《高中数学-椭圆点差法》.pdf

1点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理定理 在椭圆（0）中，若直线 与椭圆相交于在椭圆（0）中，若直线 与椭圆相交于 M、N 两点，点两点，点12222byaxabl),(00yxP是弦是弦 MN 的中点，弦的中点，弦 MN 所在的直线 的斜率为，则所在的直线 的斜率为，则.lMNk2200abxykMN 证明：设 M、N 两点的坐标分别为、，则有),(11yx),(22yx)2(. 1) 1 (, 1222222221221byaxbyax，得)2() 1 (. 02222122221byyaxx.2212121212abxxyyxxyy又.22,21211212xyxyxxyyxxyykMN.22abxykMN同理可证， 在椭圆（0） 中， 若直线 与椭圆相交于同理可证， 在椭圆（0） 中， 若直线 与椭圆相交于 M、 N 两点， 点两点， 点12222aybxabl),(00yxP是弦是弦 MN 的中点，弦的中点，弦 MN 所在的直线 的斜率为，则所在的直线 的斜率为，则.lMNk2200baxykMN典题妙解典题妙解例例 1 （04 辽宁）设椭圆方程为，过点的直线 交椭圆于点辽宁）设椭圆方程为，过点的直线 交椭圆于点 A、B，O 为坐为坐1422yx) 1 , 0(Ml标原点，点标原点，点 P 满足，点满足，点 N 的坐标为的坐标为.当 绕点当 绕点 M 旋转时，求：旋转时，求：)(21OBOAOP21,21l（1）动点）动点 P 的轨迹方程；的轨迹方程；（2）的最大值和最小值）的最大值和最小值.| NP解：（1）设动点 P 的坐标为.由平行四边形法则可知：点 P 是弦 AB 的中点 .),(yx2焦点在 y 上， 假设直线 的斜率存在. 1, 422bal由得：22baxykAB. 41xyxy整理，得：. 0422yyx当直线 的斜率不存在时，弦 AB 的中点 P 为坐标原点，也满足方程。

l)0 , 0(O所求的轨迹方程为. 0422yyx（2）配方，得：. 141)21(16122yx.4141x127)61( 341)21()21()21(|222222xxxyxNP当时，；当时，41x41|minNP61x.621|maxNP例例 2 （07 年海南、宁夏）在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线 与椭圆年海南、宁夏）在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线 与椭圆xOy)2, 0(kl有两个不同的交点有两个不同的交点 P 和和 Q.1222 yx（1）求的取值范围；）求的取值范围；k（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数，使得向量，是否存在常数，使得向量xyk与共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由与共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.OQOP ABk解：（1）直线 的方程为l. 2 kxy由得：. 12,222yxkxy. 0224) 12(22kxxk直线 与椭圆有两个不同的交点，l1222 yx30.) 12(83222kk解之得：或.k22k22的取值范围是.k,2222,（2）在椭圆中，焦点在轴上，1222 yxx1,2ba).1 ,2(),1 , 0(),0 ,2(ABBA设弦 PQ 的中点为，则),(00yxM).,(100yxOM 由平行四边形法则可知：.2OMOQOP与共线，OQOP AB与共线.OMAB，从而1200yx.2200 xy由得：，2200abxykPQ2122k.22k由（1）可知时，直线 与椭圆没有两个公共点，22kl不存在符合题意的常数.k例例 3（09 年四川）已知椭圆（0）的左、右焦点分别为、，离心率年四川）已知椭圆（0）的左、右焦点分别为、，离心率12222byaxab1F2F，右准线方程为，右准线方程为.22e2x() 求椭圆的标准方程；求椭圆的标准方程；() 过点的直线 与该椭圆相交于过点的直线 与该椭圆相交于 M、N 两点，且，求直线 的方程两点，且，求直线 的方程.1Fl3262|22NFMFl4解：（）根据题意，得. 2,222caxace.1, 1,2cba所求的椭圆方程为.1222 yx（）椭圆的焦点为、. 设直线 被椭圆所截的弦 MN 的中点为.)0 , 1(1F)0 , 1 (2Fl),(yxP由平行四边形法则知：.PFNFMF2222由得：.3262|22NFMF326|2PF.926) 1(22yx若直线 的斜率不存在，则轴，这时点 P 与重合，lxl )0 , 1(1F4|2|1222FFNFMF与题设相矛盾，故直线 的斜率存在.l由得：22abxykMN.211xyxy ).(2122xxy代入，得.926)(21) 1(22xxx整理，得：.0174592xx解之得：，或.317x32x由可知，不合题意.317x，从而.32x31y. 11xyk所求的直线 方程为，或.l1 xy1xy例例 4 (09 全国全国)已知椭圆（0）的离心率为，过右焦点已知椭圆（0）的离心率为，过右焦点 F 的直的直1:2222byaxCab335线 与线 与 C 相交于相交于 A、B 两点两点. 当 的斜率为当 的斜率为 1 时，坐标原点时，坐标原点 O 到 的距离为到 的距离为.lll22（1）求的值；）求的值；ba,（2）C 上是否存在点上是否存在点 P，使得当 绕，使得当 绕 F 转到某一位置时，有成立？若存在，转到某一位置时，有成立？若存在，lOBOAOP求出所有点求出所有点 P 的坐标与 的方程；若不存在，说明理由的坐标与 的方程；若不存在，说明理由.l解：（1）椭圆的右焦点为，直线 的斜率为 1 时，则其方程为，即)0 ,(cFlcxy. 原点 O 到 的距离：，.0cyxl22222|00|ccd1c又，. 从而.33ace3a2b， .3a2b（2） 椭圆的方程为. 设弦 AB 的中点为. 由可知， 点 Q 是12322yx),(yxQOBOAOP线段 OP 的中点，点 P 的坐标为.)2 ,2(yx.123422yx若直线 的斜率不存在，则轴，这时点 Q 与重合，点 P 不在椭圆上，lxl )0 , 1 (F)0 , 2(OP故直线 的斜率存在.l由得：22abxykAB.321xyxy.)(3222xxy由和解得：.42,43yx当时，点 P 的坐标为，直线的方程为42,43yx21xykAB)22,23(l；022 yx当时，点 P 的坐标为，直线的方程为42,43yx21xykAB)22,23(l6.022 yx金指点睛金指点睛1. 已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ）4222yx) 1 , 1 ( A. B. C. D. 23323302632.（06 江西）椭圆（0）的右焦点为，过点江西）椭圆（0）的右焦点为，过点 F 的一动直线的一动直线 m 绕点绕点 F1:2222byaxQab)0 ,(cF转动，并且交椭圆于转动，并且交椭圆于 A、B 两点，两点，P 为线段为线段 AB 的中点的中点.（1）求点）求点 P 的轨迹的轨迹 H 的方程；的方程；（2）略）略.3 （ （05 上海） （上海） （1）求右焦点坐标是且过点的椭圆的标准方程；）求右焦点坐标是且过点的椭圆的标准方程；)0 , 2()2, 2(（2）已知椭圆）已知椭圆 C 的方程为（0）的方程为（0）.设斜率为的直线 ，交椭圆设斜率为的直线 ，交椭圆 C 于于 A、B12222byaxabkl两点，两点，AB 的中点为的中点为 M. 证明：当直线 平行移动时，动点证明：当直线 平行移动时，动点 M 在一条过原点的定直线上；在一条过原点的定直线上；l（3）略）略.4. (05 湖北湖北)设设 A、B 是椭圆上的两点，点是线段是椭圆上的两点，点是线段 AB 的中点，线段的中点，线段 AB 的垂直的垂直223yx)3 , 1 (N平分线与椭圆相交于平分线与椭圆相交于 C、D 两点两点.（1）确定的取值范围，并求直线）确定的取值范围，并求直线 AB 的方程；的方程；（2）略）略.5. 椭圆椭圆 C 的中心在原点，并以双曲线的焦点为焦点，以抛物线的准线为的中心在原点，并以双曲线的焦点为焦点，以抛物线的准线为12422xyyx662其中一条准线其中一条准线.（1）求椭圆）求椭圆 C 的方程；的方程；（2）设直线与椭圆）设直线与椭圆 C 相交于相交于 A、B 两点，使两点，使 A、B 两点关于直线两点关于直线)0(2:kkxyl对称，求的值对称，求的值.)0( 1:mmxylk参考答案参考答案1. 解：由得，.4222yx12422yx2, 422ba弦 MN 的中点，由得，直线 MN 的方程为.) 1 , 1 (22abxykMN21MNk) 1(211xy7即. 32 yx.21k由得：.324222yxyx051262yy设，则.),(),(2211yxNyxM65, 22121yyyy330)3104(54)()11 (|212212yyyykMN故答案选 C.2. 解：（1）设点 P 的坐标为，由得：，),(yx22abxykAB22abxycxy整理，得：.022222cxbyaxb点 P 的轨迹 H 的方程为.022222cxbyaxb3解：（1）右焦点坐标是，左焦点坐标是. .)0 , 2()0 , 2(2c由 椭 圆 的 第 一 定 义 知 ，24)2()22()2()22(22222a.22a .4222cab 所求椭圆的标准方程为.14822yx （2）设点 M 的坐标为，由得：，整理得：.),(yx22abxykAB22abxyk022kyaxba、b、k 为定值，当直线 平行移动时，动点 M 在一条过原点的定直线上.l022kyaxb4. 解：（1）点在椭圆内，即12.)3 , 1 (N223yx22313的取值范围是.),12(8由得，焦点在 y 轴上.223yx1322xy3,22ba若直线 AB 的斜率不存在，则直线 AB轴，根据椭圆的对称性，线段 AB 的中点 N 在 x 轴上，x不合题意，故直线 AB 的斜率存在.由得：，.22baxykAB313ABk1ABk所求直线 AB 的方程为，即.) 1(13xy04 yx从而线段 AB 的垂直平分线 CD 的方程为，即.) 1(13xy02 yx5. 解：（1）在双曲线中，12422xy6,2, 222bacba焦点为.)6(,),6, 0(21FF在抛物线中，准线为.yx6226p26y在椭圆中，. 从而262ca. 3, 3ba所求椭圆 C 的方程为.13922xy（2）设弦 AB 的中点为，则点 P 是直线 与直线的交点，且直线. ),(00yxPllll .km1由得：，.2200baxykAB300 xyk003xky由得：.1100 xkykxky00由、得：.23,200ykx又，200 kxy，即.2223kk12k.1k9在中， 当时， 即直线 经过定点.而定点在椭圆的内部，2 kxy0 x2yl)2 , 0(M)2 , 0(M故直线 与椭圆一定相交于两个不同的交点.l的值为.k1。