复旦大学数学分析课件04微积分实际应用举例.pdf

微元法微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积S的步骤：对区间 , a b作划分 axxxxbn=012?， 然后在小区间,1iixx中任取点i，并记1=iiixxx，这样就得到了小曲边梯形面积的近似值iiixfS)( 最后， 将所有的小曲边梯形面积的近似值相加，再取极限，就得到 =niiixfS10)(lim=badxxf)( 5 微积分实际应用举例微积分实际应用举例对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点xi1和xi分别记为x和xx+ ，将区间,xxx+上的小曲边梯形的面积记为S，并取xi=，于是就有xxfS)(然后令x 0，这相当于对自变量作微分，这样x变成dx，S变成dS，于是上面的近似等式就变为微分形式下的严格等式dSf x dx=( )最后，把对小曲边梯形面积的近似值进行相加，再取极限的过程视作对微分形式dxxfdS)(=在区间 , a b上求定积分，就得到 =badxxfS)( 根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以简捷地按照以下的步骤 xxfSxxx+ )(, 规律科学分割自变量=badxxfSdxxfdS)()(积分直接微分转为来直接求解 了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步简化：即一开始就将小区间形式地取为,dxxx+（dx称为x的微元），然后根据实际问题得出微分形式dxxfdS)(=（dS称为S的微元），再在区间,ba上求积分。

也就是 =badxxfSdxxfdSdx)()( 这种处理问题和解决问题的方法称为微元法微元法微元法使用起来非常方便，在解决实际问题中应用得极为广泛，如4 中计算曲线的弧长、几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导出，下面我们举一些其它类型的例子 由静态分布求总量 由静态分布求总量 我们首先考虑静态分布问题设一根长度为l的直线段上分布着某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在x轴的正半轴上，使它的一头与原点重合，若它在x处的密度（称为线密度）可由某个连续的分布函数分布函数( )x表示(xl , 0)， 由微元法， 它在,dxxx+上的物理量dQ为 dQx dx= ( )， 对等式两边在 , 0 l上积分，就得到由分布函数求总量的公式 Qx dxl=( )0 例 7.5.1例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 )kg/m(632)(2+=xxx， 求这根金属棒的质量M 解 解 +=602)632(dxxxM )kg(234623326023=+=xxx 0 6 x 图 7.5.1 这个问题可以作以下的推广： 假定物理量分布在一个平面区域上，x的变化范围为区间 , a b。

如果过x（bxa）点并且垂直于x轴的直线与该平面区域之交上的物理量的密度可以用)(xf表示，或者说该平面区域在横坐标位于,dxxx+中的部分上的物理量可以表示为dxxf)(，那么由类似的讨论，可以得到这个区域上的总物理量为 Qf x dxab=( ) 例 7.5.1例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 )kg/m(632)(2+=xxx， 求这根金属棒的质量M 解 解 +=602)632(dxxxM )kg(234623326023=+=xxx 0 6 x 图 7.5.1 例 7.5.2例 7.5.2 求圆心在水下 10 m，半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁片（图 7.5.2）所受到的水压力 解解 由物理定律，浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的压强为 ghp=， 这里，是液体的密度，g是重力加速度以铁片的圆心为原点、沿铅垂线方向向下为x轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为x+10处( 11x)受到的压强为()10+ x g，在圆铁 片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的 一条带域，则带域的面积为 dxxdS212=， 所以带域上所受到的压力为 dxxxgdF)10(122+=， 于是铁片所受到的水压力为 gdxxxgF10)10(12112=+= （N）。

这个结论可以推广到立体区域去事实上，4 的第三部分给出了求三维空间中夹在平面xa=和xb=之间的几何体的体积公式：设过x点且与x轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为A x( )，则几何体的体积为 VA x dxab=( ) 此式就可以看成是应用本方法的一个特例， 其中物理量的密度函数)(xA是截面的面积 假定物理量是分布在一条平面曲线 xx tyy ttT T=( ),( ), ,12 上，分布函数（即物理量的密度）为f t ( )，在( ( ),( )x ty t处截取一段长度为dl的弧，那么在这段弧上的物理量dQ为 dltfdQ)(= 利用弧长的微分公式， dQf t dl=( )f tx ty tdt( )( )( )+22， 关于t在 ,T T12上积分，就得到 Qf t dlf tx ty tdtTTTT=+( )( )( )( )121222 这个结论可以推广到空间曲线的情况 例 7.5.3例 7.5.3 设上半个金属环222Ryx=+（0y）上任一点处的电荷线密度等于该点到y轴的距离的平方，求环上的总电量 解解 将金属环的方程写成参数形式 xRtyRtt=cos ,sin , , 0 ， 于是 dl=+=x ty tdtRdt( )( )22。

分布函数f tx tRt( ) ( )cos=222，因此 dQf t dl=( )Rt dt32cos， 所以环上的总电量为 QRt dtR=32032cos 这种类型的问题远非只局限于物理学的范畴， 无论是自然科学还是社会科学中，但凡给出的是某变量的分布“密度”（比如，人口问题中的人口出生密度、交通问题中的车流密度等等）而需要求总量的，都可以用上述的思路求解 求动态效应 求动态效应 除了上述这些静态的物理量之外，还有一类物理量是通过运动而产生的，或者说是另一个物理量持续作用的效果比如，“位移”是速度作用了一段时间的结果；“功”是力作用了一段距离的结果，等等 在1 中已经知道，以速度v t( )做变速运动的物体在 ,T T12走过的路程为 Sv t dtTT=( )12， 这可以用微元法来理解： 在小区间,dttt+上速度可近似地看作是v t ( )，因此走过的一小段路程为 dSv t dt= ( )， 两边求积分，就得到了前面的结果 这样的思路可以运用到所有这类问题中去 例 7.5.4 例 7.5.4 一个内半径为R的圆柱形汽缸，点火后于时刻t0到t1将活塞从xa=处推至xb=处（t0与t1非常接近），求它在这段时间中的平均功率。

解解 由于t0与t1非常接近， 可以认为在这段时间内汽缸中的温度没有变化，由物理学定律，汽缸中气体的压强p与体积V成反比，即pCV=，C是点火瞬间汽缸中气体的压强p0与体积aS的乘积(S 为活塞的截面积R2)所以当活塞在x处时，作用在活塞上的压力为 xCSSxCSVCSpF=， 利用微元法，活塞移动dx距离所做的 功可表示为 dxxCFdxdW=， 于是，所求的平均功率为 NWTCttdxxab=10=ap Sttba010ln xab图7.5.3简单数学模型和求解 简单数学模型和求解 要用数学技术去解决实际问题，首先必须建立数学模型由于最重要的数学建模工具是微分，而微分与积分互为逆运算，所以积分便理所当然地成为求解数学模型的有力手段将微分与积分结合起来，就可以为许多实际问题建立起相应的数学关系 比如，关于例 5.5.9 给出的 Malthus 人口模型 =,)(),()(00ptptptp， 可以直接对微分等式 dppdt= 的两边在 , tt0上求积分，这时p的变化范围相应地为, pp0， dppdtpptt00= ， 于是 ln()pptt00=， 即 ppt t=00e() 例 7.5.5例 7.5.5（跟踪问题模型） 设 A 在初始时刻从坐标原点沿y轴正向前进，同时 B 于 , a0处开始保持距离a对 A 进行跟踪（即 B 的前进方向始终对着 A 的位置，并与A始终保持距离a），求 B 的运动轨迹。

解解 设 B 的运动轨迹为 yy x=( ) 利用跟踪的要求，可以得到数学模型 =, 0)(,22ayxxay 两边求定积分 dyaxxdxyax022= ， 即得到 B 的运动轨迹方程为 yaaaxxax=+ln2222 这也可以看成一个重物 B 被 A 用一根长度为a的绳子拖着走时留下的轨迹，所以该曲线又被称为曳线曳线 axyBA0例 7.5.6例 7.5.6（火箭飞行的运动规律）火箭是靠将燃料变成气体向后喷射，即甩去一部分质量来得到前进的动力的设在时刻t火箭的总质量为)(tM，速度为v t ( )，从而其动量为)()(tvtM在从t到dtt+时间段中，有部分燃料以相对于火箭体的常速度u被反向喷射出去，在时刻dtt+火箭质量为)(dttM+，速度为)(dttv+，相应地，喷射掉的燃料质 量 为)()(dttMtM+， 而 其 速 度 为udttv+)(， 且此时系统的动量等于火箭剩余部分的动量与燃料的动量之和 t时刻t+dt时刻M(t)M(t+dt)M(t)M(t+dt)v(t)v(t+dt)v(t+dt)u图7.5.6因此在时间段,dttt+中，系统动量的改变量为 )()()()()()()(tvtMudttvdttMtMdttvdttM+ ( ) ()( ) ()( )M t v tdtv tM tdtM t u=+ ( ) ( )( )M t v t dtuM t dt=+。

再由冲量定律：动量的改变量等于力与作用时间的乘积，即冲量Fdt，这样，就得到火箭运动的微分方程为 MdvdtFudMdt=， 这里F是作用于火箭系统的外力，Mdvdt称为火箭的反推力 特别地，当火箭在地球表面垂直向上发射时，FMg= ，方程成为 dvdtguMdMdtvMM= =10000,( ),( ), 两边在 , 0 t上积分， = v t dtgdtuM tM tdtttt( )( )( )000， 就得到 v tuMM tgt( )ln( )=0 例 7.5.7（例 7.5.7（Logistic 人口模型） 人口模型） Malthus 人口模型的解为 ppt t=00e()， 当t 时有p t ( ) ，这显然是荒谬的，因为人口的数量增加到一定程度后，自然资源和环境条件就会对人口的继续增长起限制作用，并且限制的力度随人口的增加而越来越强也就是说，在任何一个给定的环境和资源条件下，人口的增长不可能是无限的，它必定有一个上界pmax 荷兰生物数学家 Verhulst 认为，人口的增长速率应随着p t ( )接近pmax而越来越小，他提出了一个修正的人口模型 =,)(),()(1)(00maxptptpptptp 将含有p的项全部集中到左边，两边在 , tt0上积分， dpppppdtppttmaxmax=200， 利用有理函数的积分公式，即可解出 ()(max00maxe11ttpppp+=。

在这模型中，当t 时有p tp( )max 美国和法国都曾用这个模型预测过人口，结果是令人满意的 从从 Kepler 行星运动定律到万有引力定律 行星运动定律到万有引力定律 最后，我们用 Kepler 的行星运动三大定律、Newton 第二运动定律再加上微积分来导出万有引力定律，以作为本节的结束 对任意一个确定的行星，由 Kepler 第一定律，以太阳（即椭圆的一个焦点）为极点，椭圆的长轴为极轴建立极坐标，则行星的轨道方程为 rpe=1cos， 这里pba=2是焦参数，eba=122是离心率，ab和分别是椭圆的半长轴和半短轴 设在时刻t行星与太阳的距离为rr t= ( )，它们的连线与极轴的夹角为= ( ) t，则行星的坐标可以用向量记号表示成r=( cos , sin )rr记dA是极径转过角度d所扫过的那块椭圆的面积（阴影部分），由极坐标下的面积公式 dAdr221=， 由 Ke。