三角形五心性质归纳总结.doc

三角形的三角形的““五心五心””性质归纳总结性质归纳总结任何三角形都有五心，分别是重心、垂心、外心、内心、旁心我们可以用 14 个字便能准确快捷地区分并记住五心， “中重、高垂、垂直平分外、分内、中重、高垂、垂直平分外、分内、外分旁外分旁” ，最后一字为三角形的某种心，前三种为边上的某种线，后两种为三角形内角或外角的平分线中重：中重：三角形三边中线的交点，为三角形的重心；在三角形的内部；此点到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍高垂：高垂：三角形三边高线的交点，为三角形的垂心；锐角三角形垂心在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部垂直平分外：垂直平分外：三角形三边垂直平分线的交点，为三角形的外心；锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部；此点为△外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，这个距离叫外接圆半径 R.分内：分内：三角形三内角平分线的交点，为三角形的内心；在三角形的内部，此点为三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等，此距离为内切圆半径 r.重心、垂心、外心、内心均只有唯一的一点，作图时只需作出二线，第三线一定过此点。

外分旁：外分旁：三角形相邻二外角的平分线的交点，为三角形的旁心任何三角形都有三颗旁心，且不相邻的内角平分线过旁心，旁心到三边的距离相等到三角形三边距离相等的点共有四点，内心及旁心在初中阶段外心、内心我们经常在圆部分接触和应用，一定要掌握它们的特性，重心、旁心、垂心偶尔接触只需了解等腰三角形的重心、垂心、外心、内心及其中一颗旁心在同一直线上即底边的高线上等边三角形是最完美的三角形，因而前四心及一颗旁心合一，外接圆半径 R 为内切圆半径 r 的 2 倍，R=a（a 为边长）33（∠OAD=30°，∴R=2r,高为a,则，R=a，r=a）23 33 63直角三角形的外接圆半径为斜边的一半（） ，内切圆半径为（a+b-c）,2C 21c 为斜边的长如图 S=AC·BC=r（AC+BC+AB）21 21∴r==ABBCACBCAC . cbaab ==（a+b-c） 22)(babaab21例 1.已知等边三角形 ABC 是⊙O 的内接三角形，若⊙O 的半径为 8cm 时，求△ABC 的内切圆面积解析：要求内切圆面积，先找内心和半径 r；因为是等边△，∴内外心合一，且 R=2r则 r=4cm.∴S 内切圆=r =162例 2.在 Rt△ABC,AB 为斜边，AC=6,BC=8,I 为内心，O 为外心，求 OI 的长。

解析：由勾股定理有 AB=10，I 为内切圆圆心即内角平分线交点，过 I 作 IE⊥BC，IF⊥AC，ID⊥AB， ID=（a+b-c）=221在 Rt△ABC, O 为外心，则 AO=BO=5由切线长定理知 CF=CE=r,AF=AD,BE=BD, ∴AF=AD=AC-r=6-2=4则 OD=1, 在 Rt△IOD 中,ID=2,OD=1,则 OI==.1225。