《高等数学曲率》PPT课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,主要内容:,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第,三,章,一、弧微分,设,在(,a,b,)内有连续导数,其图形为,AB,弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则弧长微分公式为,或,几何意义:,若曲线由参数方程表示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点,M,开始取弧段,其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点,M,处的曲率,注意:,直线上任意点处的曲率为 0!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,转角为,例1.,求半径为,R,的圆上任意点处的曲率.,解:,如图所示,可见:,R,愈小,则,K,愈大,圆弧弯曲得愈厉害;,R,愈大,则,K,愈小,圆弧弯曲得愈小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率,K,的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,(1)若曲线由参数方程,给出,则,(2)若曲线方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,处的曲率.,点击图片任意处播放暂停,说明:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,l,R,.,其中,R,是圆弧弯道的半径,l,是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化,因此铁道的,曲率应连续变化.,例2.,我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且,l,R,.,处的曲率.,其中,R,是圆弧弯道的半径,l,是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,显然,例3.,求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K,最大,最小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求驻点:,设,从而,K,取最大值.,这说明椭圆在点,处曲率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算驻点处的函数值:,最大.,三、曲率圆与曲率半径,设,M,为曲线,C,上任一点,在点,在曲线,把以,D,为中心,R,为半径的圆叫做曲线在点,M,处的,曲率圆,(密切圆),R,叫做,曲率半径,D,叫做,曲率中心,.,在点,M,处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1)有公切线;,(2)凹向一致;,(3)曲率相同.,M,处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点,D,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设曲线方程为,且,求曲线上点,M,处的,曲率半径及曲率中心,设点,M,处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此可得曲率中心公式,(注意,与,异号),当点,M,(,x,y,)沿曲线,移动时,的轨迹,G,称为曲线,C,的,渐屈线,相应的曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线,C,称为曲线,G,的,渐伸线,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,屈线的参数方程(参数为,x,).,点击图中任意点动画开始或暂停,例4.,设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨,削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?,解:,设椭圆方程为,由例3可知,椭圆在,处曲率最大,即曲率半径最小,且为,显然,砂轮半径不超过,时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.,例3 目录 上页 下页 返回 结束,(仍为摆线),例5.,求摆线,的渐屈线方程.,解:,代入曲率中心公式,得,摆线 目录 上页 下页 返回 结束,摆线,半径为,a,的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停,其上定点,M,的轨迹即为摆线.,参数的几何意义,摆线的渐屈线,点击图中任意点动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.弧长微分,或,2.曲率公式,3.曲率圆,曲率半径,曲率中心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,答:,有公切线;,凹向一致;,曲率相同.,2.求双曲线,的曲率半径,R,并分析何处,R,最小?,解:,则,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,P175 4；5；7；8；9,。