2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 3 弧度制教学案 北师大版必修4.doc

3 弧度制[核心必知]1．度量角的单位制(1)角度制规定周角的为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．角度与弧度的互化(1)角度制与弧度制的互化(换算)180°＝π_rad；1°＝ rad＝0.017 45 rad；1 rad＝＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°225°270°315°360°弧度0π2π(3)任意角的弧度数与实数的对应关系任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则　　　　度量单位　类别　　α为角的度数α为角的弧度数扇形的弧长l＝l＝|α|r扇形的面积S＝S＝lr＝|α|r2[问题思考]1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？提示：相同．在公式|α|＝中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？提示：不是同一个角.2°是角度制，2是弧度制，2 rad约为115°.3．390°可以写成360°＋吗？提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．讲一讲1．(1)把112°30′化为弧度；(2)－ rad化为度．[尝试解答]　(1)∵1°＝ rad，∴112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad.(2)∵1 rad＝°，∴－ rad＝－×°＝－75°.1．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝ rad化为弧度便可．2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．练一练1．将下列角度与弧度互化．(1)20°；(2)；(3)8 rad解：(1)20°＝20×＝，(2)＝×180°＝165°.(3)8 rad＝8×°≈8×57.30°＝458.40°.讲一讲2．把下列角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－；　(2)－1 485°.[尝试解答]　(1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋，它是第四象限角，与终边相同的角的集合为.用弧度制表示角的集合时应注意：(1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数；(2)π的倍数是偶数，α的范围是[0，2π)(3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位．练一练2．(1)用弧度表示终边落在x轴的非正、非负半轴上，y轴的非正、非负半轴上，x轴上，y轴上的角的集合；(2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合．解：(1)终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{β|β＝2kπ＋π，k∈Z}；终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{β|β＝2kπ，k∈Z}；终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为；终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{β|β＝2kπ＋，k∈Z}；所以，终边落在x轴上的角的集合为{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合为.(2)第一象限角为；第二象限角为；第三象限角为；第四象限角为.讲一讲3．(1)已知扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积．(2)已知扇形的周长为6 cm，面积为2 cm2，求扇形圆心角的弧度数．[尝试解答]　(1)∵α＝30°＝，∴l＝|α|×r＝×1＝(cm)S＝|α|×r2＝××12＝(cm2)故扇形的弧长为 cm，面积为 cm2.(2)设扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，由题意得消去l并整理得，r2－3r＋2＝0，解得r＝1或r＝2.当r＝1时，l＝4，圆心角α＝＝＝4；当r＝2时，l＝2，圆心角α＝＝＝1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．1．涉及扇形的周长、弧长、圆心角和面积等的计算，关键是要弄清题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组解决．2．解题过程中，常常用到方程的思想及等价转化的思想．练一练3．扇形的周长C一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积S最大，最大值是多少？解：设扇形的半径为R，则扇形的弧长为C－2R，∵S＝(C－2R)×R＝－R2＋R＝－(R－)2＋()2，∴当R＝，即θ＝＝2时，扇形有最大面积.用弧度表示终边落在图中的阴影部分内的角的集合如图(不包括边界角)．[错解]　(1)图①中，S1＝{θ|2kπ＋330°<θ<2kπ＋75°，k∈Z}；(2)图②中，S2＝{θ|2kπ＋225°<θ<2kπ＋135°，k∈Z}；(3)图③中，S3＝{θ|2kπ＋30°<θ<2kπ＋90°或2kπ＋210°<θ<2kπ＋270°，k∈Z}．[错因]　上面解答犯了两个错误：一是角的大小没分清，如(1)中330°>75°，(2)中，225°>135°，其实写出的集合S1，S2中不含任何元素；二是角度与弧度在同一表达式中混用．[正解]　(1)图①中以OB为终边的角为330°，可看成为－30°，化为弧度，即－，而75°＝75×＝，∴所求集合为.(2)图②中以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化为弧度，即－，而135°＝，∴所求集合为.(3)图③中，∵30°＝，210°＝，∴所求集合为∪，即∪.即.1．下列说法不正确的是(　　)A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同制度B．1度的角是圆周的所对的圆心角，1弧度的角是圆周的所对的圆心角C．根据弧度的定义，180°一定等于π radD．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关解析：选D　根据角、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D错误．2．若α＝1 920°，则该角的弧度数为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C. D.解析：选D　∵1°＝弧度，∴1 920°＝1 920× rad＝ rad.3．－的终边所在的象限是(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D　－＝－2π－，因为－是第四象限角，所以－是第四象限角．4．已知半径为10 cm的圆上，有一条弧的长是40 cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．解析：由l＝|α|×r，得弧度数为4.答案：4 5．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20 cm，则扇形的面积是________．解析：设扇形的弧长为l.∵72°＝72× rad＝ rad，∴l＝|α|×r＝×20＝8π(cm)，∴S＝lr＝×8π×20＝80π(cm2)．答案： 80π cm26．(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.解：(1)∵－1 480°＝－＝－＝－10π＋，又0≤<2π，∴－1 480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π.(2)由(1)可知α＝.∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋，k∈Z.又∵β∈[－4π，0]，令k＝－1，则β＝－，令k＝－2，则β＝－，∴β的值是－，－.一、选择题1．下列命题中，真命题是(　　)A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角解析：选D　由弧度制定义知D正确．2．α＝－2 rad，则α的终边在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选C　∵－π<－2<－，∴α的终边落在第三象限，故选C.3．时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为(　　)A. B．－C. D．－解析：选B　显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了2周，其弧度数为－(2π×)＝－ rad.4．设集合A＝，B＝，则集合A与B之间的关系为(　　)A．AB B．ABC．A＝B D．A∩B＝∅解析：选C　对于集合A，当k＝2n(n∈Z)时，x＝2nπ＋，当k＝2n＋1(n∈Z)时，x＝2nπ＋π－＝2nπ＋∴A＝B，故选C.二、填空题5．在半径为2的圆内，弧长为的圆心角的度数为________．解析：设所求的角为α，角α＝＝＝60°.答案：60°6．终边落在直线y＝x上的角的集合用弧度表示为S＝________．解析：S＝∪＝∪{α|α＝＋(2k＋1)π，k∈Z}＝.答案：{α|α＝＋nπ，n∈Z}7．已知θ∈，则角θ的终边所在的象限是________．解析：当k为偶数时，α＝2nπ＋，终边在第一象限；当k为奇数时，α＝(2n＋1)π－＝2nπ＋π，终边在第二象限．答案：第一、二象限8．已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad，则它的周长为________．解析：设扇形的弧长为l，半径为r，则由S＝αr2＝25，得r＝5，l＝αr＝10，故扇形的周长为20.答案：20三、解答题9．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)图①中，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)．∴阴影部分内的角的集合为{α|－＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．(2)图②中，以OA为终边的角为＋2kπ，k∈Z；以OB为终边的角为＋2kπ，k∈Z.不妨设右边阴影部分所表示集合为M1，左边阴影部分所表示集合为M2，则M1＝{α|2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}，M2＝{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．∴阴影部分所表示的集合为：M1∪M2＝{α|2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}∪{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}＝{α|2kπ<α<＋2kπ或＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．10．如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t s，则t×＋t×|－|＝2π，所以t＝4(s)，即P，Q第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C，第一次相遇时已运动到终边在×4＝的位置，则xc＝－＝－2，yc＝－＝－2，所以C点的坐标为(－2，－2)．P点走过的弧长为×4＝，Q点走过的弧长为×4＝.- 11 -。