【学科优学】初三冲刺直角三角形存在性.doc

直角三角形的存在性问题常识机关以函数为布景的直角三角形问题直角三角形的存在性问题以几何为布景的直角三角形问题常识概述 在考(Kao)虑是否为直角三角形时，很显然需要(Yao)会商三种环境：①；②；③在年夜年夜都问题中，此中某两种环境会较为简单，剩下一种那么是考查重点，需要用到勾股定理、相似/全等等常识才能求得．模块一：以函数为布景的直角三角形问题常识精讲【例1】 常识内容：在以函数为布景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“自然〞的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来机关直角别的，较坚苦的环境那么需要用到全等/相似或者勾股定理的计较来确定直角三角形例2】 解题思绪：（1） 按三个角别离可能是直角的环境进展会商；（2） 计较出响应的边长等信息；（3） 按照边长与点的坐标，计较出响应的点的坐标．例题解析【例1】 如图，抛物线与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C．〔1〕求点A、B的坐标；〔2〕假设直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为极点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．【解析】解：〔1〕解方程， 可得：A、B的坐标别离为〔-4,0〕，〔2,0〕． 〔2〕设AB中点为D，D点为〔-1,0〕，以D为圆心，AD为半径作圆， 假设l与y轴平行，那么找不到3个M点，使△ABM为直角三角形． ∴l不与y轴平行． ∴必(Bi)定存在2个M点(Dian)，使或． 要知足“以A、B、M为极点所作的直角三角形有且只有三个〞，即直线l与圆D相切，设切点为M0，过M0作M0H⊥x轴于H， ∴M0的坐标为，或． ∴直线l解析式为或．【例2】 如图， 点A(2, 0)，点B在y轴的正半轴上，且．将点B绕点A顺时针标的目的扭转90°至点C．扭转前后的点B和点C都在抛物线上．〔1〕求点B、C的坐标；〔2〕求该抛物线的解析式；〔3〕联络AC，该抛物线上是否存在异于点B的点D，使点D与AC组成以AC为直角边的等腰直角三角形？假如存在，求出所有合适前提的点D的坐标；假如不存在，请申明来由．【解析】解：〔1〕∵， ∴B点坐标为〔0,1〕． ∵C为B绕A顺时针扭转90°所得， 过C作CH⊥x轴于H， 可得，∴AH=1，CH=2． ∴C点坐标为〔3,2〕． 〔2〕将B、C代入抛物线方程，解得，， ∴抛物线解析式为：． 〔3〕存在． ①那时，AC=AD，过D作DQ⊥x轴于Q． ∴，〔与B重合，舍去〕． ②那时，AC=DC，过点D作DQ⊥于y=2，垂足为Q． 将以上的到的3个D点代入抛物线，可知D为〔4,－1〕或〔1,3〕．模块二：以几何为布景的直角三角形问题常识精讲1、 解题思绪：（1） 按三个角别离可能是直角的环境进展会商；（2） 运用相似/全等、勾股定理等方式，计较出响应的边长；例题解析【例3】 如(Ru)图1，⊙O的半(Ban)径为3，OC⊥弦AB，垂足为D，点E在⊙O上，∠ECO＝∠BOC，射线CE与射线OB订交于点F．设AB＝x，CE＝y．〔1〕求y与x之间的函数解析式，并写出函数界说域； 〔2〕当△OEF为直角三角形时，求AB的长；〔3〕假如BF＝1，求EF的长．【解析】解：〔1〕过O作OH⊥CE于H． 又∵，， ∴． ∴． 〔2〕分环境会商： ①那时，那么， ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． ②那时，那么． ∴． ∴是等边三角形． ∴． 〔3〕分环境会商： ①那时， 可得，∴． ∴． ②那时，【例4】 如图，在梯形ABCD中，AD＝BC＝10，，E是腰AD上一点，且AE︰ED＝1︰3．〔1〕当AB︰CD＝1︰3时，求梯形ABCD的面积；〔2〕当∠ABE＝∠BCE时，求线段BE的长；〔3〕当△BCE是直角三角形时，求边AB的长．【解析】解：〔1〕过A作AG⊥DC于G，过B作BH⊥DC于H． 可得，． 又∵，， ∴，． 又∵AB=GH，， ∴AB=6，CD=18． ∴梯形ABCD的面积是96． 〔2〕耽误BE交CD耽误线于M． ∵AB//CD， ∴． 又∵，， 〔3〕设，那么，． ①那(Na)时，， ∴，解(Jie)得． ②那时，过E作EP⊥MC于P， 可得，，． ∵，，均为直角三角形， 又∵， ∴． 解得〔负舍〕． 综上，AB的长为或．【例5】 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的双方OA、OC别离在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单元长的速度向点A匀速活动，当点P达到点A时停顿活动，设点P活动的时候是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针标的目的扭转90°得点D，点D随点P的活动而活动，毗连DP、DA．〔1〕请用含t的代数式暗示出点D的坐标；〔2〕在点P从O向A活动的过程中，△DPA可否成为直角三角形？假设能，求t的值．假设不克不及，请申明来由． 【解析】解：〔1〕取CP中点M，作MN⊥OP于N，作DH⊥PA于H． 可得，． ∵，，P点坐标为， ∴D点坐标为． 〔2〕假设△DPA为直角三角形，可得只能， 解得，或〔舍〕．【例6】 如图，在△ABC中，CA＝CB，AB＝8，．点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，联络CE、DE．〔1〕求底边AB上的高；〔2〕设CE与AB交于点F，当△ACF为直角三角形时，求AD的长；〔3〕联络AE，当△ADE是直角三角形时，求AD的长．【解析】解：〔1〕过C作CH⊥AB于H． ∵AC=BC，AB=8， ∴AH=BH=4． 又(You)∵， ∴AC=BC=5，CH=3． 〔2〕分环境(Jing)会商： ①那时，F与H重合． ∴EH=2． ②那时，作DM⊥AC于M，设CM=x， ∴，解得． 〔3〕∵AD=DE， ∴△ADE为直角三角形时，AD、DE只可能是直角边．随堂检测【习题1】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像颠末点A(－1,0)、B(4, 0)、C(0, 2)．点D是点C关于原点的对称点，联络BD，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为(m, 0)，过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P．〔1〕求这个二次函数的解析式；〔2〕当点E段OB上活动时，直线l交BD于点Q，当四边形CDQP是平行四边形时，求m的值；〔3〕是否存在点P，使△BDP是不以BD为斜边的直角三角形，假如存在，请直接写出点P的坐标；假如不存在，请申明来由．【解析】解：〔1〕∵二次函数过点A、B， ∴设二次函数为． 将点C〔0,2〕代入，解得． ∴二次函数解析式为：． 〔2〕D点坐标为〔0，－2〕． ∴直线BD的解析式为：． ∴P点坐标为，Q点坐标为． ∵CD=PQ， 解得m=2或m=0〔舍〕． 〔3〕，，〔注：可设过B或D的与BD垂直的直线，然后与二次函数联立后解出〕【习题2】 如(Ru)图，在Rt△ABC中(Zhong)，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点〔不与点C重合〕，联络AE交边BC于F，∠BAE的等分线交BC于点G．〔1〕当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；〔2〕设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；〔3〕当AC＝5时，联络EG，假设△AEG为直角三角形，求BG的长．【解析】解：〔1〕∵CD//AB，CE=3，AB=13， 〔2〕耽误AG交CD于M． ∵CD//AB， ∴AE=EM． 〔3〕∵，∴分两种环境会商． ①那时，可得AG=GK． ∵CD//AB， ②那时， 可得， 又∵，， ∴GA=GB．综上所述，假设△AEG为直角三角形，BG的长为6或．课后功课 【作业1】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为〔-2，0〕，点B是点A关于原点的对称点，P是函数图像上的一点，且△ABP是直角三角形，求点P的坐标．【解析】解：分环境会商：① 时， ∵P点横坐标为-2，∴P点坐标为〔-2，-1〕．② 时 ∴P点横坐标为2， ∴P点为〔2，1〕．③ 时， 毗连OP，∴OP=OA=2． 设P点为， 解得，或．综上，P点的坐标可能为〔-2，-1〕、〔2，1〕、〔〕或〔〕．【作业2】 如图(Tu)，在△ABC中(Zhong)，AB＝AC＝10，cosB＝．D、E为线段BC上的两个动点，且DE＝3〔E在D右边〕，活动初始时D和B重合，当E和C重应时活动停顿．过E作EF//AC交AB于F，联络DF．〔1〕设BD＝x，EF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出界说域；〔2〕假如△BDF为直角三角形，求△BDF的面积；〔3〕如图2，假如MN过△DEF的重心，且MN//BC别离交FD、FE于M、N，求整个活动过程中线段MN扫过的区域的外形和面积〔直接写出谜底〕．图1 图2【解析】解：〔1〕∵EF//AC， ∴． ∵AB=AC=10，， ∴BC=16． 〔2〕∵EF///AC，AB=AC， ∴．① 时， ∵， ∴，解得． ∴的面积为．② 时， ∵， ∴，解得． ∴的面积为． 〔3〕面积为〔注：外形为一个平行四边形，MN始终为2〕．第 7 页。