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第一章 质点运动学习题答案1-1质点做直线运动，运动方程为2x =12t -6t其中t以s为单位，x以m为单位，求：（1） t = 4s时，质点的位置、速度和加速度； ⑵质点通过原点时的速度；（3）质点速度为零时的位置；（4）做出x-t图、v-t图、a-t图•解：（1）根据直线运动情况下的定义，可得质点的位置、速度和加速度分别为x=12t-6t2 （ 1）dxv 12 -12t （ 2）dtd 2x a 2 12 （ 3）dt2当 t = 4s时，代入数字得： x - -48 m v - -36 m/s a - -12 m/s2（2）当质点通过原点时， x = 0，代入运动方程得：12t-6t2 = 0解得：ti =0,t2 =2，代入（2）式得：v, =12 m/s v2= — 12m/s（3）将v=0代入（2）式，得 12-12t=0 解得：t=1s 代入（1）式得： x = 12m — 6m=6m1.2一质点在xOy平面上运动，运动方程为1 2 n .. x=3t +5, y = t +3t -4.2式中t以s计，x, y以m十.（1）以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式； （2）求出t =1s时刻和t = 2s时刻的位置矢量，计算这 1秒内质点的位移；（3）计算t = 0s时刻到t = 4s时 刻内的平均速度；（4）求出质点速度矢量表示式，计算 t = 4s时质点的速度；（5）计算t = 0s到t = 4s内质点的平均加速度；（6）求出质点加速度矢量的表示式， 计算t = 4s时质点的加速度.1 2解：（1） r =（3t 5）i （― t 3t - 4） j m2⑵将t =1,^2代入上式即有r1 =8i -0.5j mr2 = 11j 4 j mr = r2「A = 3j 4.5j m⑶r。

5j -4j ,r4 =17i 16jv.■: t4一012i 20 j4=3i 亠 5 j m s'-dr - _ 1⑷ v 3i (t 3) j m sdt则 v4 = 3i 7j m s'⑸••• Vo =3i 3jM =3i 7j_2 m s- -V V4 - Vo 4a 1 jAt 4 4dva =dt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量vv1-4 一质点沿一直线运动，其加速度为 a = -2x，式中x的单位为 m a的单位为 m/s2,试求该质点的速度 v与位置坐标x之间的关系.设x = 0时，v0 = 4m/s 解：依题意dv dv dx dv 小a v = 2xdt dx dt dxx v0 -2xdx = v vdv积分得 _X2 =[(v2 _v02)2v =、.、v02 -2x2—16 -2x31-5质点沿直线运动，加速度 a = 4 - t2，如果当t = 3时，x=9 , v = 2，求质点的运动方程•（其中a以m/s2为单位，t以s为单位，x以m为单位，v以m/s为单位）解：加速度表示式对t积分，得1 3v = adt t 4t v03x 二 vdt ^t4 2t2 v°t X。

12将 t = 3s, x = 9m, v=2m/s 代入以上二式，得积分常数 v0 二-1m/s, x0 = 0.75m，贝V1 3v t 4t -13112x t4 2t2 -t 0.751-6当物体以非常高的速度穿过空气时， 由空气阻力产生的反向加速度大小与物体速度的平方成反比，即a二-kv2，其中k为常量.若物体不受其他力作用沿 x方向运动，通过原点时的速度为v0，试证明在此后的任意位置 x处其速度为v=：v0eh.解：根据加速度定义得：色 =a = -kv2，因a =空 =包虫 二v^，代入上式，分离变量，整理后得： dt dt dx dt dx1一 dv = -kdx，应用初始条件x = 0,v = Vo，两边积分得vv 1 X v kxdv 二 kdx 得 In kx 即有：v = voev0 v 0 v01-7试写出以矢量形式表示的质点做匀速圆周运动的运动学方程，并证明做匀速圆周运动质 点的速度矢量v和加速度a矢量的标积等于零，即 V_a = 0解：以直角坐标表示的质点运动学方程为x = Rcos t,目二 Rsin t以矢量形式表示的指点运动学方程为r = Rcos ti Rsin tj速度和加速度分别为drv = = Rsin ti ■ Rcos tjdta 二一 2Rcos ti — f 2Rsin tj所以v\_a = 01-8 一质点在xoy平面内运动，其运动方程为 r = a cos ti ■ bsin tj，其中a,b,-均为大于零的常量.dr解：（1 ）质点在任意时刻的速度 v a - sin ti - b - cos tjdt（2）由 x 二 acos，t, y 二 bsin消去t，可得轨道方程2 2务•占=1 可见是椭圆方程，表明质点作椭圆运动a bdv 2 2（3）加速度 a （a cos ti bsin tj）二一 ■ rdt因为2>0,所以a的方向恒与r反向，即a恒指向椭圆中心1-9路灯离地面高度为 H，—个身高为h的人，在灯下水平路面上以匀速度 V。

步行.如图所示，求当人与灯的水平距离为 x时，他的头顶在地 面上的影子移动的速度的大小 .解：建立如图所示的坐标， t时刻头顶影子的坐标为d(x x)v 二dtdx dx dxd7 "d? 一Vdt由图中可看出有H h~ — rx x x则有xhxH —hdx _ hv0 dt " H -h所以有v 二 Vhv°H -hx x，设头顶影子的移动速度为 V ,则1 21-10质点沿半径为R的圆周按s = v0t—— bt2的规律2运动，式中s为质点离圆周上某点的弧长，v0 , b都是常量，求：（1） t时刻质点的加速度;（2） t为何值时，加速度在数值上等于 b •-bt- ds -v— —vl dtandvdt-bv2 _ (v° - bt)2R R则加速度与半径的夹角为4.(v bt)R2⑵由题意应有二 arcta n电-Rb2M - bt).(v° - bt)4R2b—圧(v° —bt)4,二R2(v° - bt)4 ".•.当 t 0 时，a = b b1-11质点做半径为20cm的圆周运动，其切向加速度恒为 5cm/s，若该质点由静止开始运 动，需要多少时间：(1)它的法向加速度等于切向加速度； (2)法向加速度等于切向加速度的二倍•解：质点圆周运动半径 r = 20cm，切向加速度a = 5cm/s 2 , t时刻速度为v = at，法向加V V速度为an=v2/r，因此有 t =v/a^ = jaF/aT= 寸2「(1)当 a = an 时，t -=4s(2)an —2 r a2ra-2.83s1-12(1)地球的半径为6.37 106 m求地球赤道表面上一点相对于地球中心的向心加速度(2)地球绕太阳运行的轨道半径为111.5 10 m求地球相对于太阳的向心加速度 .(3)天文测量表明，太阳系以近似圆形的轨道绕银河系中心运动，半径为202.8 10 m,速率为2.5 105 m/s，求太阳系相对于银河系的向心加速度解：( 1)地球赤道表面一点相对于地球中心的向心角速度为2 二j=6.37 106 ( )2 =3.36 10, m/s 2" 24 60 60(2 )地球相对太阳的向心加速度为2 11 2 兀 2 _3an -R2 2-1.5 1011 ( )-5.95 10 m/s2 365 24 60 60(3)太阳系相对银河系的向心加速度n22 5 2盯誌^^也310'0 m/s21-13以初速度Vo = 20m s抛出一小球，抛出方向与水平面成60°的夹角，求：(1)球轨道最高点的曲率半径 R ； (2)落地处的曲率半径 R2 .解：设小球所作抛物线轨道如题 1-13图所示.V-题1-13图(1) 在最咼点，W = vx 二 v0 cos60°_2an1 = g = 10 m s又•••2V1 a"=打2 2- v1 (20 X cos60 J2'1 :an1 10=10 m(2)在落地点，v2 = v0 = 20 m s',而an2 = g cos60o“J (20)2 =80m an 10 cos6021-14 一架飞机在水平地面的上方，以 174m/s的速率垂直俯冲，假定飞机以圆形路径脱离俯冲，而飞机可以承受的最大加速度为 78.4m/s2，为了避免飞机撞到地面，求飞机开始脱离俯冲的最低高度解：设飞机以半径为.假定整个运动中速率恒定.R圆形路径俯冲，其加速度为an 二 v2 / R当an为飞机所能承受的最大加速度时， R即为最小，所以78.4 = 1742 / Rmin ,Rmin = 1742 / 78.4 二 386.2m1-15 一飞轮以速度n =1500rev/min转动，受制动而均匀减速，经 t = 50 s静止，求(1) 角加速度一：和从制动开始到静止飞轮转过的转数 N ；(2) 求制动开始后，t=25s时飞轮的角速度-■；(3) 设飞轮半径R=1m，求t =25s时，飞轮边缘上一点的速度和加速度 .解：(1)飞轮的1500初角速度「0=2 n： - 2 50 二，当 t =50s 时，• =0 ；代入•- ■- : t 得60从开始到静止，飞轮转过的角度及其转数为:1 Q 2 1 2v -「ot -t =50 50m- m(50) =1250二 rad2 2eN 625 rev2兀(2) t = 25 s 时，飞轮的角速度为 •二 0 亠 It =5 0 二-2 5 二=2 5fad/s(3) t = 25 s时，飞轮边缘上一点的速度为v = R . =1 25 二=25 二 m/s相应的切线和法线加速度为at = R ---二 1 - -"： m/s2an = R，2 =(25二)2 1-625：2 m/s 21-16 一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为v - 2 3t2，式中二以弧度计，t以秒计,求：（1）t = 2s时，质点的切向和法向加速度； ⑵当加速度的方向和半径成 45角时，其角位移是多少?解：(1) t =2 s时,dt= 9t2,d ■dt= 18ta 二 R：=1 18 2 =36man 二 R •2 = 1 (9 22)2 = 1296 m s（2）当加速度方向与半径成 45角时，有tan45 = a = 1an即 R '2 二 R '-亦即 （9t2）2 -18t3 2则解得 t3 = 29于是角位移为3 2- 2 3t =2 3爼=2.67 rad91-17 一圆盘半。