数学 学年论文 毕业论文 反对称矩阵的一些性质.doc

反对称矩阵的一些性质研究摘 要：本文讨论了反对称矩阵的一些基本性质，诸如秩、特征向量及特征值、 合同标准形以及欧氏空间中的反对称变换关键词：反对称矩阵 对称矩阵 秩伴随矩阵 反对称变换矩阵是高等代数中的一个极其重要、应用相半广泛的概念，而矩阵中的一类 特殊矩阵——反对称矩阵又显得特别重要，本文就介绍一下反对称矩阵的一些主 要性质，为以后的研究提供帮助定义：设A是一 n阶方阵，如果A，= -A,则称A为反对称矩阵一、基本性质性质1：任何一个n阶矩阵A,均可唯一的表示为一个对称矩阵与一个反对称矩 阵之和，即A=B+C其中B, C分别满足Br = B,Cr = -Co证明：因为 A=%(A + A[+%(A_A],令 B=%(A + A), C=%(A — A,则有B\[%(A + A)[ = %(A，+ A)=B, C = [%(A —A，)] =—C, 所以有A=B+Co性质2：若A是反对称矩阵，则其对角线丄的元素全为0证明：记 A = (a”J“x“，则由 A = -A知：an = -an 即有：= 0 (i=l,2,3.・.n)也即A的主对角线上的元素全为0o性质3：设A, B为n阶反对称矩阵，k为常数，1为正整数，贝山(1) A士B, kA, AB-BA为反对称矩阵；(2) AB为对称矩阵的充要条件为AB=BA；(3) 当1为奇数时，A为反对称矩阵；当1为偶数时，A为对称矩阵。

证明：⑴由(A土Bj = A，B=(・A)士(・B)=・(A土B)知A士B为反对称矩阵；由(ZcA) =MV =-A知，kA为反对称矩阵；由(AB —BA)‘=(AB)‘—(BA)‘=BA‘ —AB，=BA-AB=-(AB-BA), 知 AB-BA为反对称矩阵2)必要性：由AB为对称阵知，(AB) = AB ,即= AB也即BA=AB 充分性：由AB=BA知，(AB) =BW = BA = AB,即AB为对称矩阵3)因为仪)=3丁 =(-人)=(-1)%,所以当1为奇数吋，有(Az/ =-A\ 即A为反对称矩阵；当1为偶数吋，有(A)=A,即A，为对称矩阵 性质4：设A是任一 n阶矩阵，则A-A，必为反对称矩阵证明：因为(A — Aj = A，—(Aj = A，— A = —(A — Al，所以，A —A，为反对称 阵性质5：设A是奇数阶反对称矩阵,则lA|=0o证明：因为|A| = |Ar| = |-A| = -|A|,所以lA|=Oo性质6：设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵，则AB+BA是n阶反对称 矩阵证明：因为(AB + BA)=B7/ +AE，二一BA-AB = -(AB + BA),所以 AB+BA 是 n阶反对称矩阵性质7：设B是n阶实矩阵，则B为反对称矩阵的充要条件为对任意n维列向量 X,均有 XZBX = 0 o证明：必要性：因为B为反对称矩阵，所以XZBX = Xf(-Br)X = -(XfBx/ = -XABX 从而 XBX = 0 ；充分性：令B二(磚),取Xp + 6,其i|乜表示第i个分量是1,其余\ V /nxn 1 J 1分量是0的n维列向量，则XrBX =(,• + + J = 6 Bq + j Bj + . + s i Bj =9 96 Be)+ )8=垢+bjj=O,即右血=一/?“， 其中 I, j=l, 2, 3rs.ii。

从而 B为反对称矩阵性质8：设A为n阶反对称矩阵，A*为其伴随矩阵，则n为偶数时，A*为反 对称矩阵；n为奇数吋，A"为对称矩阵证明：由伴随矩阵的定义知，(aJ=(A「且对任意的数k,有(RA)、严A； 乂 A为反对称矩阵，即(A*/=(A7=(-A)* =(-1)，?-^\从而当 n为偶数时，(Ae/=-A\即A*为反对称矩阵；当n为奇数时， 由(A") =A*知,A*为对称矩阵性质9：设A为n阶可逆反对称矩阵，则n为偶数时，A"也为反对称矩阵证明：由性质5可知，n为偶数,因为A_=A/| a|,所以由性质8和性质3可知，A-】也是反对称矩阵二、秩的性质秩（A）= n引理：设A为n阶矩阵（/i ＞ 2）,那么，秩（A*）= 1秩（A）= h-1 秩（A）（〃 -1证明：（1）当秩（A）=m 时，因为 |a|hO,|a[ = |a|"T H0,所以秩（A*）=no ⑵当秩（A）=n-1吋，A至少有一•个ml级子式不为0,故秩（A*）＞1, 另外，由 A = 0, AA* = AE = 0 矢口，秩（A）+秩（A）5 n,即秩（A*）5 1, 也即秩（A*）=lo⑶当秩（A）（n-1吋，A的一切n・l级了式全为0,即A” =0,因而有秩 （A*）=0o性质10：设A是n阶反对称矩阵，且A中有一个I•阶主子式M,•不为0,但所有含M「的r+1阶与r+2阶主子式均为0,则秩（A）=ro证明：不妨设M,•位于A的左上角，记M,加A中第I行第j列元素所成的加边M /?. v行列式为B。

•二 r J ,其l1^, =(6Zz1,6/,-2,A air\/3. = M o 考虑以下 % aa帆丿r+2阶主子矩阵C = (Mr "J,其中r+2阶主子式，所以|C|=0o由引理可知秩（Ce）＜l,从而的C*的二阶子B .. B・・式〃 "=0,即B.B^ = 0,又B“,B〃是含M,.的r+1阶主子式,dj氏从而B, =B.. =0,所以B.B.. =0,又反对称矩阵的任一•主子矩阵仍为反对 称矩阵，且M「h0,所以r为偶数，从而C为偶数阶反对称矩阵，由性质 8和L为反对称矩阵知道B.. = -B ..,因而有B..2 = 0 ,即B.. = 0 ,所以秩=r0性质11：若A为反对称矩阵，且A的所有r+1阶与r+2阶主子式均为0,则秩（A）＜ r o证明：对r用归纳法，当「0吋，则A的主对角线元素与2阶主子式均为0,则a- a ；对任何I, j有" =0 ,即①厲=0 ,因为atj = -a,ajt aJJ从血A=0；设r=k时成立，看r=k+l时的情形，若此时A的所有k+1阶主 了式也都为0,由归纳假设有秩（A）＜ r（r + l，若A有一个k+1阶主子式也+|不为0,则由以知A的所有含M冲的k+1阶与k+2阶主子式均为0,由性质10知，秩（A）= R+1,所以r=k+l时成立。

性质12：设A为11阶反对称矩阵，且秩（A）= r,则A至少有•一个I•阶主子式不为0o证明：若产m则命题成立；若则A的所有r+1阶子式全为0,为然A 所有卄1阶主子式均为0,若A的所有「阶主子式全为0,则由性质11 矛盾，从而A至少有一个r阶主子式不为0o性质13：若A为反对称矩阵，则其秩为偶数证明：设秩（A）=r,由性质12知，A必有一个「阶主子式不为0,但A的任意一主子式仍为反对称矩阵，由性质9可知，I•为偶数性质14：设A为n阶实可逆反对称矩阵，b为n元实行向量，则秩（A + /Z//）=/7证明：因为A + /?// =|A| + /?fA*/? [1],又因为A为n阶实可逆反对称矩阵，所以n为偶数且A*也为反对称矩阵，由性质7可知，b/^b = 0，所以 |A + bb\ = |A| 0 ,从而秩（A+ /?*//）= 〃A b\0 o证明:Abf是n+1阶反对称矩阵,因为n+1为奇数，所以,-b0性质15：设A为n阶实可逆反对称矩阵，b为n元实行向量，贝愀AbAb1A-bAb-bA0bf0戻0十br0b0=bf00o< A /八又因为|a| h o,所以秩/, o =刃三、特征值与特征向量的性质性质16：反对称实矩阵A的特征值为0或纯虚数。

证明：设A = a + hi是A的任一特征值，Q是属于几的一个特征向量，贝lj \a = Aa 因为 a Aa = -a Aa = -a A a = -（Aa） a - -Aar a ,又= a , 所以有cl =-Aar ex , 乂因为qhO,所以有兄=一几，即a + hi = -a + bi, 也即a = 0 ,所以A = hi,即兄为纯虚数或0性质17：若实矩阵A为反对称矩阵，则EA可逆证明：由性质16知，1不是A的特征值，也就有|E士A|hO,即EA可逆性质18：反对称实矩阵A的特征值全为0的充耍条件为A=0o证明：充分性：若A=0,则易知A的特征值全为0必要性：设入,几2，人血是A的所有特征值，则石，盂,A尤是A?的全部特征 值， 且 Tr （A*=石+2；+ A +盂［2］ , |大 I 为Tr（AZA）= Tr（- A2） = -Tr（A2）=-（^+^ +A + 尤）,有 A 的特征值全为 0,所以Tr（AzA）= 0,所以工可=0,（J = 1,2,A n）,从而 A=0性质19：设A为反对称实矩阵，则相应于A的纯虚数特征值的特征向量，其实部 与虚部向量模长相等，且相互正交。

证明：设a = X+Yi^O是A关于2 = 0工0的特征向量，则A（X + Yi） = 0（X + Yi）,AX = ~/3Y所以有［AY-^C，由AX =-风有X，AX = -QCY,因为A为反对称实 矩阵，由性质7有XZAX = O,所以风Y = 0,又0工0,所以XZY = 0 ,从 而 X 和 Y 是 正 交 的 向 量， 又YAX + XfAY = YAX +（X，AYj = YAX + YA，X = YAX -YfAX = O,因为 AX = —/7Y,AY = yX，所以Y（—庐）+X7?X = 0（X『 -|Y|2）= 0,因为0hO, 所以 |x| = |y| o四、欧氏空间中变换的性质定义：欧氏空间中线性变换a称为反对称的，如果对任意的属于v,有(Aq,0)= -(q,A0)性质20：欧氏空间中线性变换A称为反对称的充要条件是4在一-组标准正交基下 的矩阵是反对称的证明：必要性：设A反对称的，"45是一组标准正交基，且设（A, Az、,A , Ksn） =（]，勺,A , JA ,则氐，勺)=(你,仏,人4ni） 1 J = ajiM（6，aj）= 0 A5a2jMy2MJ〉”丿所以（Aa,/7）= （x1?x2J>A ,xn）Afy2M= -（x1?x2,A , ）A由A是反对称变换知,（A. ,j）= -（j, AeJ = 一 a * ,所以有 A = -A,即A为反对称矩阵；充分性：设A在标准正交基/2，A，6下的矩阵是A,并且A = -A,设％0属1、/ 、于 V, G=（],2，A，“）M,0 =(W2，A，)M宀丿,则/ \旺兀2M所以A是反对称的。

半我们把反对称变换与反对称矩阵结合起来，许多问题都会得到简单的 解决，例如对性质16和19的另一种证明如下：证明：设A为n阶实反对称矩阵，则在1】维欧氏空间/T中存在一线性变换4与矩对应，此变换为反对称变换，即任给实向量Q,0,均有(Aq,0)= -(a,A0), 那么(Aa,a)二 -(a, Aq), 且(Aa,a) = (q, Ag)所以，\/a w/?",(Aa,a)。