[理学]高等数学 1 函数的单调性与函数的极值及最值.ppt

Chapter 4(3)Chapter 4(3)函数的单调性与函函数的单调性与函数的极值及最值数的极值及最值教学要求：1. 掌握用导数判断函数的单调性的方法; 2. 掌握用导数求函数极值的方法;3. 掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用. 1. 定义：具有正斜率的切线具有负斜率的切线2. 判别法 定理1. 设 f (x) 在区间 I上可导.Proof.注意: (1) 该判别法为充分条件判别法.(3) 判别法中的区间可以是开区间、闭区间和无穷区间.(4) y=f(x) 连续可导的条件不可少，有导数不存在的点 时，函数的单调性须重新考虑.(5) 对于连续函数，用导数为0的点和导数不存在的点来 划分定义区间，就可得出各部分区间上函数的单调性.(6) 利用判别法可以判定函数的增减性、求单调区间， 还可证明不等式、讨论根的存在性.(2) 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这 一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符 号来判别一个区间上的单调性Example 1.Solution.列表讨论如下: Example 2.Solution.没有导数为0的点,但 x=0 为不可导点. 列表讨论如下: 不存在如图.Example 3.Proof. 当 x=0 时, 等号成立.所以 f(x) 单调递增.从而, Example 4.Proof.所以 f(x) 单调递增.Example 5.Proof.所以 G(x) 单调递增.所以 F(x) 单调递增.Example 6.Solution.1. 函数极值的定义与图形: 注意: (1) 极值是局部性质.(2) 极大值不一定比极小值大，反之亦然.2. 极值存在的必要条件定理1.-Fermat定理注意: (1) 导数为0的点称为函数的驻点.(2) 可导函数的极值点一定是驻点.(3) 驻点只是可能的极值点.如图.(4) 极值点应包含在驻点和不可导点之中.如图.3. 极值存在的第一充分条件 定理2.Proof.故 f(x) 单调递增.故 f(x) 单调递减.同理可证得结论(2),(3)成立.由极值的定义来证明. 极值存在的第一充分条件的图形记忆法.极大极小没有极值4. 极值存在的第二充分条件 定理3.Proof.同理可证得(2)成立.注意: (1) 使二阶导数不为0的点一定是极值点.5. 求极值的步骤 (2) 求出驻点和不可导点.(3) 由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点.(4) 求出极值点处的函数值即得全部极值.Example 7.Solution.列表讨论如下: 极大极小Example 8.Solution.列表讨论如下:极大极小Example 9.Solution.列表讨论如下: 极小注: 也可用二阶导数来判定极值!Example 10.Solution.列表讨论如下: 极大Example 11.Solution.1. 闭区间a,b上可导函数 f(x) 的最值.2. 闭区间a,b上连续函数 f(x) 的最值.3. 开区间 (a,b) 或无穷区间上的最值. 这时可能有最值，可能没有最值. 对于(a,b), 4. f(x)在I内可导, 且只有唯一一个驻点x0时的最值. 5. 实际问题的最值 若驻点x0为极值点, 实际问题中, 可根据问题的性质判定可导函数有最值, 而且在区间内部取得. 若f(x)在区间内部只有一个驻点, 则一定在驻点处取得最值.Example 12.Solution.(舍去)而Example 13. 从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后折成一个无盖盒子，问要截去多大的小方块，才使盒子容量最大？Solution. 如图所示注意: 利用最大最小值可证明不等式. The end 。