 面体G—SEF的体积•❷分析本题若先求出点G到平面SEF的距离，然后利用 三棱锥的体积公式求解,则比较麻烦.若注意到三棱锥G-SEF的体积与三棱锥S—GEF的体积相等，即VgG—SEF❷二VgS — GEF❷，则使问题较容易得到解 决•❷解 由题易知❷ SG丄GE, SG丄GF,❷且 GEQGF=G,❷则SG丄面GEF•❷由正方形的棱长为2,❷易知 SG二2, S❷❷ZXGEF❷二[SX (]1[]2[SX) ]•❷所 以 VgG—SEF❷二V❷❷S—GEF❷二[SX(]1[]3[SX) ] X [SX (]1[]2[SX) ] X2❷二[SX (]1[]3[SX)].❷四、球体转化为多面体的策略❷球心是球的灵魂，抓住球心就抓住了球的位置，特别是 当球与球相切或球与平面相切时,我们更应该通过球心和切点及球心的连线来构造多面 体，使球问题转化为多面体问题来加以解决•❷例6已知球0的半径为1, A, B, C三点都在球面上， 且每两点间的球面距离为[SX (] JT []2[SX)],则球心0到平面ABC的距离为❷A. [SX (]1[]3[SX) ] B. [SX(][KF(]3[KF)][]3[SX)]C. [SX(]2[]3[SX)] D. [SX(] [KF(]6[KF)] []3[SX)]g[HJ2. 4mm]分析 突出球心0即可•由于三点A, B, C在球面上，且 每两点间的球面距离相等.故可构造正三棱锥求解.❷解 球心0与A，B, C三点构成正三棱锥0—ABC,如图 8所示，❷已知 0A二0B二0C二R二 1,❷ZA0B=ZB0C=ZA0C=90° ,❷由此可得A0丄面BOC,❷SgZXBOC❷二[SX (]1[]2[SX)],SgZXABC❷二[SX (]3[]2[SX) ]•❷由V❷❷A—BOC❷二V❷❷o—ABC❷，❷有[SX ( ]1[]3[SX ) ] X [SX ( ]1[]2[SX ) ] X1=[SX(]1[]3[SX) ] X [SX (] [KF (]3[KF) ] []2[SX) ] Xh,❷[HJ]得 h二[SX (][KF (]3[KF) ][]3[SX)].故选❷B❷•❷评注解有关球面距离的问题，最关键 是突出球心，找出数量关系•❷ 五、类比转化策略 在解决球问题时，还应掌握一定的规律•如长方体的外接规律：长方体的外接球直径2R恰为其对角线长[KF (]&❷2+b❷2+c❷2[KF)],即2R二[KF (]a❷2+b❷2+c❷2[KF)]・特别地，正方体 的外接球直径2R恰为其对角线长[KF (]3[KF) ]a,即 2R二[KF (]3[KF) ]a.❷例7已知球内接正方体的表面积为S,那么球的体积等于令解设正方体的棱长为a,则有6a❷2二S.❷又由性质有(2R)❷2二3a❷2,❷故有 R=[KF (][SX (]S[]8[SX) ][KF)].❷由此求得 V❷球二[SX (]4[]3[SX) ] JiR❷3二[SX (]S[KF (]2S[KF) ][]24[SX) ] h.❷【作者单位：(246600)安徽省岳西县城关中学(563000) 贵州省遵义市第四中学】。