解含绝对值的方程37570.pdf

1 “解含绝对值的方程〞例题解析 绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答下面举例说明解这类方程的几种常用方法 一. 运用根本公式：假设，则解方程 例 1. 解方程 解：去掉第一重绝对值符号，得 移项，得或 所以 所以原方程的解为： 例 2. 解方程 解：因为 所以 即 或 解方程〔1〕，得 . 1 解方程〔2〕，得 又因为，所以 所以原方程的解为 二. 运用绝对值的代数意义解方程 例 3. 方程的解的个数是〔〕 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 或 4 以上 解：方程可化为 所以 所以方程的解有无数个，应选〔D〕 三. 运用绝对值的非负性解方程 例 4. 方程的图像是〔〕 A. 三条直线： B. 两条直线： C. 一点和一条直线：〔0，0〕， D. 两个点：〔0，1〕，〔-1，0〕 . 1 解：因为 而 所以 所以原方程的图象为两个点〔0，1〕，〔-1，0〕 应选〔D〕 四. 运用绝对值的几何意义解方程 例 5. 解方程 解：设，由绝对值的几何意义知 所以 又因为 所以 从数轴上看，点落在点与点的部〔包括点与点在〕，即原方程的解为。

五. 运用方程的图象研究方程的解 例 6. 假设关于*的方程有三个整数解，则 a 的值是〔〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 . 1 解：作的图象，如图 1 所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于*轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解应选〔B〕 图 1 同时，我们还可以得到以下几个结论： 〔1〕当时，方程没有解； 〔2〕当或时，方程有两个解； 〔3〕当时，方程有 4 个解 中考数学试题分类解析汇编 专题 1：实数 一、选择题 1. 〔2021 省 3 分〕﹣5 的绝对值是【】 A． 5 B．﹣5 C． D．﹣ 【答案】A 【考点】绝对值 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|=5应选 A 2. 〔2021 省 3 分〕地球半径约为 6400000 米，用科学记数法表示为【】 A． 0.64×107 B． 6.4×106 C． 64×105 D． 640×104 【答案】B . 1 【考点】科学记数法 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。

在确定 n的值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1当该数大于或等于 1 时，n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时，－n 为它第一个有效数字前 0 的个数〔含小数点前的 1 个 0〕6400000 一共 7 位，从而 6400000=6.4×106应选 B 3. 〔20213 分〕的绝对值是【】 A．2 B． C． D． 【答案】C 【考点】绝对值 【分析】根据数轴上*个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义， 在数轴上，点到原点的距离是，所以的绝对值是应选 C 4. 〔20213 分〕与 2÷3÷4 运算结果一样的是【】 A．4÷2÷3 B．2÷〔3×4〕 C．2÷〔4÷2〕 D．3÷2÷4 【答案】B 【考点】有理数的乘除运算 【分析】根据连除的性质可得：2÷3÷4=2÷〔3×4〕应选 B 5. 〔20213 分〕实数 3 的倒数是【】 A．﹣ B． C．﹣3D．3 【答案】B 【考点】倒数 . 1 【分析】根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用 1 除以这个数．所以 3 的倒数为 1÷3=应选 B 6. 〔20213 分〕，则 a+b=【】 A．﹣8B．﹣6C．6D．8 【答案】B。

【考点】非负数的性质，绝对值，算术平方，求代数式的值 【分析】∵，，∴a﹣1=0，7+b=0，解得a=1，b=﹣7 ∴a+b=1+〔﹣7〕=﹣6应选 B 7. 〔20213 分〕=【】 A．﹣2B．2C．1D．﹣1 【答案】D 【考点】零指数幂 【分析】根据任何非 0 数的 0 次幂等于 1 解答即可：应选 D 8. 〔20214 分〕﹣5 的绝对值是【】 A． 5 B．﹣5 C． D．﹣ 【答案】A 【考点】绝对值 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|=5应选 A 9.〔20214 分〕地球半径约为 6400000 米，用科学记数法表示为【】 A． 0.64×107 B． 6.4×106 C． 64×105 D． 640×104 . 1 【答案】B 【考点】科学记数法 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值在确定 n的值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1当该数大于或等于 1 时，n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时，－n 为它第一个有效数字前 0 的个数〔含小数点前的 1 个 0〕。

6400000 一共 7 位，从而 6400000=6.4×106应选 B 10. 〔20213 分〕－3 的倒数是【】 A．3 B．－3 C. D 【答案】D 【考点】倒数 【分析】根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用 1 除以这个数．所以－3 的倒数为 1÷〔－3〕=应选 D 11.〔20213 分〕第八届中国〔〕文博会以总成交额 143 300 000 000 元再创新高．将数 143 300 000 000 用科学记数法表示为【】 A， B 【答案】B 【考点】科学记数法 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值在确定 n的值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1当该数大于或等于 1 时，n 为它的. 1 整数位数减 1；当该数小于 1 时，－n 为它第一个有效数字前 0 的个数〔含小数点前的 1 个 0〕 143 300 000 000 一共 12 位， 从而 143 300 000 000=1.433×1011应选 B 12. 〔20214 分〕2 的倒数是【】 A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【答案】C。

【考点】倒数 【分析】根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用 1除以这个数．所以 2 的倒数为 1÷2=应选 C 13. 〔20214 分〕国家发改委已于 2021 年 5 月 24 日核准钢铁基地工程，工程由宝钢钢铁投资建立， 预计投产后年产 10200000 吨钢铁， 数据 10200000用科学记数法表示为【】 A．102×105B．10.2×106C．1.02×106D．1.02×107 【答案】D 【考点】科学记数法 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值在确定 n 的值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1当该数大于或等于 1 时，n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时，－n 为它第一个有效数字前 0 的个数〔含小数点前的 1 个 0〕10200000 一共 8 位，从而 10200000=1.02×107应选 D 14. 〔20213 分〕计算的结果是【】 A．1B． C． 5 D． . 1 【答案】B 【考点】有理数的加法 【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可得解：－3+2=－〔3－2〕=－1。

应选 B 15. 〔20213分〕用科学记数法表示 5700000，正确的选项是【】 A． B． C． D． 【答案】A 【考点】科学记数法 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值在确定 n的值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1当该数大于或等于 1 时，n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时，－n 为它第一个有效数字前 0 的个数〔含小数点前的 1 个 0〕5700000 一共 7 位，从而 5700000=5.7×106应选 A 16. 〔20213 分〕2 的倒数是【】 A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【答案】C 【考点】倒数 【分析】根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用 1 除以这个数．所以 2 的倒数为 1÷2=应选 C 二、填空题 . 1 1. 〔2021 省 4 分〕假设*，y 为实数，且满足，则的值是▲． 【答案】1 【考点】非负数的性质，算术平方根，绝对值 【分析】根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使，必须有且，即*=3，y=3。

∴ 2. 〔20213 分〕使式子有意义的最小整数 m 是▲． 【答案】2 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为 0 的条件，要使在实数围有意义，必须所以最小整数 m 是 2 3. 〔20213 分〕水资源丰富，水力资源的理论发电量为 775000 千瓦，这个数据用科学记数法可表示为▲千瓦． 【答案】7.75×105 【考点】科学记数法 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值在确定 n的值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1当该数大于或等于 1 时，n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时，－n 为它第一个有效数字前 0 的个数〔含小数点前的 1 个 0〕775000 一共 6 位，从而 775000=7.75×105 4. 〔20214 分〕假设二次根式有意义，则*的取值围是▲． . 1 【答案】 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数围有意义，必须 5. 〔20213 分〕计算的结果是▲． 【答案】2。

【考点】二次根式的乘法 【分析】根据二次根式乘法进展计算： 8. 〔20214 分〕使有意义的*的取值围是▲． 【答案】 . 1 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数围有意义，必须 三、解答题 1. 〔2021 省 6 分〕计算：． 【答案】解：原式= 【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂 【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂 3 个考点分别进展计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 2. 〔2021 省 7 分〕观察以下等式： 第 1 个等式：；第 2 个等式：； 第 3 个等式：；第 4 个等式：； … 请解答以下问题： 〔1〕按以上规律列出第 5 个等式：a5==； 〔2〕用含有 n 的代数式表示第 n 个等式：an==〔n 为正整数〕； 〔3〕求 a1+a2+a3+a4+…+a100的值． 【答案】 解： 〔1〕 〔2〕 〔3〕a1+a2+a3+a4+…+a100 . 1 【考点】分类归纳〔数字的变化类〕 【分析】〔1〕〔2〕观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的 2 倍减1 和序号的 2 倍加 1。

〔3〕运用变化规律计算 3. 〔20217 分〕计算：． 【答案】解：原式= 【考点】实数的运算，绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂 【分析】针对绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂 4个考点分别进展计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 4. 〔20217 分〕计算：． 【答案】解：原式= 【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂 【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂 3 个考点分别进展计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 1 8. 〔20216 分〕计算：． 【答案】解：原式=2－1＋1－2=0 【考点】实数的运算，算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂 【分析】针对算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂 4 个考点分别进展计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 专题 2：代数式和因式分解 一、选择题 1. 〔20213 分〕等于【】 A． B． C． D． . 1 【答案】A 【考点】同底数幂的乘法 【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：应选 A 2. 〔20213 分〕下面的计算正确的选项是【】 A．6a﹣5a=1B．a+2a2=3a3C．﹣〔a﹣b〕=﹣a+bD．2〔a+b〕=2a+b 【答案】C。

【考点】去括号与添括号，合并同类项 【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变； 去括号法则：如果括号外的因数是正数， 去括号后原括号各项的符号与原来的符号一样； 如果括号外的因数是负数， 去括号后原括号各项的符号与原来的符号相反，进展计算，即可选出答案： A、6a﹣5a=a，故此选项错误；B、a 与 2a2不是同类项，不能合并，故此选项错误； C、﹣〔a﹣b〕=﹣a+b，故此选项正确；D、2〔a+b〕=2a+2b，故此选项错误 应选 C 3. 〔20214 分〕以下运算正确的选项是【】 A．a+a=a2B．〔﹣a3〕2=a5 C．3a•a2=a3D． 【答案】D 【考点】合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法 . 1 【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则逐一计算作出判断： A、a+a=2a，故此选项错误；B、〔﹣a3〕2=a6，故此选项错误； C、3a•a2=3a3，故此选项错误；D、，故此选项正确 应选 D 4. 〔20213 分〕以下运算正确的选项是【】 A， B 【答案】B 【考点】合并同类项，同底幂乘法和除法，幂的乘方和积的乘方。

【分析】根据合并同类项，同底幂乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断： A. 和不是同类项，不可以合并，选项错误； B. ，选项正确；C. ，选项错误； D. ，选项错误应选 B 5. 〔20214 分〕以下运算中，正确的选项是【】 A．3a2﹣a2=2 B．〔a2〕3=a5C．a3•a6=a9D．〔2a2〕2=2a4 【答案】C 【考点】合并同类项，同底幂乘法，幂的乘方和积的乘方 【分析】根据合并同类项，同底幂乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断： A、3a2﹣a2=2a2，故本选项错误；B、〔a2〕3=a6，故本选项错误； C、a3•a6=a9，故本选项正确；D、〔2a2〕2=4a4，故本选项错误 . 1 应选 C 6. 〔20213 分〕要使式子有意义，则的取值围是【】 A． B． C． D． 【答案】A 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在有意义，必须应选 A 7. 〔20213 分〕计算﹣2a2+a2的结果为【】 A．﹣3a B．﹣a C．﹣3a2D．﹣a2 【答案】D 【考点】合并同类项 【分析】根据合并同类项法则〔把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变〕相加即可得出答案：﹣2a2+a2=﹣a2。

应选 D 二、填空题 1. 〔2021 省 4 分〕分解因式：2*2﹣10*=▲． 【答案】2*〔*﹣5〕 【考点】提公因式法因式分解 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，假设有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，假设是就考虑用公式法继续分解因式因此，直接提取公因式 2*即可：2*2﹣10*==2* 〔*﹣5〕 2. 〔20213 分〕分解因式：a3﹣8a=▲． . 1 【答案】a〔a+2〕〔a﹣2〕 【考点】提公因式法和公式法因式分解 【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解： a3﹣8a=a〔a2﹣8〕=a〔a+2〕〔a﹣2〕 3. 〔20213 分〕假设代数式﹣4*6y 与*2ny 是同类项，则常数 n 的值为▲． 【答案】3 【考点】同类项 【分析】根据同类项的定义列式求解即可： ∵代数式﹣4*6y 与*2ny 是同类项，∴2n=6，解得：n=3 4. 〔20214 分〕分解因式：2*2﹣10*=▲． 【答案】2*〔*﹣5〕 【考点】提公因式法因式分解 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式， 假设有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，假设是就考虑用公式法继续分解因式。

因此，直接提取公因式 2*即可：2*2﹣10*==2*〔*﹣5〕 5. 〔20214 分〕假设*，y 为实数，且满足，则的值是▲． 【答案】 1 【考点】 非负数的性质，算术平方根，绝对值 【分析】根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使，必须有且，即*=3，y=3 . 1 2. 〔20216 分〕化简： 【答案】解：原式= 【考点】分式的加减法 【分析】应用分配率较简便，也可先通分，再计算 3. 〔202110 分〕〔a≠b〕，求的值． 【答案】解：∵，∴， ∴ 【考点】分式的化简求值 【分析】由得出，对通分〔最简公分母为〕，分子因式分解，约分，化简得出 ，代入求出即可 4. 〔20217 分〕先化简，再求值：〔*+3〕〔*﹣3〕﹣*〔*﹣2〕，其中*=4． 【答案】解：原式=*2﹣9﹣*2+2*=2*﹣9 当*=4 时，原式=2×4﹣9=﹣1 【考点】整式的混合运算〔化简求值〕 【分析】先把整式进展化简，再把*=4 代入进展计算即可 5. 〔20219 分〕观察以下等式： 第 1 个等式：； 第 2 个等式：； . 1 第 3 个等式：； 第 4 个等式：； … 请解答以下问题： 〔1〕按以上规律列出第 5 个等式：a5==； 〔2〕用含有 n 的代数式表示第 n 个等式：an==〔n 为正整数〕； 〔3〕求 a1+a2+a3+a4+…+a100的值． 【答案】解：〔1〕。

〔2〕 〔3〕a1+a2+a3+a4+…+a100 【考点】分类归纳〔数字的变化类〕 【分析】〔1〕〔2〕观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为 1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的 2 倍减 1和序号的 2 倍加 1 〔3〕运用变化规律计算 6. 〔20216 分〕= －3， =2，求代数式的值． . 1 【答案】解：原式= 当= －3， =2 时，原式= 9. 〔20216 分〕先化简，再求值：，其中． 【答案】解：原式= 当时，原式= 【考点】分式的化简求值，二次根式化简 【分析】先将括号的分式通分，进展加减后再算除法，计算时，要将除法转化为乘法最后代入，化简求值 . 1 10. 〔20219 分〕观察以下等式： 12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26， … 以上每个等式中两边数字是分别对称的， 且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有一样规律，我们称这类等式为“数字对称等式〞． 〔1〕根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式〞： ①52×=×25； ②×396=693×． 〔2〕设这类等式左边两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，且 2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式〞一般规律的式子〔含 a、b〕，并证明． 【答案】解：〔1〕①275；572。

②63；36 〔2〕“数字对称等式〞一般规律的式子为： 〔10a+b〕×[100b+10〔a+b〕+a]=[100a+10〔a+b〕+b]×〔10b+a〕证明如下： ∵左边两位数的十位数字为 a，个位数字为 b， ∴左边的两位数是 10a+b，三位数是 100b+10〔a+b〕+a， 右边的两位数是 10b+a，三位数是 100a+10〔a+b〕+b， . 1 ∴左边=〔10a+b〕×[100b+10〔a+b〕+a]=〔10a+b〕〔100b+10a+10b+a〕 =〔10a+b〕 〔110b+11a〕=11〔10a+b〕 〔10b+a〕， 右边=[100a+10〔a+b〕+b]×〔10b+a〕=〔100a+10a+10b+b〕〔10b+a〕 =〔110a+11b〕 〔10b+a〕=11〔10a+b〕 〔10b+a〕， ∴左边 =右边 ∴“数字对称等式〞一般规律的式子为： 〔10a+b 〕×[100b+10 〔a+b 〕+a]=[100a+10〔a+b 〕+b]×〔10b+a 〕 【考点】 分类归纳〔数字的变化类〕，代数式的计算和证明 【分析】 〔1〕观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换， 两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进展填空即可： ①∵5+2=7，∴左边的三位数是 275，右边的三位数是 572。

∴52×275=572 ×25 ②∵左边的三位数是 396， ∴左边的两位数是 63， 右边的两位数是 36∴63×369=693 ×36 〔2〕按照〔1〕中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进展证明即可。