椭圆的常见题型及解法一(供参考).docx

椭圆的常见题型及其解法（一）椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助.一、椭圆的焦半径椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的 定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时, 用焦半径公式解题可以简化运算过程1.公式的推导设p （右,¥口）是椭圆上的任意一点，互（一匚,口）与（口m分别是椭圆的左、右焦点，椭圆X V+= ICa > b > 0).广/，求证|PF1|■"如，|PF#・小1P&I=J仅b+ c> + y J &，>=也.娼+2%斗且工证？tl：1由 ■-I因为,1^1=a + ex0又因为叫l + lpFa卜X ,所以IP后卜& -如 .」PF小小G，|PF#a-%证法2：设P到左、右准线的距离分别为久, 右 ,由椭圆的第二定义知四 e,又di)Hk0+—| c c3.3而门」-|PF^|= dj e= -(x0 + ——)=a.4- ex所以c4- ex0 J - a - ex 0・•・IPFil■日十盅。

2.公式的应用例1椭圆乃 9上三个不同的点4 JA （叼力）、B （ 5 ）、C （即为）到焦点F （40）的距离成等差数列，则x1 x225x解：在已知椭圆中，右准线方程为4 ,设A、B、C到右准线的距离为25L = 丁T25 X.」|AF|=d「j |BF|=d『e, |CF|=% 工,而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列25例2. F1 ,F2是椭圆4y2 1的两个焦点，P是椭圆上的动点,的最大值和最小值解：设教孙义），则PFi213x0,PF2 2 "PFi |PF24 3x2.4। P在椭圆上,变式练习1:.求过椭圆解：由已知可得凡 I，0）PFi PF2的最大值为4,最小值为1.的左焦点片,倾斜角为4＞的弦AB的长度所以直线AB的方程为,代入椭圆方程得34^ + 200x+ 175 = 0|新1|=窗+HQ. |3向|=江+已打22变式练习2.设Q是椭圆 3 匕 1（a b 0）上任意一点，求证：以 QF2 （或QF1）为 a b直径的圆C与以长轴为直径的圆相内切证明：设工口，”0）,圆C的半径为r\OC\=^\QFl\ = a-l\QF2\=a-r即 22也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。

故两圆相内切同理可证以Q耳为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切2 2P是椭圆、-y2a2 b21（a b 0）上一点，E、F是左、右焦点,PE与x轴所成的角为PF与x轴所成的角为c是椭圆半焦距，则（1）|PE|b2“2) |PF|b2a ccosa ccos2 2P是椭圆、之a2 b21（a b 0）上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为PF与x轴所成的角为2 2k Kc是椭圆半焦距，则(3)|PE| ；(4)|PF| a csin a csin证明：（1）设P在x轴上的射影为 Q,当 不大于90°时，在三角形 PEQ中，有cos| EQ | Xp c |PE | |PE|由椭圆焦半径公式（1）得|PE| a exp消去Xp后,化简即得（1） |PE|b2a ccos3 .椭圆焦半径公式的变式) | EQ| c Xp|PE| |PE|而当 大于90°时，在三角形 PEQ中，有cos（x ccos-P——，以下与上述相同2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略PE|4 .变式的应用对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解22例1. （2005年全国高考题）P是椭圆 与 41（a b 0）上一点，E、F是左右焦a b点，过P作x轴的垂线恰好通过焦点F,若三角形PEF是等腰直角三角形,则椭圆的离心率解：因为PFXEF,所以由（2）式得|PF|b2b2|EF | | PF |b22c a2ac注意到0 e1解得ea ccos90 °再由题意得2c 2ac2e + 2e 1 0 o2 2例2. P是椭圆 — y- 1上且位于x轴上方的一点, 100 64E, F是左右焦点，直线 PF的斜率为 4^3 ,求三角形PEF的面积。

解：设PF的倾斜角为，则:tan 4 . 3, cos1一 ，sin 7b=8, c=6,由变式（2）得|PF| 一8—710 6X ()7所以三角形PEF的面积变式训练1.经过椭圆2x2a2 y b21（a b 0）的左焦点Fi作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A, B两点，若|AF1|2|BF1],求椭圆的离心率解：由题意及变式（2）得,，一一1c 2化间得 2a c a —c3c 2a e 一 —2a 32变式训练2.设F是椭圆x2PF与FQ共线，MF与FN共线,y—1的上焦点,2且PF - MF =0求四边形PMQN面积的最大值和最小值解：设PF倾斜角为，则由题意知 PFXMF ,所以 MF倾斜角为 90° +“，而a 22, b 1, c 1 ,由题意及(3)式得同理得| MN | 一2&2 由题意知四边形 PMQN面积2 cos当cos4 1时,Smax3217- 2 ；当 cos4 11 时，Smin32 16 O17 ( 1) 9二椭圆的焦点弦2 2x y设椭圆方程为F 3a b21(a b 0,c2 2a b )过椭圆右焦点且倾斜角为(一)的直线方程为y ±L(x c),此直线交椭圆于 A,B两点，求焦点弦 AB的长.2cos例1、已知椭圆的长轴长 AB 8,焦距F1F2472 ,过椭圆的焦点F1作一直线交),当 取什么值时，PQ等于椭圆的短a 4, c 2<2 ,从而b 2<2 ,故由焦cos 72 <2 ,即例2、在直角坐标系中,arc cosy 2 & 或已知椭圆 E的一个焦点为arc cosy 2 J2 。

F (3,1),相应于F的准线为丫轴,椭圆于P、Q两点，设 PF1X (0轴长？分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且点弦长公式F1F22 2ab——及题设可得：2 4⑵?)4<2 ,解得a c cos16 8 cos直线l通过点F,且倾斜角为 y,又直线l被椭圆E截得的线段的长度为 方程分析：由题意可设椭圆E的方程为(x c 3)22a(y 1)2b21 ,又椭圆E相应于F的准线2为Y轴，故有—c 3c(1),又由焦点弦长公式有_2 一2ab 16(2)222a c cos 一32. 22 2 一 . 2又a b c (3)解由(1)、(2)、(3)联列的方程组得：a 4,b 3,c 1,从而所求椭圆E的方程为(x 4) (y 1)12 2变式训练1、已知椭圆C：与 Za2 b2截得的弦长为2 J2 ,过椭圆右焦点且斜率为2长的士，求椭圆C的方程5分析：由题意可知直线11过椭圆C的长、又由焦点弦长公式得 ——2———=- a c cos 5「2,22 ,.又 a b c (4)解由(1)、(2)、1 (a b 0),直线i1 ：)-y 1被椭圆Ca bJ3的直线l2被椭圆c截得的弦长是它的长轴短轴的两个端点，故有 a2 b2 8, (1)(2) 因 tan =七'3 ,得 一，(3) 2 2(3)、(4)联列的方程组得：a 6 , b 2 ,22从而所求椭圆E的方程为土匕 1。

例3.已知椭圆621的左右焦点分别为 F1,F2,过F1的直线交椭圆于 B, D两点，过F2的直线交椭圆于 A,C两点，且AC BD,求四边形 ABCD的面积的最小值。