动点产生的等腰三角形.doc

　 　 　中考问题之－因动点产生的等腰三角形【压轴题型概述】本专项专门探求图形在变化过程中,符合等腰三角形的点的存在性问题. 这个动点可以在ｘ轴、ｙ轴上，也可以在正、反比例函数、一次函数、二次函数上；也许是一种点在运动,也有也许两个点同步运动；因此此类题目的解答要根据运动自身的特点，写出符合这个特点的点的坐标或求出线段的长度. 等腰三角形的题目范畴较广,题型诸多．　数形结合，可以直观地找到解题的捷径;代数措施、几何措施各有千秋，灵活应用才干事半功倍．这部分考题在中考试卷中的比例很大,约占3０%左右.【方略分级细述】1. 如何设动点的坐标（1）若动点在x轴上,由于横坐标ｘ在变化,纵坐标ｙ没有变化,始终等于０,因此可设动点坐标为（x，0）;若动点在ｙ轴上,横坐标x没有变化，始终等于0,纵坐标y在变化，因此可设动点坐标为（０,y)．(2）若动点在函数y＝f(ｘ)上,则横坐标设为x，纵坐标设为f(ｘ).　例如，点A在反比例函数　y＝　的图像上，设A(ｘ,y）,由于y ＝ ,因此用 来替代y，这种状况一般就直接设A（x,);又如：点B在一次函数 ｙ=2　x ─ 上,直接设Ｂ（x,２ ｘ ─ ）．2. 等腰三角形要分类讨论如图1-1,一种三角形为等腰三角形时，存在三种状况：AＢ　=　AC；ＡB =　BＣ;ＢC = AＣ,因此要分类进行讨论.图 1-2图1-3图 1-13. 坐标系中三角形边长的表达　如图1-2,若三角形AOB的三个顶点在平面直角坐标系中,设A(ｘ1，y1）,B（x2,ｙ2）则ＡB两点间的距离公式为:AB ＝ . 用同样的措施，把其她两条边的距离也写出来，OA = ,OＢ =　. 然后按照图１-1的措施，让三条边两两相等，解方程即可.我们来具体的解一道反比例函数图像上求等腰三角形的题.例1. 如图1-3，在直角坐标系ｘＯy中,反比例函数 y = 图像上的点A、B的坐标分别为（２,m)、（n，2），点C在ｘ轴上，且△AＢＣ为等腰三角形，求点C的坐标. 分析:1. 反比例函数y = 图像上的A、Ｂ点，满足这个解析式,因此把A、B点的坐标分别代入,求出这两个点的坐标．2. 如图1-４,点C在ｘ轴上,因此设C（ｘ,０）.3. 为了以便起见,讨论前可以运用两点间的距离公式,分别把AB,BＣ,CA的长度写出来.4. 根据等腰三角形存在三种状况:分别对AＢ ＝ ＡC；AB = BＣ；BC ＝ AC进行讨论．解:由于Ａ(２,m）、Ｂ(n,2）在y＝上,因此m=,２＝,解得：m=4,n=4,因此A(2,4)、B（4，2）.由于点Ｃ在x轴上，因此设Ｃ(ｘ,0）,则ＡＢ＝＝2，AC＝＝，BＣ==． 若△ABC为等腰三角形，分三种状况讨论：① ＡB=ＡＣ,即＝2,整顿得x2─４ｘ+1２＝0，由于△<０，因此方程无实数根,这种情况不存在.② ＡB=BC,即＝2,整顿得ｘ2─8x＋12=0,解得ｘ 1＝2，ｘ 2=６，因此C（2,0)（如图1-4）；C(6，０)（由于A、B、C三点在一条直线上,不能构成三角形，如图1-5,因此舍去).③ ＢC＝AC,即=,解得：x＝0,因此C（0，0)（如图1-6)．因此这样的点C有两个,C(２,0）或(０，0).图1-6图1-5图1-4例1有两个固定的点在反比例函数上，动点在x轴上,探求符合条件的等腰三角形的点的存在性.接下来我们再来探讨正、反比例函数上的两个点和y轴上的点构成的等腰三角形的问题.图 1-7例2. 如图1-7,点A（m,2）是正比例函数和反比例函数的交点，AB⊥y轴于点B,OB =　2 ＡB.（１）求正比例函数和反比例函数的解析式;（2）求正比例函数和反比例函数的另一种交点C的坐标；(3)在ｙ轴上与否存在一点D，使△AＣD为等腰三角形,若存在,祈求出点Ｄ的坐标，若不存在，请阐明理由.分析： 　1．从点A（m，2)，AＢ⊥y轴可得:OB=２,由于OB=2AＢ,因此AB＝1，因此A(1,2)把Ａ点的坐标分别代入所设的正比例函数和反比例函数解析式中，即可求得（1).　　 2.一般地，求两个函数的交点坐标，可以把这两个函数联立方程组,解这个方程组得到的x,y就是它们的交点坐标. 但是此题也可以运用正比例函数和反比例函数的特殊性:它们的交点有关原点对称，得到C点坐标.3.由于点D在ｙ轴上,设出Ｄ点坐标,按照等腰三角形存在的三种状况：ＡC = AＤ,AC = CD,AD = CD,进行分类讨论.解：(１)由于AB⊥y轴于点B,ＯB＝2 AB，点A（m,2）因此OB＝2，ＡB＝１，因此A(１，2），由于A（1,2）在ｙ＝ｋx(k ≠ 0)上，因此k=2,因此ｙ=2ｘ. 又由于A(１,2）在ｙ=(k ≠ ０)上,因此k=2,因此y=. 　　 (2）由于A（１，2）,正比例函数和反比例函数的交点有关原点对称，因此C（ ─ 1,─ 2 ）．　 （３)存在. 　 由于点D在y轴上，因此设D(0，y）,则AC＝＝２，ＡD=,CＤ=若△ACD为等腰三角形，分三种状况讨论:① AC=ＡD,即2=,整顿得y2─4y─15＝0,解得y＝２±,因此D(0,2＋）或(０,2─)② ＡC＝CD,即2＝，整顿得ｙ2+4ｙ─１5＝0，解得y=─2±，因此Ｄ(０，─２ +）或（０，─2─).③ AD=CＤ,即＝，解得y=０，此时点D与原点重叠，舍去.因此这样的点D有四个，D(0，2+），(0,2─),（0,─2　+)，（0，─2─）. 　 这一道题的措施和例1同样，但是计算的难度加大，解一元二次方程用到了公式法． 　 1．1因动点产生的等腰三角形【阶梯题组训练】图2４.已知:如图，抛物线的解析式为 y = ─ ｘ　2 + ２ ｘ ＋ ２的顶点坐标为点Ｐ，点A的坐标为（-1,─ １),点B的坐标为 (1，m），且,若△ＡＢP是等腰三角形，求点B的坐标．（第4题）5.如图,已知：抛物线ｙ = ─　x 2 + x ＋ ４与轴交于点C，与x轴交于点A、Ｂ,平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P,与直线AＣ交于点F，点Ｄ的坐标为(2,0)．问：与否存在这样的直线,使得△ODF是等腰三角形?若存在,祈求出点P的坐标；若不存在,请阐明理由．（第5题） １.１因动点产生的等腰三角形4．动点移动的路程如图1-8,点Ｐ由点C向点Ａ移动，速度是每秒1cm，设运动的时间为t秒，则路程CＰ＝速度×时间=1×t＝t;点Q由点B向点C移动，速度是每秒2ｃm,设运动的时间为t秒，则路程BQ=2×t＝2 ｔ.图1-9图 1-8 　 动点的移动,是中考常常会遇到的类型，要纯熟的掌握它．例3. 如图1-9,在直角梯形ABCＤ中,AD∥BC,∠C＝90°，BC=1２，AD=1８，AB＝10. 动点、分别从点、同步出发，动点沿射线的方向以每秒２个单位长的速度运动，动点段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动.设运动的时间为 (秒）．射线与射线相交于点，能否为等腰三角形？如果能,求出的值;如果不能，请阐明理由.分析：1. 路程＝速度×时间，动点Ｐ移动的路程ＤP=2 t，动点Q移动的路程BQ＝ｔ2. 直角梯形作高,构造矩形和直角三角形,运用矩形的对边相等或勾股定理找到等量关系.3. 动点沿射线的方向运动,因此要分点P段ＤＡ上，和点Ｐ在DA的延长线上两种状况分别讨论4. 当点Ｐ段DＡ上，△ＡＥＰ是等腰三角形的三种状况要根据三种不同的状况，灵活的采用不同 的措施求出ｔ的值5. 当点P在DA的延长线上时,可运用等边对等角，对顶角，平行来找到等量关系求之.解：直角梯形ABCD中,ＡD∥BC，∠C＝90°,BC＝12,AＤ＝18，ＡB=10，DP＝2t，BＱ＝ｔ．动点P沿射线ＤA的方向运动,因此分两种状况：（1)点P段DA上时:若△BＤＧ为等腰三角形，则分三种状况讨论:① 如图1-１0,AE=AP,由于DP=2t,AD=18，因此ＡＰ=18　─　2 t，又由于AE＝AP,因此∠APE=∠E ，梯形AD∥BC,∠ＡＰE=∠BQE,因此∠BQE=∠E,因此BE＝ＢQ＝ｔ,AE=10+ｔ，因此１8 ─ 2 t=1０ +　t,解得t＝ .② 如图１-11,EP=AE,作PM⊥BC于M,得CM=ＤＰ＝2 t，ＢＣ＝１2,BQ＝ｔ，因此MＱ＝12─３ t,又由于ＰＱ＝AＢ=10,ＰM＝CD=8,因此MQ=6,因此１2─3　t＝6，解得 ｔ=2．③ 如图１－12，ＡP=EP，因此∠A=∠E，由于AD∥BC,∠EＢQ=∠A，因此∠EBＱ=∠Ｅ，因此EQ=BQ=t, 又由于AP=18 ─　2 t,因此PＥ＝18 ─ 2 t，PQ＝18 ─ 2 ｔ─ t=1８ ─ 3 t,MQ=12─3 t,在Rt△PQＭ中,(1８ ─ ３　t)　２=(12─3 ｔ） 2＋82,解得:ｔ＝ .(２）点Ｐ在DA的延长线上时:如图4，AP＝２ t ─1８=AＥ,因此∠AEP=∠P,由于AD∥BC,∠BQE＝∠Ｐ，由于∠AＥP=∠BEQ，因此∠BQE＝∠BEQ,因此BQ＝BE＝t，因此AE=１0─　ｔ，即2　t　─18＝10─ ｔ，解得:ｔ＝ 综上所述，△AEＰ能构成等腰三角形,此时ｔ=，2,,．图 1-10图1-11图1-12在解等腰三角形的题目时，一般状况下是分类讨论两条边相等,但有时运用等腰三角形的三线合一也可使问题更快地解决.　本题尚有一种难点:点P是段上,还是在延长线上,容易疏忽.5． 构造相似三角形,运用相似比，探求等腰三角形的存在性.学了相似三角形后来, 通过作等腰三角形底边上的高，构造一种与基本三角形相似的三角形，通过相似比，探求点的存在性.如图1-13，若要证△PRQ为等腰三角形中的ＰQ=ＰR,已知ＡB=5,AH=４，∠Ｂ=∠PQＲ,ＰQ=　,RＱ＝x，而PR没有任何条件求不出来.　我们可以作底边上的高ＰＧ，运用等腰三角形三线合一的性质,得到PG平分QR,　因此ＱG= ，从已知不难得到Rt△QＰＧ与Rt△AＢＨ相似,运用相似比 ＝ ,得到 ，解出x．图 1-13图1-14例4. 如图1－14,在△ABＣ中,AＢ = AＣ　= 5,ＢC = 6，，D、E分别是边AＢ、AＣ上的两个动点(D不与A、B重叠),且保持ＤＥ∥BＣ，以DE为边，在点A的异侧作正方形DＥFG．设ＡD = ｘ,当△BDG是等腰三角形时,祈求出ＡD的长.分析：1.由ＤE∥BC,运用平行线分线段成比例可以求出DE,由于正方形DG＝DE，因此求出了三角形的边ＤG ．2.如果已知一种三角形的两条边，来求它是等腰三角形需满足的条件，可以根据等腰三角形的三线合一来添辅助线，这样构造了一种直角三角形,想措施在已知条件中也构造一种直角三角形与之相似,使问题得到解决.3.按照等腰三角形存在的三种状况，进行分类讨论.解：如图1-15，作AＱ⊥BC于Ｑ，由于DE∥BC，因此 ＝,由于ＡＢ＝5，BC=6，AD＝x,BD=５ ─ ｘ,＝ ，得DE=x. 由于正方形DEFG,因此DG=　ＤE=ｘ．。