实数经典例题及习题(1)12页.doc

经典例题类型一．有关概念的识别　　1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ）　　A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、4　　解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数　　故选C　　举一反三：　　【变式1】下列说法中正确的是（ ）　　A、的平方根是3　 B、1的立方根是1　 C、=1 　D、是5的平方根的相反数　　【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，　　　　　　∵=9，9的平方根是3，∴A正确．　　　　　　∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．　　【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A、1　　　 B、1.4　　　 C、 　　　D、　　【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．　　【变式3】 　　【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10　　　　　　因此3π-9＞0，3π-10＜0　　　　　　∴ 类型二．计算类型题　　2．设，则下列结论正确的是（ ） 　　A. 　　　　　　B. 　　C. 　　　　　　D. 　　解析：（估算）因为，所以选B　　举一反三：　　【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）___________， ___________，___________. 　　【答案】1）；.2）-3. 3）， ， 　　【变式2】求下列各式中的　　（1） 　　　（2）　　　　（3）　　【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4类型三．数形结合 　　3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______　　解析：在数轴上找到A、B两点，　　举一反三：　　【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．－1 B．1－ C．2－ D．－2　　【答案】选C　　[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：　　　　　　　　　　　　 　　　　　　化简 　　【答案】：类型四．实数绝对值的应用　　4．化简下列各式：　　(1) |-1.4|　　　(2) |π-3.142|　　(3) |-| 　　　(4) |x-|x-3|| (x≤3)　　(5) |x2+6x+10|　　分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

　　解：(1) ∵=1.414…＜1.4　　 　　　 ∴|-1.4|=1.4-　　　　(2) ∵π=3.14159…＜3.142　　 　　　 ∴|π-3.142|=3.142-π　　　　(3) ∵＜, ∴|-|=-　　　　(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,　　 　　　 ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)| 　　 　　　 　　　　　 =|2x-3| = 　　说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用　　(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|　　　　∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0　　　　∴|x2+6x+10|= x2+6x+10　　举一反三：　　【变式1】化简：　　【答案】=+-=类型五．实数非负性的应用　　5．已知：=0，求实数a, b的值　　分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组 从而求出a, b的值　　解：由题意得 　　　　由(2)得 a2=49 ∴a=7　　　　由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。

　　　　∴只取a=7　　　　把a=7代入(1)得b=3a=21　　　　∴a=7, b=21为所求　　举一反三：　　【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值　　解：∵(x-6)2++|y+2z|=0　　　　且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,　　　　几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0　　　　∴ 解这个方程组得 　　　　∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65　　【变式2】已知那么a+b-c的值为___________　　【答案】初中阶段的三个非负数： ，　　　　　　a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2类型六．实数应用题　　6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm　　解：设新正方形边长为xcm，　　　　根据题意得 x2=112+138　　　　∴x2=225　　　　∴x=15　　　　∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，　　　　∴只取x=15(cm)　　答：新的正方形边长应取15cm　　举一反三：　　【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。

4个长方形拼图时不重叠） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？ 　　（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积　　　　 多24cm2，求中间小正方形的边长.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：　　　　　　　 ，所以面积为=　　　　　　　 大正方形的面积=，　　　　　　　 一个长方形的面积=　　　　　　　 所以，　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 答：中间的小正方形的面积，　　　　　　　　　发现的规律是：（或）　　　 　(2) 大正方形的边长：，小正方形的边长：　　　　　　 ，即 ，　　　　　　 又 大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2 　　　　　　 所以有，　　　　　　 化简得： 　　　　　　 将代入，得：　　　　　　 cm　　　　　　 答：中间小正方形的边长2.5 cm类型七．易错题　　7．判断下列说法是否正确　　（1）的算术平方根是-3；　　　（2）的平方根是15.　　（3）当x=0或2时，　　　（4）是分数　　解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故　　 　　 （2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，　 　　　　　　故的平方根是.　　　　　（3）注意到，当x=0时， =，显然此式无意义，　 　　　　　　发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.　　　　　（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.类型八．引申提高　　8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.　　　　　　（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③　　（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．　　解：由 得　　　　　　的整数部分a=5, 的小数部分，　　　　∴ 　　　　　　　　　 　　　　（2）解：(1) 设x= ①　　 　　　　　　则 ②　　 　　　　　　②-①得　　 　　　　　　9x=6　　 　　　　　　∴ .　　　　　　 (2) 设 ①　　 　　　　　　则 ②　　 　　　　　　②-①，得　　 　　　　　　99x=23　　 　　　　　　∴ .　　　　　 　(3) 设 ①　　 　　　　　　则 ②　　 　　　　　　②-①，得　　 　　　　　　999x=107，　　 　　　　　　∴ .学习成果测评：A组（基础）　　一、细心选一选　　1．下列各式中正确的是（ ）　　A．　　　 B. 　　　C. 　　　D. 　　2. 的平方根是( )　　A．4 　　　B. 　　　C. 2　　　 D. 　　3. 下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③-2是4的平方根 ④带根号的数都是　 　　无理数。

其中正确的说法有（ ）　　A．3个　　　 B. 2个 　　　C. 1个 　　　D. 0个　　4．和数轴上的点一一对应的是（ ）　　A．整数 　　　B.有理数 　　　C. 无理数 　　　D. 实数　　5．对于来说（ ）　　A．有平方根　　　 B．只有算术平方根 　　　C. 没有平方根 　　　D. 不能确定　　6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数　 　　的个数有（ ）　　A．3个　　　 B. 4个 　　　C. 5个　　　 D. 6个　　7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（ ）　　A．　　　 B. 　　　C. 　　　D. 　　8．下列各组数中，互为相反数的是（ ）　　A．-2与 　　　B.∣-∣与　　　 C. 与 　　　D. 与　　9．-8的立方根与4的平方根之和是（ ）　　A．0　　　 B. 4　　　 C. 0或-4　　　 D. 0或4　　10．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）　　A． 　　　B. 　　　C. 　　　D. 　　二、耐心填一填　　11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。

　　12．的算术平方根是_______，=______　　13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身　　14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____　　15．填入两个和为6的无理数，使等式成立： ___+___=6　　16．大于，小于的整数有______个　　17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____　　18．若∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______　　19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______　　20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____　　三、认真解一解　　21．计算　　⑴ 　　　　　　　　　　⑵ 　　　　　　　　　⑶ 　　⑷ ∣∣+∣∣　　　 ⑸ +　　⑹ 4[ 9 + 2（）] （结果保留3个有效数字）　　22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：参考答案：　　一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D　　二：11、，π-3 　　　　12、3， 　　　　13、0；0，；0，1　　　　　14、 　　　　15、答案不唯一 如： 　　　16、5　　　　17、 　　　　　　　　　18、-15　　　　 19、2 　　　　　　　　　　　　　　20、1，9　　三：　　21、⑴　 ⑵-17　 ⑶-9 。