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全国统考高考数学复习专题6立体几何与空间向量-.docx

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    • 立体几何与空间向量考点:1.空间几何体的表面积与体积(1)多面体的表面积S棱柱表=S棱柱侧+2S底,S棱锥表=S棱锥侧+S底,S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底.(2)旋转体的表面积①圆柱:S表=2πr(r+l),其中r为底面半径,l为母线长;②圆锥:S表=πr(r+l),其中r为底面半径,l为母线长;③圆台:S表=π(r'2+r2+r'l+rl),其中r',r为上、下底面半径分别,l为母线长;④球体:S球=4πr2,其中r为球的半径.(3)几何体的体积公式①柱体:V柱体=Sℎ,其中S为底面面积,ℎ为高;②椎体:,其中S为底面面积,ℎ为高;③台体:,其中S'、S分别为上、下底面面积,ℎ为高;④球体:,其中r为球的半径.2.空间点、直线、平面之间的位置关系(1)平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线在这个平面内.公理2:过不同在一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一直线的两条直线平行.3.直线、平面平行的判定及其性质(1)直线与平面平行的判定定理文字语言:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号语言:a⊄α,b⊂α,a//b⇒a//α.图形语言:如下图.(2)直线与平面平行的性质定理文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号语言:a//α,a⊂β,α∩β=b⇒a//b.图形语言:如下图.(3)平面与平面平行的判定定理文字语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.符号语言:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a//α,b//α⇒α//β.图形语言:如下图.(4)平面与平面平行的性质定理文字语言:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.符号语言:α//β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a//b.图形语言:如下图.4.直线、平面垂直的判定及其性质(1)直线与平面垂直的判定定理文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.符号语言:l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α.图形语言:如下图.(2)直线与平面垂直的性质定理文字语言:垂直于同一个平面内的两条直线平行.符号语言:a⊥α,b⊥α⇒a//b.图形语言:如下图.(3)平面与平面垂直的判定定理文字语言:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.符号语言:l⊂β,l⊥α⇒α⊥β.图形语言:如下图.(4)平面与平面垂直的性质定理文字语言:两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.图形语言:如下图.5.空间向量的运用设平面α,β的法向量分别为,,直线l的方向向量为,则:(1)线面平行(2)线面垂直,,(3)面面平行,,(4)面面垂直精准预测题一、选择题.1.已知某几何体的正视图和侧视图如图①所示,其俯视图水平放置的直观图如图②中粗线部分所示,其中四边形A'B'C'D'为平行四边形,B'C'=2A'B'=4O'A'=4,则该几何体的体积为()A.16+8π B.8+16π C.16+16π D.8+8π【答案】A【解析】根据直观图还原可知,俯视图是边长为4的正方形,结合正视图和侧视图可知,该几何体后半部分为长方体,前半部分为半个圆柱,长方体的边长分别为2,2,4,则其体积为,半个圆柱的底面半径为2,高为4,则其体积为,因此,该几何体的体积为16+8π,故选A.【点评】本题主要考查由三视图求几何体的体积,考查直观图的还原,需要学生具备一定的空间想象及思维能力.2.已知一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的外接球的体积为()A. B. C. D.【答案】B【解析】如图,三视图的直观图为三棱锥为A−BCD,且DB=2,CD=1,按如图所示放在长方体中,则其外接球的直径等于长方体的对角线长,且AE=3,因为长方体的对角线长为AD=DB2+CD2+AE2=4+1+3=22,则外接球半径为2,且体积为,故选B.【点评】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.3.如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F分别为C1D1,的中点,O,M分别为BD,EF的中点,则下列说法错误的是()A.四点B,D,E,F在同一平面内 B.三条直线BF,DE,有公共点C.直线A1C与直线OF不是异面直线 D.直线A1C上存在点N使M,N,O三点共线【答案】C【解析】作出图象,如图:对于A,连接B1D1,则,,所以,所以四点B,D,E,F在同一平面内,故A正确;对于B,延长BF,DE,则BF,DE相交于点P,又BF⊂平面BCC1B1,DE⊂平面DD1C1C,则P∈平面BCC1B1,P∈平面DD1C1C,且平面BCC1B1∩平面DD1C1C=CC1,所以P⊂CC1,即三条直线BF,DE,有公共点,故B正确;对于C,直线A1C为正方体的体对角线,所以直线A1C与直线OF不可能在同一平面内,所以直线A1C与直线OF是异面直线,故C错误;对于D,A1,O,C,C1均在平面AA1C1C内,连接OM,则OM与A1C相交,所以直线A1C上存在点N使M,N,O三点共线,故D正确,故选C.【点评】本题主要空间几何体中,点线面的位置关系,属于基础题.4.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图),其中四边形ABCD为矩形,EF//AB,若AB=3EF,△ADE和△BCF都是正三角形,且AD=2EF,则异面直线AE与CF所成角的大小为()A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一:如图,在平面ABFE中,过F作FG//AE交AB于G,连接,则∠CFG或其补角为异面直线AE与CF所成的角.设EF=1,则,AD=2,因为EF//AB,AE//FG,所以四边形AEFG为平行四边形,所以FG=AE=AD=2,AG=1,BG=2,又AB⊥BC,所以GC=BG2+BC2=22,又CF=BC=2,所以,所以.解法二:如图,以矩形ABCD的中心O为原点,CB的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系,因为四边形ABCD为矩形,EF//AB,△ADE和△BCF都是正三角形,所以EF⊂平面yOz,且Oz是线段EF的垂直平分线.设,则EF=1,AD=2,,,,,所以AE=−1,1,2,CF=1,−1,2,所以,所以AE⊥CF,所以异面直线AE与CF所成的角为,故选D.【点评】本题考查异面直线夹角的计算问题,常用以下方法:(1)平移法,将异面直线通过平移转化成共面直线,结合三角形知识求解;(2)补形法:通过补形(一般是补一个相同的几何体)将异面直线通过平移转化成共面直线,结合三角形知识求解;(3)向量法:建立空间直角坐标系,结合向量夹角公式求解.5.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1,其底面ABCD是平行四边形,外接球体积为36π,若AC1⊥BD,则其外接球被平面AB1D1截得图形面积的最小值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】由直四棱柱ABCD−A1B1C1D1内接于球,则四点在球面上,所以四边形ABCD为球的一截面圆的内接四边形,所以对角互补.又四边形ABCD是平行四边形,所以ABCD为矩形.在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BD,又AC1⊥BD,AC1∩CC1=C1,所以BD⊥平面ACC1,所以BD⊥AC,所以四边形ABCD为正方形,所以直四棱柱ABCD−A1B1C1D1为正四棱柱.由外接球体积为,则球的半径为R=3,由AC1为该外接球的直径,则AC1=6,设,则,则,在△AB1D1中,,,由余弦定理可得,所以,设△AB1D1的外接圆的半径为r,由正弦定理可得,所以,当且仅当,即a=23时取得等号,即r的最小值为22,其外接球被平面AB1D1截得图形面积的最小值为,故选A.【点评】本题考查几何体的外接球的截面面积问题,解答本题的关键是先由线面垂直关系得出直四棱柱ABCD−A1B1C1D1为正四棱柱,然后由余弦定理和正弦定理得出△AB1D1的外接圆的半径,由均值不等式求出最小值,属于难题.二、填空题.6.如图,大摆锤是一种大型的游乐设备,常见于各大游乐园.游客坐在圆形的座舱中,面向外.通常,大摆锤以压肩作为安全束缚,配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时,悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.大摆锤的运行可以使置身其上的游客惊心动魄.今年元旦,小明去某游乐园玩“大摆锤”,他坐在点A处,“大摆锤”启动后,主轴OB在平面α内绕点O左右摆动,平面α与水平地面垂直,OB摆动的过程中,点A在平面β内绕点B作圆周运动,并且始终保持OB⊥β,B∈β,已知OB=6AB,在“大摆锤”启动后,下列4个结论中正确的是______(请填上所有正确结论的序号).①点A在某个定球面上运动;②线段AB在水平地面上的正投影的长度为定值;③直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为;④直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为.【答案】①③【解析】对于命题①,OB、AB均为定值,∵OB⊥β,AB⊂β,∴OB⊥AB,∴OA=OB2+AB2=37AB(定值),所以,点A在某个定球面上运动,命题①正确;对于命题②,过点O作OC与水平地面垂直,设∠BOC=θ,当AB⊂α时,如下图所示:则直线AB与水平地面所成的角为θ,所以,线段AB在水平地面上的正投影的长度为ABcosθ,不为定值,命题②错误;对于命题③④,由于AB为定值,设点A到平面α的距离为d,则d≤AB,所以,直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为,则命题③正确,命题④错误,故答案为①③.【点评】本题考查立体几何综合,考查线面角的正弦值的计算、线段投影长度以及球面定义的应用,考查计算能力与推理能力,属于中等题.三、解答题.7.如图,在三棱锥P−ABC中,PA⊥平面ABC,三角形ABC是正三角形,PA=AB,点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点,G为AD的中点.(1)求证:平面BDE;(2)求二面角B−DE−F的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)法一:连接PF交BE于点H,连接DH,见图1:∵E,F分别是PC,BC的中点,∴H是三角形PBC的重心,∴PH=2HF.由已知得PD=2DG,∴,又DH⊂平面BDE,GF⊄平面BDE,∴平面BDE.法二:取EC中点M,连接FM,GM,见图2:由已知得,∴DE⊂平面BDE,GM⊄平面BDE,∴平面BDE.∵M,F分别是EC,BC的中点,∴,又BE⊂平面。

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