2022年高三数学第六次月考试题 理(VII).doc

2022年高三数学第六次月考试题 理(VII)一、选择题（每题5分，共8道）1、设复数z1=1+i,z2=2+bi,若为纯虚数,则实数b=(　　)A. -2　 　B.2　　 C.-1　 　D.12、不等式组表示的平面区域是(　　)3、已知, ,则(　　) A. a> b> c　 　B. a> c> b　　 C. c> a> b　　 D. c> b> a4、阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(　　)A.7　　 B.9　　 C.10　　 D.115、已知双曲线C的离心率为2,焦点为,点A在C上.若||=2||,则cos∠=(　　)A.　 　B. 　C.　　 D.6、已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P-ABCD的四个侧面中的最大面积是(　　)A.3　 　B.8　　 C.　　 D.6；7、已知正项等比数列{an}满足,若存在两项,使得,则的最小值为(　　)A.　　 B.　　 C.　 　D.不存在8、已知定义在R上的函数y=f(x) 对于任意的x都满足f(x+1) =-f(x), 当-1≤x< 1时, , 若函数至少有6个零点, 则a的取值范围是(　　) A.∪(5, +∞)　　B.∪[5, +∞)　　C. ∪(5,7)　　D.∪[5,7)二、填空题（每题5分，共6道）9、某地区有小学150所，中学75所，大学25所。

现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取60所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校.10、如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=________.11、若,则二项式 的展开式中常数项是________.12、已知直线的参数方程是（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，则直线被圆所截得的弦长等于 .13、已知，，当“x” 是“x”的充分不必要条件，则的取值范围是 .14、在的边、上分别取、，使，，与交于点，若，，则 .三、解答题15、（13分）已知△ABC的内角为A、B、C, 其对边分别为a、b、c, B为锐角, 向量, 且.(1) 求角B的大小; (2) 如果b=2, 求S△ABC的最大值. 16、（13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从该市市区xx年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(1)从这15天的PM2.5监测数据中,随机抽取三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这15天的数据中任取三天数据,记ξ表示抽取PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列;(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级?　PM2.5日均值(微克/立方米)285　　　　　371434456387986392517、（13分）如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;(2)求B点到平面PCD的距离;(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.18、（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn,且. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设,数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值;(3)设,是否存在m∈N*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.19、（14分）椭圆E:(a>b>0)的焦点到直线x-3y=0的距离为,离心率为;抛物线G:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合;斜率为k的直线l过G的焦点,与E交于A,B,与G交于C,D.(1)求椭圆E及抛物线G的方程;(2)是否存在常数λ,使为常数,若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.20、（14分）已知函数f(x) =elnx, g(x) =lnx-x-1, h(x) =x2. (1) 求函数g(x) 的极大值; (2) 求证: 存在x0∈(1, +∞), 使g(x0) =g; (3) 对于函数f(x) 与h(x) 定义域内的任意实数x, 若存在常数k, b, 使得f(x) ≤k x+b和h(x) ≥k x+b都成立, 则称直线y=k x+b为函数f(x) 与h(x) 的分界线. 试探究函数f(x) 与h(x) 是否存在“分界线”? 若存在, 请给予证明, 并求出k, b的值; 若不存在, 请说明理由. 参考答案一、选择题：题号12345678答案ABCBADAA二、填空题：9、36，18 10、5 11、 12、4 13、 14、12三、解答题： 15、[详细分析]（1）//（为锐角）（2）由 得 ∵，∴. ∴即的最大值为.16、[详细分析] （1）记“从15天的PM2.5监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件， （4分）（2）依据条件，服从超几何分布：其中，，，的可能值为0,1,2,3,（0，1,2,3） （7分）其分布列为：0123 （10分）（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为（11分）设一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则.∴，∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级.（13分）17、[详细分析]（1）在中, ,为中点，所以，又侧面底面，平面平面，平面，所以平面.又在直角梯形中，连结，易得，所以以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，∴，易证平面，∴是平面的法向量，.∴直线与平面所成角的余弦值为.（2）,设平面的一个法向量为，则，取，得.∴点到平面的距离.（3）存在.设（）,∵,∴，∴，∴.设平面的一个法向量为，则，取，得.又平面的一个法向量为，∵二面角的余弦值为，∴，得，解得或（舍）,∴存在点，使得二面角的余弦值为，且.18、[详细分析]（1）设、的公共焦点为，由题意得，故，，.（2分）∴椭圆：，抛物线：.（4分）（2）存在.设，，，.直线的方程为，与椭圆的方程联立得化简得，.， （6分） （7分）.直线的方程为与抛物线的方程联立得化简得， （9分）. （11分）,要使为常数，则，得,故存在,使为常数. （14分）19、[详细分析]（1）当时，，（1分）当时， （2分）而当时，， ∴（）. （4分）（2）， ∴.（7分）∵，∴单调递增，. （8分）令，得，所以. （10分）（3）当为奇数时，为偶数，∴，. （12分）当为偶数时，为奇数，∴， （舍去）综上，存在唯一正整数，使得成立. （14分）20、[详细分析]（1）（）. （1分）令，解得；令，解得. （2分）∴函数在内单调递增,在上单调递减. （3分）∴的极大值为 （4分）（2）由（1）知在上单调递减，令，则在上单调递减.， （5分）取，则.（6分）故存在，使，即存在，使.（7分）（说明: 的取法不唯一, 只要满足, 且即可）（3）设（）, 则，当时, , 函数单调递减；当时，，函数单调递增.∴是函数的极小值点，也是最小值点，即.∴函数与的图象在处有公共点. （9分）设与存在“分界线”且其方程为，令函数，①由，得在上恒成立，即在上恒成立，∴，即，∴，故. （11分）②下面说明：，即（）恒成立.设，则.∵当时, ，函数单调递增，当时，，函数单调递减, ∴当时，取得最大值，.∴（）恒成立. （13分）综合①②知，且，故函数与存在“分界线”, 且，. （14分）。