反常积分.ppt课件

二、无界函数的反常二、无界函数的反常积分分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推行一、无一、无穷限的反常限的反常积分分反常积分 (广义积分)反常积分 第五章 一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. 曲曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作其含义可了解为 定义定义1. 设设假设存在 , 那么称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作这时称反常积分收敛 ;假设上述极限不存在,就称反常积分发散 .类似地 , 假设那么定义那么定义( c 为恣意取定的常数 )只需有一个极限不存在 , 就称发散 .无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 并非不定型 ,阐明明: 上述定上述定义中假中假设出出现 它阐明该反常积分发散 .引入记号那么有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :例例1. 计算反常积分计算反常积分解解:思索思索: 分析分析:原积分发散 !留意留意: 对反常反常积分分, 只需在收只需在收敛的条件下才干运用的条件下才干运用“偶倍奇零〞 的性质, 否那么会出现错误 .例例2. 证明反常证明反常 积分积分证:当当 p =1 时有有 当 p ≠ 1 时有 当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 .因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为当 p≤1 时, 反常积分发散 . 例例3. 计算反常积分计算反常积分解解:二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲曲线所围成的与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可了解为 定义定义2. 设设而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称反常积分收敛 ; 假设上述极限不存在,就称反常积分发散 .类似地 , 假设而在 b 的左邻域内无界,假设极限数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作那么定义那么称此极限为函 假设被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 阐明明: 而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称邻域内无界 ,为瑕点(奇点) .例如,延续点,而不是反常积分. 那么本质上是常义积分, 那么定义留意留意: 假假设瑕瑕点点的计算表达式 : 那么也有类似牛 – 莱公式的假设 b 为瑕点, 那么假设 a 为瑕点, 那么假设 a , b 都为瑕点, 那么那么可相消可相消吗?下述解法能否正确: , 所以积分收敛.例例4. 计算反常积分计算反常积分解解: 显然瑕点然瑕点为 a , 所以所以原式例例5. 讨论反常反常积分分的收敛性 . 解解:所以反常积分发散 .例例6. 证明反常积分证明反常积分证: 当当 q = 1 时,当 q < 1 时收敛 ; q≥1 时发散 .当 q≠1 时所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .例例7.解：解：求的无穷延续点, 故 I 为反常积分.内容小结内容小结 1. 反常反常积积分分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常两个重要的反常积积分分阐明阐明: (1) 有时经过换元有时经过换元 , 反常积分和常义积分可以反常积分和常义积分可以互互相转化 .例如 ,(2) 当一当一题题同同时时含两含两类类反常反常积积分分时时, 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.P260 1 ; 2 ; 3提示提示: P256 题2求其最大值 .作业作业。