微分方程在人口预测模型中的应用03杨亚辉.doc

精心整理微分方程在人口预料模型中的应用杨亚辉〔海南软件职业技术学院 海南 琼海 571400〕【内容摘要】 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进展探究因此如何寻求函数关系，在实践中具有重要意义在很多问题中，往往不能干脆找出所需的函数关系，但是依据问题所供应的状况，有时可以列出含有要找函数及其导数的关系式这样的关系式就是所谓的微分方程微分方程建立以后，对它进展探究，找出未知函数来，这就是解微分方程对实际问题建立微分方程〔组〕和解微分方程的过程，称为微分方程建模本文通过探讨两个主要的人口预料模型―马尔萨斯〔Malthus〕 模型和逻辑〔Logistic〕模型来提醒微分方程在建立人口预料模型中的应用关 键 词】 常微分方程；应用；数学建模；人口预料模型；马尔萨斯〔Malthus〕 模型；逻辑〔Logistic〕模型引 言：数学模型就是为了一个特定目的,对现实世界的一个特定对象,依据其特有的内在规律将错综困难的实际问题做出一些必要的简化、假设,应用适当的数学工具得到的一个数学构造建立数学模型,要通过调查、收集数据资料,视察和探究实际对象的固有特征和内在规律,抓住问题的主要冲突建立起反映实际问题的数量关系然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。

我们经常遇到一个因变量相对于一个或多个自变量变更率的有关信息，并且对描述这些相关变量的函数感爱好比方，假设P代表一个地区〔或国家〕在某个时刻t的人数，那么有理由假设人数随时间的变更率依靠于当前量P的大小及其他一些因素我们盼望确定P和t之间的关系，从而用来预料P假如用P〔t〕表示当前人口数量，t+△t时刻的人口数量为P〔t+△t〕，那么△t期间人口数的变更△P由下式给出 △P＝P〔t+△t〕－P〔t〕假设时间t是连续变更的，以便我们可以利用微积分对上式两边除以△t，得到 我们可以把△P/△t从物理上理解成P在时间段△t上的平均变更率，△P/△t也可从几何上说明为连结点〔t0 ,P(t0)〕和点(t0 +△t, P〔t+△t〕)的线段的斜率令△t趋于零，由导数的定义得到下面的微分方程 其中dP/dt表示瞬时变更率导数有三种不同的作用：（1） 在连续问题中表示瞬时变更率2） 在离散问题中靠近平均变更率3） 导数作为曲线的切线的斜率用导数去靠近平均变更率，常能利用微积分来提醒所求变量之间的函数关系把导数说明成瞬时变更率在很多建模问题的应用问题中很有用把导数从几何上说明成曲线的切线的斜率，也有助于构造出数值解。

下面探讨两个著名的用微分方程建立的人口预料模型的例子我们会看到，微分方程在建立模型的过程中的重要作用一、马尔萨斯〔Malthus〕 模型 由于资源的有限性,当今世界各国都留意有打算地限制人口的增长,为了得到人口预料模型,必需首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然诞生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾难、斗争等诸多因素,假如一起先就把全部因素都考虑进去，那么无从下手因此,先把问题简化,建立比拟粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型英国人口统计学家马尔萨斯〔1766—1834〕在担当牧师期间,查看了教堂100多年人口诞生统计资料,发觉人口诞生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了著名于世的马尔萨斯人口模型马尔萨斯的根本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长〔诞生率与死亡率之差〕是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为在此假设下,推导并求解人口随时间变更的数学模型模型建立和求解：设时刻的人口为,把当作连续、可微函数处理〔因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理〕,据马尔萨斯的假设,在到时间段内,人口的增长量为,并设时刻的人口为,于是 这就是马尔萨斯人口模型,用分别变量法易求出其解为,此式说明人口以指数规律随时间无限增长。

模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样, ,,于是 模型分析：这个公式特别精确地反映了在1700—1961年间世界人口总数因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定346年增加一倍．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比拟,却发觉有很大的差异,尤其是在用此模型预料较遥远的将来地球人口总数时,发觉更令人不行思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口假如地球外表全是陆地〔事实上,地球外表还有80%被水覆盖〕,我们也只得相互踩着肩膀站成两层了,这是特别荒唐的,因此,这一模型应当修改二、逻辑〔Logistic〕模型马尔萨斯模型为什么不能预料将来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能满意必须数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,假如当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到必须数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进展修改。

1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数〔一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而就越大〕,并假设将增长率等于,即净增长率随着的增加而减小,当时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预料模型 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为上式就是逻辑模型,该方程可分别变量,其解为,下面,我们对模型作一简要分析〔1〕当,,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值；〔2〕当时,,这说明是时间的单调递增函数；〔3〕由于,所以当时,,单增；当时,,单减,即人口增长率由增变减,在处最大,也就是说在人口总数到达极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率渐渐变小,并且迟早会到达零,这是减速生长期；〔4〕用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发觉模型计算的结果与实际人口在1930年以前都特别吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的缘由是在20世纪60年头美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口由此可见该模型的缺点之一是不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, 的值也就越大；(5〕用逻辑模型来预料世界将来人口总数。

某生物学家估计,,又当人口总数为时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得 ,即 ,从而得 ,即世界人口总数极限值近100亿值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的探讨,原那么上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用参考文献】[1]Frank R.Giordano,数学建模,机械工业出版社，2005[2]姜启源，数学模型〔第三版〕，高等教育出版社，2003[3]朱道元，数学建模案例精选，科学出版社，2003[4]王冬琳，数学建模与试验，国防工业出版社，2004。