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备战2025年高考二轮复习数学专题检测2.docx

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    • 专题检测二(分值:118分)学生用书P157一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024·北京房山一模)已知角α的终边经过点(3,4),把角α的终边绕原点O逆时针旋转π2得到角β的终边,则sin β=(  )A.-45 B.45 C.-35 D.35答案D解析因为角α的终边经过点(3,4),所以cos α=332+42=35.把角α的终边绕原点O逆时针旋转π2得到角β的终边,所以β=α+π2,所以sin β=sinα+π2=cos α=35.故选D.2.(2024·陕西西安模拟)已知α为锐角,sin α=35,则cosα2=(  )A.1010 B.31010 C.55 D.255答案B解析由α为锐角,sin α=35,得cos α=1-sin2α=45.又cos α=2cos2α2-1,且α2为锐角,所以cosα2=1+cosα2=31010.故选B.3.(2024·陕西西安二模)已知sin(α+β)sin(α-β)=2,cos αsin β=16,则sin(α+β)=(  )A.13 B.23 C.19 D.-23答案B解析由sin(α+β)sin(α-β)=2,可得sin(α+β)=2sin(α-β),整理得3cos αsin β=sin αcos β.因为cos αsin β=16,所以sin αcos β=12,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=12+16=23.故选B.4.(2024·江苏南通三模)已知三个单位向量a,b,c满足a=b+c,则向量b,c的夹角为(  )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案C解析由题可得,a2=b2+c2+2b·c,即1=1+1+2b·c,则b·c=-12,即1×1×cos=-12,则cos=-12.因为∈[0,π],所以向量b,c的夹角为2π3.故选C.5.(2024·四川绵阳三模)若函数f(x)=cos(πx+φ)的图象关于直线x=1对称,在下列选项中,(  )不是f(x)的零点.A.-1 B.-12 C.32 D.52答案A解析由题可知,函数f(x)的周期T=2ππ=2.又f(x)=cos(πx+φ)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的零点满足1-T4+k=12+k,k∈Z,所以-12,32,52均为f(x)的零点,-1不是f(x)的零点.故选A.6.(2024·四川攀枝花三模)将函数y=sin2x-cos2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y=sin 2x的图象关于原点对称,则m的最小值是(  )A.π4 B.3π4 C.π2 D.3π2答案B解析令f(x)=sin2x-cos2x,则f(x)=-cos 2x.设f(x)向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)=-cos[2(x-m)]=-cos(2x-2m).因为g(x)的图象与y=sin 2x的图象关于原点对称,则有g(x)=-sin(-2x)=sin 2x,即-cos(2x-2m)=sin 2x,所以-2m=π2+2kπ(k∈Z),解得m=-π4-kπ(k∈Z).又因为m>0,所以当k=-1时,m取最小值为3π4.故选B.7.(2024·山东济南二模)已知函数f(x)=3sin 2x-cos 2x,则下列结论正确的是(  )A.函数f(x)的最大值是3B.函数f(x)在区间-π6,π3上单调递增C.该函数的最小正周期是2πD.该函数向左平移π6个单位长度后图象关于原点对称答案B解析由题可得,f(x)=3sin 2x-cos 2x=2sin2x-π6,可得函数最大值是2,最小正周期是π,故选项A,C错误;当x∈-π6,π3时,2x-π6∈-π2,π2,根据正弦函数的性质,可得函数f(x)=2sin2x-π6在区间-π6,π3上单调递增,故B正确;将函数f(x)图象向左平移π6个单位长度,得到函数f(x)=2sin2x+π6的图象,此时函数f(x)的图象不关于原点对称,故D错误.故选B.8.(2024·黑龙江二模)“不以规矩,不能成方圆”中的“规”指圆规,“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺,今有一块圆形木板,按图中数据,以“矩”量之,若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板,且这块四边形木板的一个内角α满足cos α=13,则这块四边形木板周长的最大值为(  )A.10(30+15)3 cm B.10(30-15)3 cmC.10(10+5)3 cm D.10(10-5)3 cm答案A解析因为四边形木板的一个内角α满足cos α=13,如图.设∠BAD=α,由题设可得圆的直径为100+25=55,故BD=55sin α.因为cos α=13,α为三角形内角,故sin α=1-132=223,故BD=55×223=10103,则AB2+AD2-2AD×ABcos α=BD2=1 0009,故(AB+AD)2=83AD×AB+1 0009≤2(AD+AB)23+1 0009,故AB+AD≤1 0009×3=10303,当且仅当AB=AD=5303时,等号成立.同理,BC+CD≤10153,当且仅当BC=CD=5153时,等号成立,故四边形周长的最大值为10(30+15)3 cm.故选A.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2024·安徽芜湖二模)在平面直角坐标系xOy中,角θ以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点M(a,b),|OM|=m(m≠0),定义f(θ)=b+am,g(θ)=b-am,则(  )A.fπ6+gπ6=1B.f(θ)+f2(θ)≥0C.若f(θ)g(θ)=2,则sin 2θ=35D.f(θ)g(θ)是周期函数答案ACD解析由题意得,M(a,b)在角θ的终边上,且|OM|=m,所以cos θ=am,sin θ=bm,则f(θ)=b+am=sin θ+cos θ=2sinθ+π4,g(θ)=b-am=sin θ-cos θ=2sinθ-π4.对于A,fπ6+gπ6=sinπ6+cosπ6+sinπ6-cosπ6=1,故A正确;对于B,f(θ)+f2(θ)=sin θ+cos θ+(sin θ+cos θ)2,令t=sin θ+cos θ=2sinθ+π4,t∈[-2,2],所以f(θ)+f2(θ)=t+t2=t+122-14≥-14,故B错误;对于C,f(θ)g(θ)=sinθ+cosθsinθ-cosθ=tanθ+1tanθ-1=2,解得tan θ=3.由sin 2θ=2sin θcos θ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=2×332+1=35,故C正确;对于D,f(θ)g(θ)=(sin θ+cos θ)(sin θ-cos θ)=sin2θ-cos2θ=-cos 2θ.因为y=cos 2θ为周期函数,故D正确.故选ACD.10.(2024·湖南岳阳三模)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则(  )A.ω=2B.f(x)的单调递减区间为kπ+π12,kπ+7π12,k∈ZC.f(x)的图象可由函数y=2cos 2x的图象向右平移π6个单位长度得到D.满足条件f(x)-f-7π4f(x)-f4π3>0的最小正整数x为2答案ABD解析设函数f(x)的周期为T,由图象可得,34T=13π12-π3=3π4,则T=π,所以2πω=π,解得ω=2,故A正确.当x=13π12时,函数f(x)=2cos(ωx+φ)取最大值,所以2×13π12+φ=2mπ,m∈Z,则φ=2mπ-13π6,m∈Z.又|φ|<π2,所以φ=-π6,故f(x)=2cos2x-π6.由2kπ≤2x-π6≤2kπ+π,k∈Z,可得kπ+π12≤x≤kπ+7π12,k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区间为kπ+π12,kπ+7π12,k∈Z,故B正确.将函数y=2cos 2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数y=2cos2x-π3的图象,故C错误.因为f(x)=2cos(2x-π6),所以f-7π4=2cos-7π2-π6=2cos3π2+π6=1,f4π3=2cos8π3-π6=2cos5π2=0,所以(f(x)-f-7π4)(f(x)-f4π3)>0可化为(f(x)-1)f(x)>0,所以f(x)>1或f(x)<0.由f(x)>1可得,cos2x-π6>12,所以2nπ-π3<2x-π6<2nπ+π3,n∈Z,即nπ-π120的最小正整数x为2,故D正确.故选ABD.11.(2024·山东潍坊二模)已知向量a,b,c为平面向量,|a|=1,|b|=2,a·b=0,|c-a|=12,则(  )A.1≤|c|≤32B.(c-a)·(c-b)的最大值为1+254C.-1≤b·c≤1D.若c=λa+μb,则λ+μ的最小值为1-54答案BCD解析对于A,设a=(1,0),b=(0,2),c=(x,y),根据|c-a|=12,得(x-1)2+y2=12,即(x-1)2+y2=14,表示的是圆心为(1,0),半径为12的圆.又|c|=x2+y2的几何意义为原点到圆(x-1)2+y2=14上点(x,y)的距离,则12≤|c|≤32,故A错误.对于B,(c-a)·(c-b)=(x-1)x+y(y-2)=x2-x+y2-2y=x-122+(y-1)2-54,则转化为求圆(x-1)2+y2=14上的点到12,1的距离最大值,为(1-122+12+12)2-54=(52+12)2-54=1+254,故B正确.对于C,b·c=2y,因为-12≤y≤12,故-1≤b·c≤1,故C正确.对于D,因为(x-1)2+y2=14,故x=cosθ2+1,y=sinθ2.又因为c=λa+μb,故λ=x,μ=y2,λ+μ=cosθ2+1+sinθ4=54(255cos θ+55sin θ)+1=54sin(θ+φ)+1,故当sin(θ+φ)=-1时,λ+μ取最小值1-54,故D正确.故选BCD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2024·广东茂名一模)如图,△ABC在边长为1的小正方形组成的网格中,则AB·AC=  . 答案9解析如图,以点B为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A(2,3),C(5,-2).所以AB=(-2,-3),AC=(3,-5),故AB·AC=-2×3+(-3)×(-5)=9.13.(2024·湖南长沙模拟)海边近似平直的海岸线上有两处码头A,B,且AB=3 km.现有一观光艇由B出发,同时在A处有一小艇出发向观光艇补充物资,其速度为观光艇的两倍,在M处成功拦截观光艇,完成补给.若两船都做匀速直线运动,观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下,小艇总可以设定合适的出。

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