抓三堆分析报告.doc

抓三堆分析报告关于抓三堆输赢问题的分析报告有二堆谷粒(例如100粒、200粒、300粒),甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓， 最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢问：甲应该如何抓？为 什么？解:问题一般化记号：将二堆谷粒的状况记为(a , b , c),这样，谁抓为(0,0,0)谁赢分析：1、 只有一堆时，即状况为(a , 0 , 0),此时先抓者必胜2、 只有两堆时，即状况为(a , b , 0)(1) 若a = b ,即状况为(a , a , 0),此时后抓者必胜因为,对方先抓后，结果或 剩一堆，成为(a , 0 , 0)的状况，一把可抓完；或剩两堆，你抓后，又成为新的(d , d , 0)的状况，且d〈 a ,继续 由对方抓2) 若b工a，不妨设b > a ,即状况为(a , b , 0),此时先抓者必胜因为先抓 者可以把第二堆抓掉b - a个，使状况转化为(a , a , 0),成为新的“状况⑴”3、 三堆都有，且其中两堆相等，即状况为(a , a , c)，此时先抓者必胜因为，先抓 者可以把第二堆全抓完，使状况转化为(a , a , 0)，成为新的“状况(2) (1) ”。

4、 二堆都有，且其中任意两堆都不相等，即状况为(a , b , c),且不妨设a < b < c，此时情况比较复杂.为了下面表述得清楚，我们把前面的一个结论用“反面说法”，总 结为“把两堆相等的状况留给对方，自己可以取胜然后再讨论a、b、c的不同情 况以其中最小的a为“主要线索”分情况讨论1) a = 1时，即状况为(1 , b , c) o下面再对b分情论论2) a = 2时，即状况为(2 , b , c)下面再对b分情况讨论(3) a = 3时，即状况为(3 , b , c)下面再对b分情况讨论4) a = 4时，即状况为(4 , b , c)下面再对b分情况讨论由于a < b < c ,即a、b、c “前小后大”,因此b最小为2,于是起始情况是(1 ,2 , 3) o经用“穷举法”分析，该情况下后抓者胜；或用“反面说法”说成，“把(1 ,2 , 3)的状况留给对方，自己可以取胜”下一个情况是(1 , 2 , c) , c > 3 o此时必先抓者胜因为先抓者只要把第三堆抓剩3个，就转化成(12 , 3)的状况，从而必胜下一个情况是(1 , 32个，就转化成(1, 3 ,(1 ,2 ,3)的状况留给对方，自己可以取胜。

1,4 ,5)的状况留给对方，自己可以取胜1 ,6 ,7)的状况留给对方，自己可以取胜1,8 ,9)的状况留给对方，自己可以取胜这样类似地分析下去，逐渐可以得到结论:把把把把抽象、于是归纳、 用数学归纳法证明,猜测：把(1 , 2m , 2m+l)的状况留给对方，自己可以取胜然后 可得这一结论是正确的这样，就把a1时的情况,全搞清楚了2) a = 2 时,即状况为(2c) , c > 3o此时必先抓者胜因为先抓者只要把第三堆抓剩 2)的状况，也即(丄2 , 3)的状况，从而必胜下一个情况是(1 , 4 , c) , c > 4起始情况是(1,4,5)经用“穷举法”分 析，该情况下后抓者胜；或用“反面说法”说成，“把(1 , 4 , 5)的状况留给对方， 自己可以取胜”下面再对b分情况由于a < b < c ,即a、b、c “前小后大”,因此b最小为3,于是起始情况是(2 , 3 , c) , c > 3此时必先抓者胜因为先抓者只要把第三堆抓剩1个，就转化成(2 , 3 , 1)的状况，也即(1 , 2 , 3)的状况，从而必胜下一个情况是(2 , 4 , c) , c〉4起始情是(2,4,5)。

此时必先抓者胜因 为先抓者只要把第一堆抓剩1个，就转化成(1,4, 5)的状况，从而必胜下一个情况是(2 , 4 , 6)经用“穷举法”分析，该情况下后抓者胜；或用“反面 说法”说成，“把(2,4, 6)的状况留给对方，自己可以“取胜”这样类似地分析下去，逐渐可以得到结论：把(2 ,4 ,6)的状况留给对方，自己可以取胜把(2 ,5 ,7)的状况留给对方，自己可以取胜把(2 ,8 ,10)的状况留给对方,自己可以取胜把(2 ,9 ,11)的状况留给对方,自己可以取胜于是归纳、猜测：把(2 , 4m , 4m+2)或(2 , 4m+l , 4m+3)的状况留给对方，自己 可以取胜然后用数学归纳法证明，可得这一结论是正确的这样，就把a = 2时的情 况，全搞清楚了3) a = 3时，即状况为(3 , b , c)下面再对b分情况类似地分析下去，逐渐可以得到结论：把(3 ,4 ,7)的状况留给对方，自己可以取胜把(3 ,5 ,6)的状况留给对方，自己可以取胜把(3 ,8 ,11)的状况留给对方,自己可以取胜把(3 ,9 ,10)的状况留给对方,自己可以取胜于是归纳、猜测：把(3 , 4m , 4m+3)或(3 , 4m+l , 4m+2)的状况留给对方，自己 可以取胜。

然后用数学归纳法证明，可得这一结论是正确的这样，就把a = 3时的情 况，全搞清楚了为了得到更加准确的结论，还需研究a =4时的情况，a = 5时的情况例如a = 4时 的情况，经过研究可以得到结论：把(4 , 8 , 12)的状况留给对方，自己可以取胜把(4,9, 13)的状况留给对方，自己可以取胜把(4 ,10 ,14)的状况留给对方，自己可以取胜把(4 ,11 ,15)的状况留给对方，自己可以取胜把(4 ,16 ,20)的状况留给对方，自己可以取胜把(4 ,17 ,21)的状况留给对方，自己可以取胜把(4 ,18 ,22)的状况留给对方，自己可以取胜把(4 ,19 ,23)的状况留给对方，自己可以取胜于是归纳、猜测:a=1时，有一种表达式(1 , 2m , 2m+l)的状况留给对方，自己可以取胜a方，=2时，有二种表达式(2 , 4m , 4m+2)或(2 , 4m+l , 4m+3)的状况留给对 自己可以取胜来会很繁琐因为已经看到，在(a , bc) , a < b < c的规定下,a3时,有二种表达式(3 , 4m 4m+3)或(3 , 4m+l , 4m+2)的状况留给对方，自己可以取胜。

a = 4 时，有四种表达式(4 , 8m , 8m+4)或(4 , 8m+l , 8m+5)或(4 , 8m+2 , 8m+6)或(4 , 8m+3 , 8m+7)的状况留给对方，自己可以取胜可以猜测，a = 4、5、6、7这四种情况时，都分别有四种通项表达式的状况留给对 方，自己可以取胜a =8、9、10、11、12、13、14、15这八种情况时,都分别有八种通项表达式的状况留 给对方，自己可以取胜把(4 , 8m , 8m+4)或(4 , 8m+l , 8m+7)的状况留给对方，自己可以取胜8m+5)或(4 , 8m+2 , 8m+6)或(4 , 8m+3 , 然后用数学归纳法证明，可得这一结论是正确的这样，用“数列通项公式”的方法,继续研究下去，也能得出取胜的策略，但表达起a = 2k , 2k+l, 2k+2, ”，4k-1 ,这2k种情况时，都分别有2k种通项表达式的状况 留给对方，自己可以取胜。