2010年高考数学(理)试题及答案(陕西卷).doc

2010 年高校招生全国统一考试理数（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1.集合 A= ，B= ，则 =【D】|12x|1x()RACB（A） （B） （C） （D）|||2x|12x解析：本题考查集合的基本运算 1|,1| AxXCRR2.复数iz在复平面上对应的点位于 【A】A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义，所以点（ 位于第一象限1iii21)()21,3.对于函数 f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是 【B】A.f(x)在（ 4， ）上是递增的 B. f(x)的图象关于原点对称C. f(x)的最小正周期为 D. f(x)的最大值为 22解析：本题考查三角函数的性质f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为 π 的奇函数4. 展开式中 的系数为 10，则实数 a 等于【D】5aR3xA.-1 B. C.1 D.2 12解析：本题考查二项展开式的通项公式 2,10,325, 52551  aCrxCaxTrrrr 有得由5.已知函数 f(x)= 21x， ，若 f（f（0） ）=4a，则实数 a 等于【C】A.12B. 45C.2 D.9 解析： f（0）=2， f（ f（0） ）=f(2)=4+2a=4a，所以 a=26.右图是求样本 ， ，…， 平均数 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为1x210x【A】A.S=S+ nB.S=S+xC.S=S+nD.S=S+ 1n7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】A. B. C.1 D.2 32解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为 12128.已知抛物线 的准线与圆 相切，则 p 的值为【C】2(0)ypx2670xyA. B. 1 C.2 D.4 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线 y2＝2 px（ p>0）的准线方程为 ，因为抛物线 y2＝2 px（ p>0）的准线2px与圆（ x－3） 2＋ y2＝16 相切，所以 ,43法二：作图可知，抛物线 y2＝2 px（ p>0）的准线与圆（ x－3） 2＋ y2＝16 相切与点（-1,0）所以 ,1p9.对于数列 ， “ ”是“ 为递增数列”的【B】na(.)na， 2， na21 中国权威高考信息资源门户 A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由 知 所有项均为正项，1(.)na， 2， na且 ，即 为递增数列121n反之， 为递增数列，不一定有 ，如-2，-1,0,1,2，….n 1(.)n， 2，10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表 ，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]( [x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 【B】A. B. C. D. y10x3y10410x510解析：法一：特殊取值法，若 x=56，y=5,排除 C、D，若 x=57，y=6，排除 A，所以选 B法二：设 ，)9(mx ，时 10103103,6xmx，所以选 B103103,96 m时当二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共25 分）.11.已知向量 a=（2，-1） ，b=（-1，m） ，c=（-1,2） ，若（a+b）∥c，则 m=-1 解析： ，所以 m=-10)1(21/)(),1,( cbaba得由12.观察下列等式： ， ， ，…，根据上3233633224述规律，第五个等式为 。

45解析：第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和，右边为 1+2+...+（i+1）的平方所以第五个等式为 333226113.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M 取自阴影部分部分的概率为 13解析：长方形区域的面积为 3，阴影部分部分的面积为 ，13210dx所以点 M 取自阴影部分部分的概率为 1314.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a ，冶炼每万吨铁矿石的的 排放量 b 及每万吨铁矿石的价2CO格 c 如下表：a B(万吨) C（百万元）A 50％ 1 3B 70％ 0.5 6某冶炼厂至少要生产 1.9（万吨）铁，若要求 的排放量不超过 2（万吨）则购买铁矿2CO石的最少费用为 15（万元）解析：设购买铁矿石 A 和 B 各 x，y 万吨，则购买铁矿石的费用 yxz63x,y 满足约束条件表示平面区域为则当直线 过点 B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用yxz63z=1515.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A． （不等式选做题）不等式 的解集为x321x解析：法一：分段讨论 x，时 ， 原 不 等 式 等 价 于 53 213122  xx，时 ， 原 不 等 式 等 价 于x，时 ， 原 不 等 式 等 价 于综上，原不等式解集为 x法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究法三：借助函数 的图像研究23y9.17.05.20, 中国权威高考信息资源门户 B. (几何证明选做题)如图，已知 Rt△ABC 的两条直角边AC,BC 的长分别为 3cm,4cm，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D，则 BA169解析： ,由直角三角形射影定理可得C516BD5,4,2  所 以又59A9C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方程为 （a 为参数）以原点为cos1inxy极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ，则直线 l 与1圆 C 的交点的直角坐标系为__(-1,1).(1,1)_____解析：直线 l 的极坐标方程为 化为普通方程为 y=1，sin1所以直线 l 与圆 的交点坐标为(-1,1).(1,1))(22yx三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分）16.（本小题满分 12 分）已知 是公差不为零的等差数列， 且 成等比数列na1a139,a（1） 求数列 的通项公式n（2） 求数列的前 n 项和 nS解：（1）由题设知公差 d≠0由 且 成等比数列得1a139,a12d8解得 d=1,d=0（舍去）故 的通项n()nn（2）由（1）知 ，由等比数列前 n 项和公式得2a23 12(). 2nnnS17. （本小题满分 12 分如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现位于 A 点北偏53东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 海里的 C 点的救援船立即即前往营救，其航行203速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？解：由题意知 海里，3)A=5(+906,45,DBB1在 中，由正弦定理得AsinsiDABsin5(3)45(3)sin45i10inco60coBD= （海里） ，53(1)2又 海里，30(96)0,23DBCABCBC在 中，由余弦定理得22cosD= 13010329030（海里） ，则需要的时间 （小时） 。

CDt答：救援船到达 D 点需要 1 小时注：如果认定 为直角三角形，根据勾股定理正确求得 CD，同样给分B18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2,BC= ,E,F 分别是 AD,PC 的中点2（Ⅰ）证明：PC⊥平面 BEF； 中国权威高考信息资源门户 （Ⅱ）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小解法一：（Ⅰ）如图，以 A 为坐标原点，AB,AD,AP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系∵ ，四边形 ABCD 是2,2PBCD矩形∴ A,B,C,D,P 的坐标为 (0,)(,0)(2,),(02,)(,02)ABCDP又 E,F 分别是 AD,PC 的中点，∴ (0,2),(1,)EF∴ ,(,21)(0)PCBEF∴ 40PCAA∴ ,,FE∴ ,PCBF∴ 平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面 BEF 的法向量 ,1(2,)nPC平面 BAP 的法向量 ，2(0,)AD∴ =812nA设平面 BEF 与平面 BAP 的家教为 θ，则 ，1212||82cos|(,)4nA∴ ，∴ 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为45 5解法二：（Ⅰ）连接 PE,EC，在 和 中，RtPAEtCDPA=AB=CD,AE=DE,∴ PE=CE,即 是等腰三角形，PECA又 F 是 PC 的中点，∴EF⊥PC，又 是 PC 的中点，2,BBF∴ 又 ,FEPCE平 面（Ⅱ）∵ PA⊥平面 ABCD, ∴ PA⊥BC,又 ABCD 是矩形，∴ AB⊥BC,∴ BC⊥平面 BAP，BC⊥PB,又由（Ⅰ）知 PC⊥平面 BEF,∴ 直线 PC 与 BC 的夹角即为平面 BEF 与平面 BAP 的夹角，在 中，PB=BC, , PBCA90PBC45B所以平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 19. （本小题满分 12 分）为了解学生升高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在 165~180cm 之间的女生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在 170~18cm之间的概率。

解：（Ⅰ）样本中男生人数为 40，由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400 人Ⅱ）由统计图知，样本中身高在 170~185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人，样本容量为 70，所以样本中学生身高在 170~180cm 之间的概率 p=0.5 中国权威高考信息资源门户 （Ⅲ）样本中女生身高在 165~180cm 之间的人数为 10，身高在 170~180cm 之间的人数为4，设 A 表示事件“从样本中身高在 165~180cm 之间的女生中任取 2 人，至少有 1 人身高在 170~180cm 之间” ，则 （或 ）2610()3CP12640()3CPA20. （本小题满分 13 分）如图，椭圆 的顶点为 ，焦点为2:xyab12,B，。