高三-ch3數列與級數.doc

第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數 楊朝凱楊朝凱楊朝凱楊朝凱 老師編著老師編著老師編著老師編著嶺東中學嶺東中學- 37 -高中數學系列高中數學系列第第三單元三單元 數列與級數數列與級數★★★☆☆近年學測試題出現次數統計近年學測試題出現次數統計年度年度929394959697題數題數011211攻略一：數列與級數攻略一：數列與級數1.數列與級數的關係：(1)數列： 2)級數： 3)設表示前項的和，表示第項，則：nSnnan11Sa ，1nnnSSa2n2.等差數列與等差級數：設首項，公差為，項數為，第項為 ，則：1adnnna前項之和2]) 1(2[ 2)(11dnanaanSn n3.設、、 為等差，則稱為、 的等差中項(或稱算術平均數)，且abcbac 。

cab24.設、、分別表示一等差數列首項、首項、首項的和，則、nSnS2nS3nn2n3nS、成等差數列nnSS2nnSS235.等比數列與等比級數：設首項，公比為 ，項數為，第項為 ，則：1arnnna第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數 楊朝凱楊朝凱楊朝凱楊朝凱 老師編著老師編著老師編著老師編著嶺東中學嶺東中學- 38 -高中數學系列高中數學系列前項之和n  rrana Sn n 1)1 (11,1,rr6.設、、 為等比，則稱為、 的等比中項，且abcbacacb 25.設、、分別表示一等比數列首項、首項、首項的和，則、nSnS2nS3nn2n3nS、成等比數列nnSS2nnSS23◎◎精選範例一精選範例一◎◎設等差數列之第 8 項為 18，第 20 項為-174，試回答下列問題：}{na(1)首項 ，公差 。

1ad(2)設此數列從第項起開始為負，則 nn(3)令表示前項的和，則的最大值為 nSnnS第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數 楊朝凱楊朝凱楊朝凱楊朝凱 老師編著老師編著老師編著老師編著嶺東中學嶺東中學- 39 -高中數學系列高中數學系列類題類題設等差數列之第項為，試回答下列問題：nn331 (1)設此數列從第項起開始為負，則 nn(2)令表示前項的和，則當最大時，則 nSnnSn(3)前 20 項之絕對值的和為 ◎◎精選範例二精選範例二◎◎設數列前項之和，則此數列第項 }{nan)2(221nnSn nnna【87【87 日大社日大社】】第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數 楊朝凱楊朝凱楊朝凱楊朝凱 老師編著老師編著老師編著老師編著嶺東中學嶺東中學- 40 -高中數學系列高中數學系列類題類題根據市場調查結果，預測出某種商品自民國 98 年年初開始的個月內，累積需n求量萬件將滿足，，按此預測在今年度內，nS)521(902nnnSn12,, 3 , 2 , 1Ln需求量超過 1.5 萬件的月份是哪幾個月份？:Ans◎◎精選範例三精選範例三◎◎(1)已知一個等差數列共有 10 項，且知其奇數項的和為 15，偶數項的和為 30， 則數列的公差為 。

93【93 學測學測】】(2)在 2 和 10 之間，依次插入 5 個數、、、、，使得這七個數成為1b2b3b4b5b等差數列，則： 54321bbbbb公差 第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數 楊朝凱楊朝凱楊朝凱楊朝凱 老師編著老師編著老師編著老師編著嶺東中學嶺東中學- 41 -高中數學系列高中數學系列類題類題(1)在 1 和 99 之間，依次插入個數，使得個數成為等差數列，則至少應n2nn 為 ，才可以使這數列(共有項)的總和超過 50002n(2)設有兩個等差數列、，其中前項的和各為、，則：}{na}{nbnnAnB若兩數列之第項，則 n)43( : )32(:nnbann55: BA若，則 )43( : )32(:nnBAnn55:ba◎◎精選範例四精選範例四◎◎(1)若台中市每年的人口數以等比數列成長，已知 10 年前共有 25 萬人，現有 30 萬人，則 20 年後共有 人。

仿仿 8484 推甄推甄】】(2)某人購買一棟房屋，簽約時先付 100 萬元，餘款分成二十期付清已知這 二十期款額為等差數列，前兩期共 30.5 萬元，第三、四兩期共 28.5 萬元，則此棟房屋的總價為 萬元第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數 楊朝凱楊朝凱楊朝凱楊朝凱 老師編著老師編著老師編著老師編著嶺東中學嶺東中學- 42 -高中數學系列高中數學系列類題類題(1)假設世界人口自 1980 年開始，50 年內的成長率均固定，已知 1987 年世界的 人口已經達到 50 億，1999 年第 60 億人口誕生在賽拉耶佛若根據這些資料 推測：請問 2023 年世界的人口共有 億仿仿 8484 推甄推甄】】(2)一個複數的等比數列，首項為，第二項為，求：i 21i3 首 5 項的和為 ◎◎精選範例五精選範例五◎◎(1)設有三個數為等比數列，其和為 28，平方和為 336，求此數列 。

(2)若有三個數為等比數列，其和為 39，若各數依次減去 1、2、12 後變成等差 數列，則此數列為 第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數 楊朝凱楊朝凱楊朝凱楊朝凱 老師編著老師編著老師編著老師編著嶺東中學嶺東中學- 43 -高中數學系列高中數學系列類題類題(1)等比數列中，、、，，則數列}{na11a524annnaaa121n的公比為 }{na(2)若有三個正數為等差數列，若各數依次加上 1、4、43 後變成等比數列，則 此數列原來的三個正數為 ◎◎精選範例六精選範例六◎◎一個等比級數的公比為 ，首項，前項的和為 48，前項的和為 60，rann2 試求： (1) nr(2)  ra 1 (3)前項的和為 。

n3第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數 楊朝凱楊朝凱楊朝凱楊朝凱 老師編著老師編著老師編著老師編著嶺東中學嶺東中學- 44 -高中數學系列高中數學系列類題類題一個等比數列，前 10 項和為 2，首 20 項和為 14，則前 30 項的和為 ；前 40 項的和為 ◎◎精選範例七精選範例七◎◎(1)姚文雯參加銀行存款，存入本金 10000 元，年利率 2％，每半年計息一次， 請分別依照單利；複利計算，求五年期滿後，共得利息 元{已知}1046. 1)01. 1 (10(2)楊朝凱參加銀行存款，存入本金 10000 元，年利率 10％，請分別依照：單利；複利計算，求十年期滿後，共得利息 元{已知}85. 2) 1 . 1 (11第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數 楊朝凱楊朝凱楊朝凱楊朝凱 老師編著老師編著老師編著老師編著嶺東中學嶺東中學- 45 -高中數學系列高中數學系列類題類題一個等比數列，前 10 項和為 2，首 20 項和為 14，則前 30 項的和為 ；前 40 項的和為 。

攻略二：級數的性質與求和公式攻略二：級數的性質與求和公式1.級數的性質：(1) nkknkknkkkbaba111)((2)，其中 為常數 nkknkkacac11)(c2.常用的求和公式：(1)nccnk 1(2)2) 1(211 nnnknkL(3)6) 12)(1(2122212 nnnnknkL(4)233313]2) 1([21 nnnknkL第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數第三單元：數列與級數 楊朝凱楊朝凱楊朝凱楊朝凱 老師編著老師編著老師編著老師編著嶺東中學嶺東中學- 46 -高中數學系列高中數學系列(5)  nkkk1) 1(真理的本身，既不簡單也不複雜真理的本身，既不簡單也不複雜…因為真理就是真理。

因為真理就是真理◎◎精選範例八精選範例八◎◎(1)試求級數的值為 11009839921001L(2)請計算 333201211L。