第9课时 函数与方程 1.函数的零点函数的零点(1)对于函数对于函数y＝＝f(x)，我们把，我们把使使f(x)＝＝0的实数的实数x叫做函数叫做函数y＝＝f(x)的的 ．．(2)方程方程f(x)＝＝0有解有解⇔⇔函数函数y＝＝f(x)的图象的图象 ⇔⇔函数函数y＝＝f(x)有零点有零点．．基础知识梳理基础知识梳理零点零点与与x轴有交点轴有交点 基础知识梳理基础知识梳理1.所有的函数都有零点吗？所有的函数都有零点吗？【【思考思考··提示提示】】 并非任意并非任意函数都有零点，只有函数都有零点，只有f(x)＝＝0有根有根的函数的函数y＝＝f(x)才有零点．才有零点． (3)如果函数如果函数y＝＝f(x)在区间在区间[a，，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并上的图象是连续不断的一条曲线，并且有且有 ，那么函数，那么函数y＝＝f(x)在区间在区间 内有零点，即存在内有零点，即存在c∈∈(a，，b)，使得，使得 ，这个，这个 也就是方也就是方程程f(x)＝＝0的根．的根．基础知识梳理基础知识梳理f (a)·f(b)<0(a，，b)f(c)＝＝0c 基础知识梳理基础知识梳理2.在上面的条件下，在上面的条件下，(a，，b)内的零点有几个？内的零点有几个？【【思考思考··提示提示】】 在上面的在上面的条件下，条件下，(a，，b)内的零点至少有内的零点至少有一个一个c，，还可能有其他零点，个可能有其他零点，个数不确定．数不确定． 2．二分法．二分法 (1)二分法的定义二分法的定义 对于在区间对于在区间[a，，b]上连续不断且上连续不断且 的函数的函数y＝＝f(x)，通过不断地，通过不断地把函数把函数f(x)的零点所在的区间的零点所在的区间 ，，使区间的两个端点逐步逼近使区间的两个端点逐步逼近零点零点，进而，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．得到零点近似值的方法叫做二分法．基础知识梳理基础知识梳理f(a)·f(b)<0一分为二一分为二 基础知识梳理基础知识梳理 (2)用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似零点近似值的步骤值的步骤 第一步：确定区间第一步：确定区间[a，，b]，验证，验证 ，给定精确度，给定精确度ε. 第二步：求区间第二步：求区间(a，，b)的中点的中点x1.f(a)·f(b)<0 第三步：计算第三步：计算 ：：①①若若 ，则，则x1就是函数的就是函数的零点；零点；②②若若 ，则令，则令b＝＝x1(此此时零点时零点x0∈∈(a，，x1))；；③③若若 ，则令，则令a＝＝x1(此此时零点时零点x0∈∈(x1，，b))；；基础知识梳理基础知识梳理f(x1)＝＝0f(a)·f(x1)<0f(x1)·f(b)<0f(x1) 第四步：判断是否达到精确度第四步：判断是否达到精确度ε：：即若即若|a－－b|<ε，则得到零点近似值，则得到零点近似值a(或或b)；否则重重复第二、三、四步．；否则重重复第二、三、四步．基础知识梳理基础知识梳理 三基能力强化三基能力强化1．．(教材习题改编题教材习题改编题)函数图象与函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是横坐标的是( )答案：B 三基能力强化三基能力强化答案：答案：B 3．函数．函数f(x)＝＝x3－－2x2＋＋x的零点的零点是是( )A．．0 B．．1C．．0和和1 D．．(0,0)和和(1,0)答案：答案：C三基能力强化三基能力强化 4．若函数．若函数f(x)＝＝2x2－－ax＋＋3有有一个零点是一个零点是1，则，则f(－－1)＝＝________.答案：答案：10三基能力强化三基能力强化 5．．(2009年高考山东卷年高考山东卷)若函数若函数f(x)＝＝ax－－x－－a(a>0且且a≠1)有两个零点，有两个零点，则实数则实数a的取值范围是的取值范围是________．．答案：答案：a＞＞1三基能力强化三基能力强化 函数零点个数的判定有下列几函数零点个数的判定有下列几种方法：种方法：(1)直接求零点：令直接求零点：令f(x)＝＝0，如，如果能求出解，则有几个解就有几个果能求出解，则有几个解就有几个零点．零点．课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一函数的零点函数的零点 (2)零点存在性定理：利用该定零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在理不仅要求函数在[a，，b]上是连续的上是连续的曲线，且曲线，且f(a)·f(b)＜＜0，还必须结合函，还必须结合函数的图象和性质数的图象和性质(如单调性如单调性)才能确定才能确定函数有多少个零点．函数有多少个零点．课堂互动讲练课堂互动讲练 (3)画两个函数图象，看其交画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．不同的零点．课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1判断下列函数在给定区间上是否存判断下列函数在给定区间上是否存在零点．在零点．(1)f(x)＝＝x2－－3x－－18，，x∈∈[1,8]；；(2)f(x)＝＝x3－－x－－1，，x∈∈[－－1,2]；；(3)f(x)＝＝log2(x＋＋2)－－x，，x∈∈[1,3]．． 【【思路点拨思路点拨】】 判定函数在端判定函数在端点处的函数值正负，然后判断是否点处的函数值正负，然后判断是否存在零点．存在零点．课堂互动讲练课堂互动讲练 【【解解】】 (1)(1)法一法一：因为：因为f(1)＝＝－－20<0，，f(8)＝＝22>0，，所以所以f(1)·f(8)<0，，故故f(x)＝＝x2－－3x－－18，，x∈∈[1,8]存在零点存在零点．．法二法二：令：令x2－－3x－－18＝＝0，，解得解得x＝－＝－3或或6，，所以函数所以函数f(x)＝＝x2－－3x－－18，，x∈∈[1,8]存在零点存在零点．．课堂互动讲练课堂互动讲练 (2)∵∵f(－－1)＝－＝－1<0，，f(2)＝＝5>0，，f(－－1)·f(2)<0，，∴∴f(x)＝＝x3－－x－－1，，x∈∈[－－1,2]存存在零点在零点．．(3)∵∵f(1)＝＝log2(1＋＋2)－－1>log22－－1＝＝0.f(3)＝＝log2(3＋＋2)－－30，，所以函数在所以函数在(0,1)内存在零点内存在零点，，即方程即方程2x3＋＋3x－－3＝＝0在在(0,1)内有解内有解．．取取(0,1)的中点的中点0.5，，经计算经计算f(0.5)<0，，又又f(1)>0，，所以方程所以方程2x3＋＋3x－－3＝＝0在在(0.5,1)内有解内有解，，课堂互动讲练课堂互动讲练 如此继续下去，得到方程的一个实如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表数解所在的区间，如下表. .课堂互动讲练课堂互动讲练 至此，可以看出方程的根落在至此，可以看出方程的根落在区间长度小于区间长度小于0.1的区间的区间(0.6875,0.75)内，可以将区间端点内，可以将区间端点0.6875作为函数作为函数f(x)零点的近似值．因此零点的近似值．因此0.6875是方是方程程2x3＋＋3x－－3＝＝0精确度为精确度为0.1的一个的一个近似解．近似解．课堂互动讲练课堂互动讲练 【【思维总结思维总结】】 求函数零点的求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过近似值的关键是利用二分法求值过程中，区间长度是否小于精确度程中，区间长度是否小于精确度εε，当区间长度小于精确度，当区间长度小于精确度εε时，运时，运算即告结束．算即告结束．课堂互动讲练课堂互动讲练 有些问题利用零点求参数的范有些问题利用零点求参数的范围，可利用方程，但有时不易甚至围，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了．这图象求解，使得问题简单明了．这也体现了当不是求零点，而是求零也体现了当不是求零点，而是求零点的个数，或有零点时求参数的范点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解．围，一般采用数形结合法求解．课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三函数零点的综合应用函数零点的综合应用 课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)(1)若若g(x)＝＝m有零点，求有零点，求m的取的取值范围；值范围；(2)确定确定m的取值范围，使得的取值范围，使得g(x)－－f(x)＝＝0有两个相异实根．有两个相异实根． 【【思路点拨思路点拨】】 (1)g(x)＝＝m有零有零点，可以结合图象也可以解方程．点，可以结合图象也可以解方程．(2)利用图象求解．利用图象求解．课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练等号成立的条件是等号成立的条件是x＝＝e，， 3分分故故g(x)的值域是的值域是[2e，＋，＋∞)，，因而只需因而只需m≥2e，则，则g(x)＝＝m就有就有零点零点. 5分分 课堂互动讲练课堂互动讲练 3分分可知若使可知若使g(x)＝＝m有零点，则有零点，则只需只需m≥2e. 5分分 课堂互动讲练课堂互动讲练 (2)若若g(x)－－f(x)＝＝0有两个相异的有两个相异的实根实根，，即即g(x)＝＝f(x)中中g(x)与与f(x)的图象有的图象有两个不同的交点．两个不同的交点．课堂互动讲练课堂互动讲练∵∵f(x)＝－＝－x2＋＋2ex＋＋m－－1＝－＝－(x－－e)2＋＋m－－1＋＋e2. 课堂互动讲练课堂互动讲练其图象对称轴为其图象对称轴为x＝＝e，开口向，开口向下，最大值为下，最大值为m－－1＋＋e2. 10分分故当故当m－－1＋＋e2>2e，，即即m>－－e2＋＋2e＋＋1时，时，g(x)与与f(x)有两个交点，有两个交点，即即g(x)－－f(x)＝＝0有两个相异实有两个相异实根．根．∴∴m的取值范围是的取值范围是(－－e2＋＋2e＋＋1，＋，＋∞). 12分分 【【误区警示误区警示】】 在讨论 在讨论g(x)－－f(x)＝＝0有两个相异实数根时，求有两个相异实数根时，求g(x)的最小值小于的最小值小于f(x)的最大值时的最大值时不能取到等号．不能取到等号．课堂互动讲练课堂互动讲练 (本题满分本题满分12分分)若函数若函数f(x)＝＝|4x－－x2|＋＋a，求满足下列条件，求满足下列条件a的值．的值．(1)有两个零点；有两个零点；(2)有三个零点；有三个零点；(3)无零点；无零点；(4)有四个零点．有四个零点．课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅高考检阅 解解：函数：函数f(x)＝＝|4x－－x2|＋＋a有零点，有零点，等价于等价于|4x－－x2|＋＋a＝＝0有实根，即有实根，即|4x－－x2|＝－＝－a有实根，令有实根，令g(x)＝＝|4x－－x2|，，h(x)＝＝－－a，，则上述问题等价于则上述问题等价于g(x)与与h(x)有交点，有交点，故作出故作出g(x)的图象，由图象可知：的图象，由图象可知：课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练(1)当当-a=0或或-a＞＞4，即，即a=0或或a＜＜-4时，时，g(x)与与h(x)有两个交点，即有两个交点，即f(x)有两个零点；有两个零点； 4分分(2)当－当－a＝＝4，即，即a＝－＝－4时，时，h(x)与与g(x)的图象有三个交点，的图象有三个交点，即即f(x)有三个零点有三个零点. 6 分分 课堂互动讲练课堂互动讲练(3)当－当－a＜＜0，即，即a＞＞0时，时，g(x)与与h(x)图象无交点；图象无交点；即即f(x)无零点无零点. 8分分(4)当当0＜－＜－a＜＜4，即－，即－4＜＜a＜＜0时，时，g(x)与与h(x)图象有四个交点，图象有四个交点，即即f(x)有四个零点有四个零点. 10分分 综上所述：综上所述：(1)当当a＝＝0或或a＜－＜－4时，时，f(x)有两个零点．有两个零点．(2)当当a＝－＝－4时，时，f(x)有三个零点；有三个零点；(3)当当a＞＞0时，时，f(x)无零点．无零点．(4)当－当－4＜＜a＜＜0时，时，f(x)有四个零点有四个零点. 12分分课堂互动讲练课堂互动讲练 1．函数零点的理解．函数零点的理解(1)函数的零点、方程的根、函数函数的零点、方程的根、函数图象与图象与x轴的交点的横坐标，实质是轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与即函数图象与x轴交点的个数．轴交点的个数．规律方法总结规律方法总结 (2)变号零点与不变号零点．变号零点与不变号零点．①①若函数若函数f(x)在零点在零点x0左右两侧的函数值左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点．的变号零点．②②若函数若函数f(x)在零点在零点x0左右两侧的函数值左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点．的不变号零点．③③若函数若函数f(x)在区间在区间[a，，b]上的图象是一上的图象是一条连续的曲线，则条连续的曲线，则f(a)·f(b)＜＜0是是f(x)在区间在区间(a，，b)内有零点的充分不必要条件．内有零点的充分不必要条件．规律方法总结规律方法总结 2．用二分法求曲线交点的坐标应．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题注意的问题(1)曲线交点坐标即为方程组的解，曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．从而转化为求方程的根．(2)求曲线求曲线y＝＝f(x)和和y＝＝g(x)的交点的的交点的横坐标，实际上就是求函数横坐标，实际上就是求函数y＝＝f(x)－－g(x)的零点，即求的零点，即求f(x)－－g(x)＝＝0的根．的根．规律方法总结规律方法总结 3．用二分法求函数零点近似值的．用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题步骤须注意的问题(1)第一步中要使：第一步中要使：①①区间长度尽区间长度尽量小；量小；②②f(a)，，f(b)的值比较容易计算的值比较容易计算且且f(a)·f(b)＜＜0.(2)根据函数的零点与相应方程根根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝＝g(x)的根，可以构造函数的根，可以构造函数F(x)＝＝f(x)－－g(x)，函数，函数F(x)的零点即为方程的零点即为方程f(x)＝＝g(x)的根．的根．规律方法总结规律方法总结 。
