高中数学北师大版选修12学案：3.3.2 分析法 Word版含解析.doc

2019年北师大版精品数学资料3.2　分析法1．了解分析法的思维过程、特点．(重点)2．会用分析法证明数学问题．(难点)[基础·初探]教材整理　分析法阅读教材P61～P63，完成下列问题．1．分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．2．分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图3­3­6表示为：→→→…→图3­3­63．综合法和分析法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知．(　　)(2)分析法的推理过程要比综合法优越．(　　)(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．(　　)【解析】　(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．【答案】　(1)×　(2)×　(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________[小组合作型]应用分析法证明不等式　已知a>b>0，求证：<－<.【精彩点拨】　本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．【自主解答】　要证<－<，只需证<<.∵a>b>0，∴同时除以，得<1<，同时开方，得<1<，只需证＋<2，且＋>2，即证<，即证bb>0，∴原不等式成立，即<－<.1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．[再练一题]1．(2016·合肥高二检测)已知a>0，求证：－≥a＋－2.【证明】　要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，即证2≥2，即a2＋＋4 ＋4≥a2＋＋2 ＋4，只需证2≥ .只需证4≥2，即a2＋≥2.上述不等式显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题　(2016·合肥高二检测)求证：以过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切．【精彩点拨】　【自主解答】　如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|.由抛物线的定义有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)．根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2＝2px焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切．1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．[再练一题]2．已知＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．【证明】　要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证＝3，只需证＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－.∵＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－显然成立，∴结论得证．[探究共研型]综合法与分析法的综合应用探究1　综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】　综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．探究2　综合法与分析法有什么区别？【提示】　综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．　在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1). 【导学号：67720019】【精彩点拨】　可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来．【自主解答】　由已知条件得消去x，y得2a＝＋，且a>0，b>0，c>0.要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需证a＋1≥，因≤，只需证a＋1≥，即证2a≥b＋c.由于2a＝＋，故只需证＋≥b＋c，只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．[再练一题]3．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：＋＝.【证明】　要证＋＝，即证＋＝3，即证＋＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证c2＋a2＝ac＋b2.∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.∵c2＋a2－b2＝2accos B，∴c2＋a2－b2＝ac，∴c2＋a2＝ac＋b2，∴＋＝成立．[构建·体系]1．要证明＋>2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)A．综合法　　　　 B．分析法C．比较法 D．归纳法【解析】　由分析法和综合法定义可知选B.【答案】　B2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)A．a≤ B．ab≥C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3【解析】　∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.【答案】　C3.－<成立的充要条件是(　　)A．ab(b－a)>0 B．ab>0且a>bC．ab<0且a0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．【解析】　因为a＋b＋c＝1，且a>0，b>0，c>0，所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立．【答案】　95．已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.【证明】　法一：(分析法)要证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，只需证2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0成立．所以原不等式a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca成立．法二：(综合法)因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是(　　)A．ab>0　　　　　　 B．b>aC．a，但>不能推出a成立的一个充分不必要条件．【答案】　C2．求证：－1>－.证明：要证－1>－，只需证＋>＋1，即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，∵35>11，∴原不等式成立．以上证明应用了(　　)A．分析法B．综合法C．分析法与综合法配合使用D．间接证法【解析】　该证明方法符合分析法的定义，故选A.【答案】　A3．(2016·汕头高二检测)要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0【解析】　要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.【答案】　D4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件(　　)A．a2b2＋c2 D．a2≤b2＋c2【解析】　由余弦定理得cos A＝<0，∴b2＋c2－a2<0，即b2＋。