弹塑性力学 第10章 结构的塑性极限分析与安定性.ppt

弹塑性力学第10章 结构的塑性极限分析与 安定性第10章 结构的塑性极限分析与安定性Ø梁的弹塑性弯曲Ø塑性极限分析的定理与方法Ø梁的极限分析Ø刚架的极限分析Ø轴对称圆板的极限分析Ø结构的安定性Ø弹塑性结构的塑性极限载荷是表征结构承载能 力的最大值按塑性极限承载能力进行结构设 计，不仅可以充分发挥材料的塑性性能，而且 还可以得到反映结构真实安全裕度的参数Ø为了确定结构的塑性极限载荷，可以采用弹塑 性分析的方法，即随着载荷的不断增加，结构 由弹性状态进入弹塑性状态，最后达到塑性极 限状态Ø在这种分析方法中，需要了解整个加载过程， 而且由于材料的物理关系是非线性的，只有对 于比较简单的问题求解是方便的Ø如果不考虑结构的变形过程，而直接分析它的 塑性极限状态，则使问题的分析大为简化，所 得塑性极限载荷与按弹塑性分析方法所得结果 是完全一样的，这就是塑性极限分析的方法Ø对结构进行塑性极限分析可以得到以下三 个方面的结果，即： （1）结构的塑性极限载荷； （2）达到塑性极限状态时的应力（或内力 ）分布； （3）结构达到塑性极限状态的瞬间所形成 的破损机构 Ø在变值载荷作用下，对结构的破坏型式与 承载能力进行分析，则是结构塑性安定性 的研究内容。

在一般情况下，结构实现安 定性的载荷值要比塑性极限载荷低得多； 在有些情况下，安定载荷接近或等于塑性 极限载荷10－1 梁的弹塑性弯曲Ø基本假设： （1）在梁横截面上，只考虑正应力，忽略 挤压应力；由于塑性区的剪应力分量为零 ，在梁的屈服条件中仅包含正应力 （2）在弯曲变形时，梁的横截面始终保持 为平面，且与变形后的梁轴相垂直 （3）在梁达到塑性极限状态的瞬间之前， 其挠度与横截面尺寸相比为一个小量，即 梁在发生无约束塑性变形之前，关于小挠 度的假设依然成立Ø 梁截面的塑性极限弯矩与塑性铰Ø材料为理想弹塑性，只有正应力x= (x, z)，其 余应力分量均为零正应力与弯矩M之间的关 系为Ø应变与梁轴挠曲曲率K之间的关系为 x = -KzØ曲率K与挠度w之间的关系为Ø梁截面上的屈服条件为  = s（a） （b） （c） （a）弹性极限荷载；（b）弹塑性荷载；（c）塑性极限荷 载Ø 塑性铰简支梁塑性铰 （a）理想弹塑性材料；（b）刚塑性材料Ø 塑性铰Ø当截面全部进入塑性时，其弯矩Mp称为截 面的塑性极限弯矩。

Ø由于跨中截面的上下两个塑性区互相沟通 ，将使跨中左右两边的截面产生相对转动 ，正如普通结构铰的作用一样，跨中出现 了塑性铰 Ø塑性铰与结构铰的比较： ²相同点——允许梁产生转动； ²不同点——①塑性铰的存在是由于该截面上 存在弯矩M = Mp；②塑性铰为单向铰，即梁 截面的转动方向与塑性极限弯矩的方向一致 ，否则将使塑性铰消失Ø 极限条件Ø极限条件又称广义屈服条件，它是梁截面 全部进入塑性时其内力组合达到临界值的 条件由应力分量表示的屈服条件以及在 极限状态下对截面上应力分布的假设可以 得到极限条件 M = Mp Ø对于静定梁，当跨中截面M = Mp，即出现 一个塑性铰，则该梁形成破坏机构，丧失 继续承载的能力若为超静定梁，则需要 形成足够多的塑性铰才能使梁成为破坏机 构Ø 弯矩与曲率的关系10－2 塑性极限分析的定理与方法Ø结构塑性极限分析中的几个假设： （1）材料的应力－应变模型是理想刚塑性 的，即不考虑材料的弹性变形及强化效应 （2）在达到塑性极限状态的瞬间之前，结 构的变形足够小，且不会失去稳定性 （3）所有外载荷都按同一比例增加结构在塑性极限的临界状态下应满 足的条件（1）平衡条件，即满足平衡方程及静力边界条件 。

（2）极限条件，即结构达到塑性极限状态时的内 力场不违背极限条件 （3）破坏机构条件，即在塑性极限状态下，结构 丧失承载力时形成破坏机构的形式，它表征了 结构破坏时的运动趋势（规律）Ø满足以上三个条件的解称为极限分析的完全解 塑性极限分析定理则给出了放松一个方面条 件时所得解答的性质，并由此导出了极限分析 的方法Ø 下限定理Ø下限定理表述为：任何一个静力容许的内 力场所对应的载荷是极限载荷的下限，或 者说，静力容许载荷系数是极限载荷系数 的下限，即  s  l其中， s为静力容许载荷系数；l为塑性 极限载荷系数 Ø下限定理条件——放松破坏机构条件，即 结构的内力（广义应力）场满足平衡条件 ，并不违背极限条件，这样的内力场称为 静力容许的内力场Ø 上限定理Ø上限定理表述为：任何一个机动容许的位移（ 速度）场所对应的载荷（破坏载荷）是极限载 荷的上限，或者说，机动容许载荷系数是极限 载荷系数的上限，即  k  l其中， k为静力容许载荷系数；l为塑性极限载 荷系数 Ø上限定理条件——放松极限条件，选择破坏机 构，并使载荷在其位移速度场上所作总功为正 ，则该位移速度场称为机动容许的位移（速度 ）场，相应的载荷称为破坏载荷。

位移速度场 对应的内力场也是静力容许的Ø由上、下限定理可知  k  l   sØ当上式取等式时，由静力容许的应力场求 得 s与由机动容许位移速度场求得 k相等 ，该载荷系数同时满足三个方面的条件， 即为极限载荷系数的完全解lØ利用上、下限定理，可以求得极限载荷（ 系数）的上、下限解或完全解，相应的方 法称为机动法与静力法Ø 静力法求解步骤（1）建立静力容许的应力场，即取满足平衡条件 且不违背屈服（极限）条件的应力（内力）场 例如在梁的极限分析时，应先确定弯矩图， 并取某些弯矩的驻值为Mp，整个内力场中有Mx  Mp （2）由静力容许的应力（内力）场确定所对应的 载荷，且为极限载荷的下限Pl-（或 s） （3）在若干个极限载荷的下限解中取其最大值 Pl-max检查在该载荷作用下结构能否成为破坏 机构，即是否存在一个对应的机动容许的位移 场若能成为机构，则Pl-max为极限载荷的完全 解，即Pl-max= Pl；否则， Pl-max为Pl的一个近似 解，且为其下限Ø 机动法求解步骤 （1）选择一个破坏机构，该机构不仅是几 何上允许的，而且应使外力所做总功为正 ，由此建立机动容许的位移（速度）场。

（2）由外功（率）与内功（率）相等的条 件求得破坏载荷Pl+（或 k） （3）在若干个破坏载荷中取最小值Pl+min 检查在该载荷作用下的内力场是否为静力 所容许，即是否违背极限条件若内力场 是静力容许的，则Pl+min为极限载荷的完全 解，即Pl+min= Pl；否则，Pl+min为Pl的一个 近似解，且为其上限10－3 梁的极限分析【例1】如图所示简支梁，梁 截面的塑性极限弯矩为Mp 由于在静定梁中无多余 约束，其内力由静力平衡 条件唯一确定，即建立起 内力（弯矩）与外载荷的 关系式而且，在静定梁 中仅需要一个截面达到全 塑性状态（即形成一个塑 性铰）该梁就可成为破坏 机构取弯矩图中仅有的 一个最大值，并令其等于 Mp就可得到极限载荷的完 全解完全解Pl = 2Mp/l【例2】两端固定梁， 截面的塑性极限弯 矩为Mp 静力法——首先确定 其弯矩图，为此可 由相应的两个静定 梁（图a）的弯矩叠 加而成取静力容 许内力场 MA = MB = -M1 = -Mp MC= Pl/4 - M1 = Mp得 Pl- = 8Mp/l机动法——在A、B、 C处令其形成塑性铰 （图c），其位移场 使外力作正功，是 机动容许的。

外力 功与内力功分别为 We= P Wi = Mp + 2Mp + Mp 由We= Wi 以及 = 2/l 得 Pl+ = 8Mp/l由于上限解与下限解 相同，该结果即为 极限载荷的完全解 P Pl l- -= = P Pl l+ += = P Pl l= = 8 8MMp p/ /l lØ小结——在该梁上仅承受垂直载荷的作用 ，可以不考虑沿梁轴方向的位移约束，此 时固支条件与简支条件相同，即可将该梁 视为二次超静定的设梁的超静定次数为 n，形成塑性铰的数目为r，在一般情况下 ，当r = n + 1时，梁可成为破坏机构通 常在梁的固支端以及集中载荷作用处截面 （弯矩为驻值的截面）形成塑性铰例3】左端固支、右端 简支的梁，截面的塑 性极限弯矩为Mp 静力法——首先确定其 弯矩图，为此可由两 个静定梁的弯矩图叠 加而成 令 MA = -M1 = -Mp MC = (Pl - M1)/2 = Mp则该内力场是静力容许 的，得 Pl- = 3Mp/lØ机动法——取破坏机 构如图（c）所示，塑 性铰数r = n + 1 = 2， 位于截面A、C处，该 机构使外力作功为正 ，是机动容许的。

外 力功与内力功分别为 We= P = Pl Wi = Mp + 2Mp = 3Mp 由We= Wi 得 Pl+ = 3Mp/l 上限解与下限解相同， 该结果即为完全解P Pl l- -= = P Pl l+ += = P Pl l= = 3 3MMp p/ /l lØ注意——在确定静力容许的内力场时，若 能考虑到形成破坏机构所需的塑性铰数， 则得到的解答可以接近或等于完全解若 确定的弯矩绝对值等于Mp的截面数小于形 成破坏机构的塑性铰数，此时应检查其余 的弯矩为驻值的截面，它们的数值不应超 过Mp，否则，其内力场不是静力容许的， 对应的载荷也不是下限解Ø如令 MA= -3Pl/8 = - Mp则 MC = 5Mp/6 < Mp静力容许，Pl- = 8Mp/(3l)Ø如令 MC = 5Pl/16 = Mp则 MC = -6Mp/5 < - Mp静力不容许，Pl* = 16Mp/(5l) 不是下限 解A B C 例4～例6自己看，主要注意原则、思路和方法10－4 刚架的极限分析Ø在外载荷的作用下，刚架的内力有弯矩、 轴力以及剪力在门式刚架中，轴向力比 较小，可以不考虑它对截面进入极限状态 的影响；在极限状态下，剪应力分量为零 。

因此，刚架的极限条件与梁分析时的极 限条件完全相同Ø刚架极限分析的方法有静力法、机动法以 及机构叠加法Ø 静力法（1）先求各截面的控制弯矩，即建立弯矩 与外载的关系； （2）令控制弯矩中有（ n + 1）处达到塑 性极限弯矩，由此建立起静力容许的内力 场，并求其对应的载荷（即下限解）； （3）如果内力场为静力容许，且形成破坏 机构，则此下限解即为完全解 Ø在假设若干个截面达到塑性极限弯矩后， 必须对其余控制弯矩进行检验，只有它们 的数值小于Mp时，该内力场才是静力容许 的，否则，求得的解答将是一个上限解Ø 机动法（1）首先建立机动容许的位移场，选择破 坏机构不仅是几何可能的，而且使外力所 作总功为正； （2）然后由外功与内功相等的条件求得各 破坏机构所对应的载荷Pl+； （3）最后由Pl+min检查所对应的内力场，若 满足M  Mp，则Pl+min为其完全解，否则 只为其近似解Ø 基本机构与叠加机构Ø基本机构： ²梁机构——刚架中受弯杆件 ²层机构——在水平载荷作用下，柱的顶端与 底部出现塑性铰，使同一层或若干层一起发 生侧向运动而形成的破坏机构 ²节点机构——节点由三杆或三杆以上组成时 ，在相交端各自出现塑性铰时，使节点发生 刚性转动的节点转动机构 ²叠加机构——两种或以上基本机构叠加起来 的机构图示刚架中有哪些基本机构？有哪些叠加机构？Ø 机构叠加法——基本原理Ø叠加机构的外功等于各基本机构的外功之 和，而叠加过程中塑性铰的消失使叠加机 构的内功小于各基本机构的内功之和，由 此可以得到较小的破坏载荷。

利用机构的 叠加可以获得上限解的最小可能值，对于 较复杂的刚架，Pl+min对应的破坏机构可能 由几个基本机构叠加而成Ø 机构叠加法。