鸡兔同笼问题.doc

鸡兔同笼问题一、知识点概述　　我国古代的数学著作《孙子算经》里，有一道著名的趣题今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?意思是：有一笼鸡和兔，数鸡头和兔头共35个，数鸡脚和兔脚共94只，问鸡和兔各有多少只?这就是著名的鸡兔同笼问题　　本周我们一起来探讨鸡兔问题的特征及其解题方法二、重点知识归纳及讲解1、鸡兔同笼问题的特点　　鸡兔同笼问题一般是已知两个总量（如前面提到的数鸡头和兔头共35个，数鸡脚和兔脚共94只），求出两个部分量各是多少（如前面提到的鸡和兔各有多少只）2、鸡兔同笼问题的解题方法　　鸡兔同笼问题一般用假设法求解如前面的问题中，先假设它们全是鸡，于是根据鸡、兔的总数，就可以先算出在假设条件下共有几只脚，再与原有的脚数相比较，看看差多少从差中求出兔的数量也可以先假设成全是兔子，在差的变化中求鸡的数量再求另一个数量是多少3、鸡兔同笼问题的基本关系式（1）鸡数=(每只兔子脚数×鸡兔总数－实际脚数)　　　　　÷(每只兔子脚数－每只鸡脚数)；　　 兔数=鸡兔总数－鸡数；（2）兔数=(实际脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数)　　　　　÷(每只兔子脚数－每只鸡脚数)；　　　鸡数=鸡兔总数－兔数。

三、难点知识剖析例1、一个农户有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡、兔各有多少?分析：解鸡兔同笼问题适用的基本方法是假设法假设这笼里全是鸡，那么鸡脚的总数应为(50×2=)100只，与实际相比较，脚减少的数为(140－100=)40只脚减少的原因是每把一只兔当作一只鸡时，要少(4－2=)2只脚所以实际的兔数是(40÷(4－2)=)20只，若先假设的全是鸡，则先求出的是兔数解法一：设农户养的全是鸡，那么相应的鸡脚数50×2=100(只)　　与实际相比，脚减少的数140－100=40（只）　　每只兔脚与鸡脚的差4－2=2(只)　　实际兔数为40÷2=20(只)，　　那么实际的鸡数50－20=30(只)，答：有鸡30只，有兔20只解法二：利用方程求解：设农户有鸡x只，那么有兔(50－x)只那么鸡有脚2x只，兔有脚4 (50－x)只　　列方程为2x＋4 (50－x)=140　　　2x十200—4x=140　　　　　　　 2x=60　　　　　　　　x=30　　50－x=50－30=20答：鸡有30只，兔有20只例2、100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问大、小和尚各有多少?分析：此例可用假设法求解；还可以用分组法求解。

解法一：假设都是小和尚因为小和尚3个人分1个馒头，分配100个馒头，应该有小和尚(3×100=)300人，比实际多了(300－100=)200人这是由于把大和尚看做小和尚造成的由于大和尚每人分3个馒头，相当于给9个小和尚的量由于假设出现的差值即为(9－1=)8人那么大和尚的人数就是(200÷8=)25人　　即大和尚(3×100－100)÷(3×3－1)=200÷8=25（人）　　小和尚100－25=75(人)解法二：因大和尚每人分3个，小和尚每3人分1个，我们把1个大和尚与3个小和尚共4人看成一组，则100个和尚可分为　　100÷(3＋1)=25(组)　　因为一组里只有一个大和尚，所以25组一共有25个大和尚，有25×3=75（个）小和尚答：大和尚有25个，小和尚有75个例3、现有大小塑料桶共50个，每个大桶可装橘汁4千克，每个小桶可装橘汁2千克，大桶比小桶共多装橘汁20千克问大小塑料桶各多少个?分析：　假设50个塑料桶都是大桶，则共装橘汁200千克，而此时小桶所装橘汁则为0这样大桶比小桶多装200千克，比条件给的差数多(200－20=)180千克进一步想，若将大桶换成小桶，则每换一个，大桶装的橘汁就减少4千克，小桶装的橘汁就增加2千克，大桶比小桶多装的质量就减少(4＋2=)6千克，那么多少个大桶换成小桶就容易了。

解答：小桶有(4×50－20)÷(4＋2)=180÷6=30（个）　　大桶有50－30=20(个)答：大塑料桶20个，小塑料桶30个例4、环保工人上山植树造林，晴天时每人每天植树20棵，雨天时每人每天植树12棵工人李叔叔接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵问李叔叔植树期间共有几天雨天?分析：题目中虽然没有问李叔叔工作了几天，但总共做了多少天是一个关键量，须先求出来天数=总量÷平均数=112÷14=8天　　要求有多少个雨天，可用假设法使问题迎刃而解由已知李叔叔一共植了112÷14=8天树植树的天数相当于鸡和兔的头数，雨天、晴天相当于鸡和兔，每天植树的棵数相当于脚数这样此例就转化为鸡兔问题解答：　　112÷14=8（天）　　假设8天都是雨天，一共植树12×8=96(棵)　　比实际少了112－96=16(棵)　　晴天和雨天每天植的树的棵数相差20－12=8（棵）　　用雨天换晴天的天数16÷8=2(天)　　实际雨天的天数8－2=6(天)答：李叔叔植树这些天总共有6个雨天例5、一位工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个青瓷花瓶?分析：本例中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一只完好的花瓶与损坏一只花瓶相差(100＋20=)120元，即损坏一只花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元。

本例可假设250只花瓶都完好，这样可得运费20×250=5000(元)这样比实际多得5000－4400=600(元)　　就是因为有损坏的瓶子，损坏一只花瓶相差120元现共相差600元，从而求出共损坏多少只花瓶解答：根据以上分析，可得　　(20×250－4400)÷(100＋20)=600÷120=5(只)答：一共损坏花瓶5只追及问题2、追及路程（路程差）　　要计算走得快的人在某一段时间内比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差即追及路程　　追及路程=甲走的路程－乙走的路程　　　　　　=甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间　　　　　　=(甲的速度－乙的速度)×追及时间　　　　　　=速度差×追及时间3、追及问题中涉及三个量之间关系的变化　　路程差=速度差×追及时间　　速度差=路程差÷追及时间　　追及时间=路程差÷速度差4、解决追及问题应该注意的问题　　（1）在追及问题中，要了解三个量的意义　　路程差是指在相同时间内速度快的比速度慢的多行的距离；　　速度差是单位时间内速度快的与速度慢的路程差；　　追及时间是从出发到追上所经历的时间　　（2）在理解以上概念时要从具体的追及问题人手，掌握好公式中的数量关系，不被表面现象所迷惑，才能正确解题。

例2、甲、乙两车从A地到B地送货，甲车每小时行54千米，乙车每小时行63千米甲车先行2小时，乙车才出发，问乙车追上甲车需多少小时?分析：根据题意画出线段图　　从图中可以看出甲车2小时行的是两车的追及路程，再根据速度差求出乙车追上甲车所用的时间解答：甲、乙两车之间的路程差为54×2=108(千米)　　乙车追上甲车所用的时间为108÷(63－54)=12(小时)答：乙车追上甲车所用的时间为12小时例3、慢车与快车同时从A地开往B地，6小时后，两车相距54千米，已知慢车每小时行51千米，快车每小时行多少千米？分析：根据6小时快车比慢车多行54千米，可知快车每小时比慢车多行9千米，再用慢车的速度＋9千米就得出快车的速度解答：54÷6＋51=9＋51=60(千米/时)答：快车每小时行60千米例4、甲、乙两人分别从A、B两地去C地，已知甲每分钟行180米，乙每分钟行160米，45分钟后甲乙两人同时到达C地A、B两地相距多少米？分析：A、B两地的距离就是甲比乙多行了多少米？根据路程差=速度差×追及时间，可求出AB两地距离解答：方法一：(180－160)×45 = 900(米)　　方法二：180×45－160×45=900（米）答：AB两地相距900米。

例5、在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少?分析：画出两种行驶方法的示意图　　从同向行驶图中可以看出，甲与乙相遇，甲必须比乙多跑一圈，即多跑400米，才能再与乙相遇，这400米正好为追及路程，这所用的时间为3分20秒，可以求出甲乙的速度差；　　从背向行驶图中可看出，相遇时甲乙共行了400米，所用的时是40秒，可以求出他们的速度和　　已知速度差与速度和(为和差问题)，可以求出甲乙的速度分是多少解答：3分20秒=200秒　　甲、乙的速度和为400÷40=10(米/秒)　　甲、乙的速度差为400÷200=2(米／秒)　　甲的速度为(10＋2)÷2=6(米／秒)　　乙的速度为(10－2)÷2=4(米／秒)答：甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米例6、校足球队要买50个足球，采购员看了甲、乙、丙三家商店，单价都是25元，但促销方式不同　　请你帮采购员算一算，去哪家商店买比较合适？(请写出计算过程)答案：甲店：买42个，送8个，共花42×25＝1050(元)　　乙店：50×25×80%＝1000(元)　　丙店：共花50×25＝1250(元)，　　可返还现金12×20＝240(元)，实际等于花了1250－240＝1010(元)。

所以去乙店买比较合适。