化学类新教案第三章节拉普拉斯变换课件.ppt

第三章 拉普拉斯变换,引子,拉普拉斯变换的概念,拉普拉斯变换的计算,拉普拉斯逆变换的计算,拉普拉斯变换的应用,用Matlab进行拉普拉斯运算,引子,拉普拉斯变换的作用,（1）求解常系数线性微分方程的有力工具,（2）分析和综合自动控制系统的运动过程 和脉冲电路的工作过程中有广泛应用,拉普拉斯变换的知识网络图,,拉普拉斯变换的概念,,常用函数的拉普拉斯变换,,拉普拉斯变换的性质,,拉普拉斯变换表的使用,,拉普拉斯逆变换,,,,,拉普拉斯变换的应用,第三章 拉普拉斯变换,引子,拉普拉斯变换的概念,拉普拉斯变换的计算,拉普拉斯逆变换的计算,拉普拉斯变换的应用,用Matlab进行拉普拉斯运算,引例,,在研究激励和响应系统之间的关系时（建立的函数关系式通常是一种线性微分方程），主要是通过研究传递函数（响应函数 的拉普拉斯变换与激励函数 的拉普拉斯 变换之比），建立微分方程模型解决问题的，因此，拉普拉斯变换是经典控制理论的数学基础.,在电路理论和自动控制理论中，通常把系统的外加电动势 看成这个系统随时间 变化的输入函数，称为激励函数 ，而把电容器 两端的电压 看成是系统随时间 变 化的输出函数，叫做响应函数 ，如图.,引例,——转化为拉普拉斯变换后解决问题,那么什么叫拉普拉斯变换呢？,,,,,在电气工程学科中还经常会出现 的积分问题， 但由于 是发散的，因此无法进行计算， 在这种情况下，一般都是通过将函数 乘上因 子 变成绝对可积函数后解决问题的.,拉普拉斯变换的实质是什么呢？,定义,,或,,注意：,（2）拉氏变换的本质是一种积分变换,例如：,,又如：,,第三章 拉普拉斯变换,引子,拉普拉斯变换的概念,拉普拉斯变换的计算,拉普拉斯逆变换的计算,拉普拉斯变换的应用,用Matlab进行拉普拉斯运算,求一个给定函数的拉氏变换，可用,方法二：基本公式法,方法三：性质法,方法一：定义法,方法二：基本公式法,方法三：性质法,方法一：定义法,例,,求函数 的拉氏变换,解,由拉氏变换的定义,案例,,在自动控制系统中，由于开关的闭合或信号的突变 等原因，系统中经常会出现一个“突加作用信号”， 用函数 表示，如图.,试求它的拉氏变换.,解,由拉氏变换的定义,注意:,1、这个结论成立的条件是 ，否则积分不收收敛,2、单位阶跃函数向右平移 个单位后，解析式为,案例,在研究跟随系统时，经常以一种由弱到强做均匀变化的信 号作为典型的输入信号，这种信号函数称为斜坡函数，记 为： （ 为常数），试求该函数的拉氏变换.,解,由拉氏变换的定义,同样，结论成立的条件是,在自动控制系统中，瞬时的扰动（冲击）信号常用 单位脉冲函数 表示，如图.,在研究线性电路在脉冲电动势 作用后所产生的电流，机械系 统受冲击力作用后的运动情况等也要用到，它的拉氏变换等于 1,注意：,单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数， 反之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数,例,试求单位脉冲函数的拉氏变换,解,例,求函数 的拉氏变换,解,例,解,根据定义求函数 的拉氏变换,方法二：基本公式法,方法三：性质法,方法一：定义法,方法二：基本公式法,方法三：性质法,方法一：定义法,引例,,在信号系统中，由于系统的不稳定或外界因素的影响， 我们经常会碰到信号强弱跳动的情况，因此常用分段 信号函数 表示这种情况，试将它用 一个式子表示出来,解,根据单位阶跃函数的性质知,,,所以有,,那么如何求该函数的拉氏变换呢？,一般地，利用拉氏变换的性质求解复杂函数的拉氏变换,拉氏变换的性质,性质1【线性性质】,,若 为常数，函数 的拉氏变换存在，且,,,,则,表明：函数线性组合的拉普拉斯变换等于函数拉普拉斯 变换的线性组合。

性质1可以推广到有限个函数的线性组合形式例,解,,查公式法的表可知,,,所以,,例,解,,查公式法的表可知,,,,性质2【位移性质】,例,解,,求 的拉普拉斯变换,因为,所以，由性质2知,,,例,解,,求 的拉普拉斯变换,因为,所以，由性质2知,,,,,,,性质3【延滞性质】,例,解,求 的拉普拉斯变换,由滞后性质及,,,,例,解,求图示阶梯函数的拉普拉斯变换,该阶梯函数可用单位阶梯函数表示为：,,,,,,,,,上式两端取拉氏变换，并根据拉氏变换的线性性质及滞后性质，得,性质4【微分性质】,,表明：一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数的 拉氏变换乘以参数 ，再减去该函数的初值,,,类似地，,,利用微分性质及其推论，可将函数 的微分方程转化为 象函数的代数方程，给解微分方程提供了简便的方法,例,求,解,,,,,例,利用微分性质求函数 的拉氏变换,解,,,,,由微分性质,,,,,得,例,求,解,,,根据拉普拉斯变换的位移性质,,,根据微分性质,,,,,性质5【积分性质】,表明：一个函数积分后取拉氏变换等于这个函数的 拉氏变换除以,类似地，,,特别地，当 时，,,,,,例,求函数 的拉氏变换,解,,,,,所以由积分性质,,,,,例,解,,求,根据性质,,,又根据性质,,,,,,,,性质6【相似性质】,案例【系统稳定性】,在自动控制系统中，为研究系统的稳态性能（即函数 在 时的数值），因此经常需要求函数的初始值 和终值。

性质7【初值定理】,性质8【终值定理】,例,解,,,设 求,,,例,解,设 求,,,,第三章 拉普拉斯变换,引子,拉普拉斯变换的概念,拉普拉斯变换的计算,拉普拉斯逆变换的计算,拉普拉斯变换的应用,用Matlab进行拉普拉斯运算,引例,在自动控制的一阶线性系统中，有一种典型一阶系统， 其输入信号为单位阶跃函数，为研究系统输出信号的 变化规律，需要掌握该系统的响应函数（输出信号函 数）.,解,根据自动控制系统的知识，典型一阶系统的微分方程为,,对微分方程两边进行拉氏变换，且设,,,,,由于系统为典型一阶系统，,,,,已求出了输出信号函数的拉氏变换， 那么如何求输出信号函数呢 ？,拉氏逆变换的求法,定义,记为,,,拉氏逆变换的性质,性质1【线性性质】,性质2【平移性质】,性质3【延滞性质】,,拉普拉斯逆变换的求法,,直接查表法,性质法,例,解,求下列函数的拉氏逆变换,,,1）将 代入公式表中的公式5，得,,2) 因为,,,,,例,解,求下列函数的拉氏逆变换,,,1）由公式 知,,2),,,,,,,,,,,,,,如果象函数比较复杂，不能从表中直接找到，可先把 象函数分成若干个简单象函数之和，然后再逐项查表 （或应用拉氏变换的性质）求象原函数。

Tips:,在运用拉氏变换解决工程技术中的应用问题时，通常遇到 的象函数是有理分式 .对于有理分式，一般可采用 部分分式方法将它分解为较简单的分式之和，方法如下：,,第一步,先求出方程 的根,第二步,,如果 没有重根，则将 写成,,,再将上式展开成部分分式,其中 为待定常数.通过查表就可以 求得象函数的象原函数.,如果 有重根，如 是 重根，则将 写成,,再将上式展开成部分分式,,例,解,求下列象函数的逆变换,1）,,,,,,,2),因为有理式 的分母无实根，所以 无法用部分分式法把它分解成几个简单象函数的和， 于是,,,,,注意:,一般地,,,,,,,,,,,,因式分解法,配方法,例,解,求象函数 的逆变换,,,,因为分母 中， 的,,,,,,查表,,,,第三章 拉普拉斯变换,引子,拉普拉斯变换的概念,拉普拉斯变换的计算,拉普拉斯逆变换的计算,拉普拉斯变换的应用,用Matlab进行拉普拉斯运算,用拉普拉斯变换解微分方程,拉氏变换求解微分方程的步骤：,1)对微分方程的两边取拉氏变换，得象函数代数方程；,2)由代数方程求象函数；,3)对象函数取拉氏逆变换，求出象原函数(即微分方程的解).,用图表示如下：,,,取拉氏变换,,解代数方程,,取拉氏逆变换,,例,解,,求微分方程 ， 满足初始条件 的特解,,对方程两边进行拉氏变换，且设,,由拉氏变换的微分性质知,,,,由初始条件为 得,,解出 ，并分解象函数，得,,两边取拉氏逆变换，得,,,,运用拉氏变换求微分方程的解，以下几个结论非常重要：,,,,例,解,求微分方程 满足初始条件 的解,,,对方程两边进行拉氏变换，且设,,,,,,,,,由此得,,,,,例,解,求微分方程组 满足初始条件 的解,对方程组中每个方程的两边进行拉氏变换，且设,,根据 得,,,代入初始条件 ，整理得象函数的代数方程组,,解此代数方程组，得,,,对上述两式取拉氏逆变换，得象原函数,,,它们就是原方程组满足初始条件的特解.,案例【系统响应】,,已知响应函数的拉氏变换为 ， 试求系统的响应.,,解,,查表知,,,,案例【斜坡系统响应】,求典型一阶系统中，输入信号为单位斜坡函数的一阶 线性系统响应,解,根据自动控制系统的知识，典型一阶系统的微分方程为：,,对微分方程两边进行拉氏变换，且设,,,,由 ,初始条件为零（即 ）得,,,由于系统为典型一阶系统，,,,,对上式两边拉氏逆变换，得,,案例【电路应用】,,,在宁波某电子元件公司设计的电子元件中包含有一个如图 所示的电路,其中电阻为 ,电感为 ,电压为 ,开关 合上后，电路中有电流通过，试求该 电子元件的电路中电流 的变化规律.,解,由回路电压定律知,,,,,对方程两边进行拉氏变换，并设,,,代入初始条件 ，整理后得,,两边进行拉氏逆变换，得,,,即为所求的电流变化规律,案例【质点位移】,,,设一质量为 的质点，受一大小为 的吸引力作用， 沿轴 方向接近原点，此运动同时受到阻尼力 的作用，求质点的运动位移 . 假设 .,解,根据题意建立微分方程，得,,对方程两边同时进行拉氏变换，且设 并将初始条件代入得,,,,,两边取拉氏逆变换得,,,小 结,拉普拉斯解应用问题的步骤：,（1）根据专业知识，建立数学模型（列出微分方程）；,（2）对微分方程的两边取拉氏变换，得象函数代数方程；,（3）由代数方程求象函数；,（4）对象函数取拉氏逆变换，求出象原函数(即微分方程的 解)，从而求出问题的解。

第三章 拉普拉斯变换,引子,拉普拉斯变换的概念,拉普拉斯变换的计算,拉普拉斯逆变换的计算,拉普拉斯变换的应用,用Matlab进行拉普拉斯运算,在Matlab中，求拉氏变换的命令为,laplace(f),% 求函数 的拉氏变换,例,解,求下列函数的拉氏变换,,,（1）,syms t laplace(t^3+sin(2*t)) ans= 6/s^4+2/(s^2+4),syms t laplace(t*exp(2*t)+cos(3*t)) ans = 1/(s-2)^2+s/(s^2+9),（2）,,,例,解,求下列函数的拉氏变换,,,,（1）,syms t laplace(t*exp(-2*t)*sin(5*t)) ans = 10/((s+2)^2+25)^2*(s+2),,（2）,syms t laplace((exp(-2*t)*sin(2*t))/t) ans = 1/2*pi-atan(1/2*s+1),（3）,syms t laplace(t+2*t^3*exp(3*t)) ans = 1/s^2+12/(s-3)^4,,,在Ma。