(完整版)概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案.pdf

126【答案】C【经典例题】【经典例题】【例 1】（20122012 湖北）湖北）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是21121A1-B2-CD【答案】A【解析】令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为 S1，围成 OC 为 S2，作对称轴 OD，则过 C 点S2即为以1111-2S18OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面积，S2=2(2)2-222=在扇形 OAD 中2为扇S2S111S2-2-24形面积减去三角形 OAC 面积和2，2=812-8-2=16，S1+S2=，扇形 OAB 面积S=4，选 A【例 2】（20132013 湖北）湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的均值 E(X)()A.125【答案】B2754368【解析】X 的取值为 0，1，2，3 且 P(X0)125，P(X1)125，P(X2)125，P(X3)125，故 E(X)0275436861251125212531255，选 B.【例 3】（20122012 四川）四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是()11370 x 4，【解析】设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮，由题意0 y 4，满足条件A.46B.2B.5C.4168C.125D.87D.51oodrfoso)menthi的关系式为2xy2.根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为 16 平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为 12 平方单123位，故概率为164.【例 4】（20092009 江苏）江苏）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为.【答案】0.2【解析】从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8，2.6 和 2.9，所求概率为 0.2【例 5】（20132013 江苏）江苏）现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n(m7，n9)可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为_20【答案】63【解析】基本事件共有 7963 种，m 可以取 1，3，5，7，n 可以取 1，3，5，7，9.所以 m，n 都取到奇数共有 2020种，故所求概率为63.【例 6】（20132013 山东）山东）在区间3，3上随机取一个数 x，使得|x1|x2|1 成立的概率为_1【答案】3【解析】当 x2 时，不等式化为 x1x21，此时恒成立，|x1|x2|1 的解集为1，).在3113，3上使不等式有解的区间为1，3，由几何概型的概率公式得 P3（3）3.【例 7】（20132013 北京）北京）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留2 天（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)21213；13；3 月 5 日【答案】【解析】设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i1，2，13)1根据题意，P(Ai)13，且 AiAj(ij)（1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 BA5A8.2beingaregoodrfosomenthi2所以 P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8)13.（2）由题意可知，X 的所有可能取值为 0，1，2，且P(X1)P(A3A6A7A11)4P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)13，P(X2)P(A1A2A12A13)4P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)13，5P(X0)1P(X1)P(X2)13.所以 X 的分布列为【例 8】（20132013 福建）福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为3，中奖可2以获得 2 分；方案乙的中奖率为5，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，求 X3 的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？1115；方案甲【答案】22【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响记“这 2人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A 的对立事件为“X5”，22411因为P(X5)3515，所以 P(A)1P(X5)15，11即这两人的累计得分 X3 的概率为15.（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2)222，2，3，X2B5，由已知可得，X1B2424所以 E(X1)233，E(X2)255，812从而 E(2X1)2E(X1)3，E(3X2)3E(X2)5.54412故 X 的期望 E(X)01311321313.（3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大2()XP051314132413()3因为 E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大22方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A 包含有“X0”“X2”“X3”三个两两互斥的事件，2212222221111355，P(X2)355，P(X3)3515，因为 P(X0)11所以 P(A)P(X0)P(X2)P(X3)15，11即这两人的累计得分 X3 的概率为15.（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为 X2，则 X1，X2 的分布列如下：24P91448所以 E(X1)0929493，912412E(X2)0253256255.因为 E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大【例 9】（20132013 浙江）浙江）设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分（1）当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 为取出此2 球所得分数之和，求 的分布列；55（2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若 E3，D9，求abc.【答案】321【解析】（1）由题意得，2，3，4，5，6.3 31P(2)6 64，2 3 21P(3)6 63，2 3 12 256 6P(4)18.2 2 11P(5)6 69，1 11P(6)6 636，X1()()()()所以 的分布列为019449X2P09253122564254【答案】P21431345185196136故 abc321.【例 10】（20092009 北京理）北京理）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第1 114PA113 3327.二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件 A 的概率为（2）由题意，可得可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）.43；278（2）由题意知 的分布列为12abPabcabca2b3c5所以 Eabcabcabc3，5a5b5c5D132abc232abc332abc9，2ab4c0，化简得a4b11c0，解得 a3c，b2c，3cabc1，遇到红灯时停留的时间都是 2min.3（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k 0，1，2，3，4），1 2P 2k Ck4 3 3即的分布列是0)2k4kk 0,1,2,3,4，P468168132818278811815AAA的期望是E 016328818246881812781813.【课堂练习】【课堂练习】1.（20132013 广东）广东）已知离散型随机变量 X 的分布列为XP13523103110A.2B2C.2D32.（20132013 陕西）陕西）如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A14B21B22D43在棱长分别为 1，2，3 的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于 3 的概率为()4323A7B7C7D144（20092009 安徽理）安徽理）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于5.（20092009 江西理）江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）6.（20092009 辽宁文）辽宁文）ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为则 X 的数学期望 E(X)()35 B4theirbeinga175234 CD757575BCFEADregood3181B3381C4881D50.81rfoso4B1 C8D18menthi67.（20092009 上海理）上海理）若事件E与F相互独立，且PE PFA0B1，则PE I F的值等于4116C14D12x2y28（20132013 广州）广州）在区间1，5和2，4上分别取一个数，记为 a，b，则方程a2b21 表示焦点在 x 轴上且离心率小3于2的椭圆的概率为()115A2B32C32D329已知数列an满足 anan1n1(n2，nN N)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为 a，b，c，则满足集合a，b，ca1，a2，a3(1ai6，i1，2，3)的概率是()1111A72B36C24 D1210.（20092009 湖北文）湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是 0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。

11.（20132013 新课标全国）新课。