一道选择题引发的思考-导数积分极限问题.doc

可微一定可导，可导必连续，连续极限必存在，反之不真即：可微＜ = ＞可导(左导数=右导数)=＞连续(在定义区间内，左极限=右极限)=＞极限存在(左极限=右极限)可导必连续，连续不一定可导，即可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件一元函数中可导与可微等价，多元函数中可微必可导，可导不一定可微，即可微是可导的 充分条件，可导是可微的必要条件连续一定可积，但可积不一定连续所以按条件强度可微N可导渣续可积与可导可微连续无必然关系1.设函数f(x)在x=xO处的导数不存在，则曲线y=f(x)—a. 在点(xO,f(xO))处的切线不存在b. 在点(xO,f(xO))处的切线可能存在c. 在点xO处不连续d. 在x=xO处极限不存在解析：b(1) 对于a,导数就雷同与切线的斜率，导数不存在，切线的斜率不存在，不表示切线不存 在，有可能切线是竖直线比如f(x)=根号x, f(x)=l/2倍根号x,F(0)不存在，但f(x)在(0, 0)点处有切线y轴2) 对于c,导数重在体现光滑性而不是连续性，比如f(x)=lxl,在(0, 0)处是连续的，就 是不间断的意思，而不是光滑的，比如从一端丢个小弹球，到(0, 0)点肯定得咯登一下, 挡到一下，而不是顺溜的滚到对边，从数学原理看是左导数不等于右导数所至，即在原点 处是连续而不可导，又如f(x)=x”则在原点处既连续又可导。

3) 对于d,导数不存在的时候，可以连续，极限当然更可以存在因为连续必定有极限, 反例同上阅读资料一：极限的概念是整个微积分的基础，需要深刻地理解，由极限的概念才能引出连续、导数、 积分等概念极限的概念首先是从数列的极限引出的对于任意小的正数E,如果存在自然 数M,使所有N》M时，IA (N) -AI都小于E,则数列的极限为A极限不是相等，而是无 限接近而函数的极限是指在X0的一个临域内(不包含X0这一点)，如果对于任意小的止 数E,都存在正数Q,使所有(XO-Q, X0+Q)内的点，都满足IF (X) -Al《E,则F (X) 在X0点的极限为Ao很多求极限的题目都可以用极限的定义直接求出例如F(X) = (XA2-3X+2)/(X-2),X=2不在函数定义域内，但对于任何X不等于2, F (X) =X-1，因此在X无限接近2,但不等于2时，F (X)无限接近1,因此F (X)在2处的极限为1fi连续的概念如果函数在X0的极限存在，函数在X0有定义，而且极限值等于函数值, 则称F (X)在X0点连续以上的三个条件缺一不可在上例中，F (X)在X=2时极限存在，但在X=2这一点没有定义，所以函数在X=2 不连续；如果我们定义F (2) =1,补上“缺口”，则函数在X=2变成连续的；如果我们定义F(2)=3,虽然函数在X=2时，极限值和函数值都存在，但不相等，那 么函数在X=2还是不连续。

山连续乂引出了左极限、右极限和左连续、右连续的概念函数值等于左极限为左连 续，函数值等于右极限为右连续如果函数在X0点左右极限都存在，且都等于函数值，则 函数在x=xo时连续这个定义是解决分段函数连续问题的最重要的、几乎是唯-一的方法如果函数在某个区间内每一点都连续，在区间的左右端点分别左右连续(对闭区间血 言)，则称函数在这个区间上连续导数的概念导数是函数的变化率，直观地看是指切线的斜率略有不同的是，切线 可以平行于Y轴，此时斜率为无穷大，因此导数不存在，但切线存在导数的求法也是一个极限的求法对于x=xo,在X0附近另找一点XI,求X0与XI 连线的斜率当XI无限靠近X0,但不与X0重合时，这两点连线的斜率，就是F(X)在 x=xo处的导数关于导数的题目多数可用导数的定义直接解决教科书中给出了所有基本 函数的导数公式，如果自2能用导数的定义都推导一遍，理解和记忆会更深刻其中对数的 导数公式推导中用到了重要极限:limx->0(I +x)A(l/x)=e导数同样分为左导数和右导数导数存在的条件是：F (X)在X=XO连续，左右导数 存在且相等这个定义是解决分段函数可导问题的最重要的、几乎是唯一的方法。

如果函数在某个区间内每一点都可导，在区间的左右端点分别左右导数存在(对闭区间 而言)，则称函数在这个区间上可导复合函数的导数，例如f[u(X)],是集合A中的自变量x,产生微小变化dx,引起集 合B中对应数u的微小变化du, u的变化又引起集合C中的对应数f(u)的变化，则复合函 数的导函数 f [u (x) ]=df (u) /dx=df (u) /du*du/dx=f (u) *u (x)导数在生活中的例子最常见的是距离与时间的关系物体在极其微小的时间内，移动了 极其微小的距离，二者的比值就是物体在这一•刻的速度对于自山落体运动，下落距离 S=l/2gt人2,则物体在时间tO的速度为V(tO)=[S (tO+a) -S(tO)]/a,当a趋近于0时的值，等于 gtO; ifu速度随时间的增加而增加，变化的比率g称为加速度加速度是距离对时间的二阶导 数从直观上看，可导意味着光滑的、没有尖角，因为在尖角处左右导数不相等有笑话说 一位教授对学生抱怨道：“这饭馆让人怎么吃饭？你看这碗口，处处不可导！”积分的概念从面积上理解，积分就是积少成多，把无限个面积趋近于的线条，累积 在一起，就成为大于0的面积。

我们可以把一•块图形分割为狭长的长方形(长方形的高度都 取函数在左端或右端的函数值)，分别计算各个长方形的面积再加总，可近似地得出图形的 而积当我们把长方形的宽度设定得越来越窄，计算结果就越来越精确，与图形实际而积的 差距越来越小如果函数的积分存在，则长方形宽度趋近于时，求出的长方形面积总和的 极限存在，旦等于图形的实际面积这里又是一个极限的概念如果函数存在不连续的点，但在该点左右极限都存在，函数仍是可积的只要间断点 的个数是有限的，则它们代表的线条面积总和为0,不影响计算结果在广义积分中，允许函数在无限区间内积分，或某些点的函数值趋向无穷大，只要积分的极限存在，函数都是可积的严格地说，我们只会计算长方形的而积从我们介绍的积分的求法看，我们实际上是把 求而积化为了数列求和的问题，即求数列的前N项和S(N),在N趋近于无穷大时的极限很多时候，求积分和求无限数列的和是可以相互转换的当我们深刻地理解了积分的定义和 熟练地掌握了积分公式之后，我们同样可用它来解决相当棘手的数列求和问题例如:求 LIM Na正无穷大时,l/N*[l+l/(l+l/N)+l/( 1+2/N)+1/( 1 +(N-1 )/N)+l/2] 的值。

看似无从下手，可当我们把它转化为一连申的小长方形的面积之后，不禁会恍然大悟: 这不是F (X) =1/X在[1, 2〕上的积分吗？从而轻松得出结果为In2除了基本的积分公式外，换元法和分步法是常用的积分方法换元积分法的实质是把原 函数化为形式简单•的复合函数；分步积分法的要领是：在J udv=uv- / vdu中，函数U微分 后应该变简单(比如次数降低)，而函数V积分后不会变得更复杂阅读资料二：微I积分！导数！如何判断导函数存在不存在呢？求曲线上-点的斜率以及判断•个函数有没有切线的问题函数曲线的切线斜率存在性及求法曲线的切线斜率问题求曲线上一点的斜率以及判断一•个函数有没有切线的问题1)如 y= xA 2-4当x=1时曲线斜率?非要用导数求么？如果非要用，怎么求？另外该函数的切线方程怎么求？(2) f(X)=2-2x-xA2 (x<0)2x+2 (x> = 0)该函数，注意，两个式子是一个函数，当x=0时该函数存在切线么？ 这种问题也要用导数解决么？如果要怎么判断存在不存在呢？ 求曲线切线斜率的通法是导数法适用于任何曲线导数法求曲线斜率是“打遍天下无敌手” 对抛物线函数一般有两种方法求切线斜率：得儿塔法和导数法。

对原函数求切线斜率还有最简单的方法：线心距法即求原函数求切线斜率有三种方法二次函数y=xA 2-4是抛物线，每一点都存在导数，故每一点都有切线导数法：f=2x,x=1时，切线斜率为f(1)=2切点(1, 一3)所以切线方程为y+3=2(x-1)即 2x-y-5= 0.对于分段函数f (x) =2-2x-xA2 x=0图象是抛物线与宜线在点(0, 2)急促衔接而成，出现明显的“尖点”f，+=2,f，-=-2,f*-,导函数在该点x=0处不连续该函数曲线在x = 0时不存在导数故在该点不存在切线阅读资料三：y=xU/3与y=lxl在原点导数都不存在 求问为何前者在原点有切线而后者没有？到底如何判断一个函数在某点有没有切线呢..前面已答简单方法判断：x人1/3正好是个特殊情况，即左导和右导都是无穷(看成左导=右导)，在原点导数为无穷大, 也可看作不存在，此时切线斜率为无穷①可导与导函数 可导是对定义域内的点而言的；处处可导则存在导函数，此外还函数可以在某处可导；只 要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其他各处均可 导②可积与原函数对于不定积分：［同济五版(上)］给出的定义是：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx在区间I上的不定积分.所以可积与存在原函数是等价的。

对于定积分：同济五版对定积分可积有给出两个充分条件定理1设f(x)在区间［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上可积因为连续函数的原函数必存在！反之不成立)定理2设f(x)在区间［a,b］上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在［a,b］上可积函数在某个区间存在原函数，那么根据牛顿莱布尼兹公式，函数在这个区间存在定积分；函数在某个区间［a,b］存在定积分，则不能确定函数在这个区间上存在原函数③可导与连续函数在某处可导那么一定在该处连续；函数在某处连续不一定在该处可导O ④连续与可积如果函数在某区域连续，那么函数在该区域可积；反之，如果函数在某个区域可积，不能 保证函数在该区域连续比如存在第一类间断点的函数不连续，但可积。