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1 四年级奥数举一反三第3940 周之盈亏问题数学开放题39 盈亏问题专题简析：在日常生活中常有这样的问题： 一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系盈亏问题的数量关系是：（1） （盈亏）两次分配差 = 份数（大盈小盈）两次分配差 = 份数（大亏小亏）两次分配差 = 份数（2）每次分得的数量份数盈 = 总数量每次分得的数量份数亏 =总数量例 1：一个植树小组植树如果每人栽5 棵，还剩 14 棵；如果每人栽 7 棵，就缺 4 棵这个植树小组有多少人？一共有多少棵树？思路导航： 植树的人数和树的棵数是不变的比较两种分配方案，结果相差 144=18 棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵这是因为两种分配方案每人植树的棵数相差75=2 棵所以精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - -2 植树小组有 182=9 人，一共有 5914=59棵树。

练 习 一1，幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2 个，则剩下20 个；如果每人分 3 个，则差 40 个幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？2，某校安排宿舍，如果每间6 人，则 16 人没有床位；如果每间 8 人，则多出 10 个床位问宿舍多少间？学生多少人？精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - -3 3，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6 人；如果减少一条船，正好每条船坐9 人问：这个班共有多少学生？例 2：学校将一批铅笔奖给三好学生如果每人奖9 支，则缺 45支；如果每人奖 7 支，则缺 7 支三好学生有多少人？铅笔有多少支？分析与解答：这是两亏的问题由题意可知：三好学生人数和铅笔支数是不变的比较两种分配方案，结果相差457=38 支这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差97=2 支所以，三好学生有 382=19 人，铅笔有 9 1945=126支练 习 二1，将月季花插入一些花瓶中。

如果每瓶插8 朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插 6 朵，则缺少 1 朵求花瓶的只数和月季花的朵数精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - -4 2，王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸如果每人发5张，则少 32 张；如果每人发 3 张，则少 2 张美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画纸？3，老师将一些练习本发给班上的学生如果每人发10 本，则有两个学生没分到；如果每人发8 本，则正好发完有多少个学生？多少本练习本？例 3：有一些少先队员到山上去种一批树如果每人种16 棵，还有 24 棵没种；如果每人种19 棵，还有 6 棵没有种问有多少名少先队员？有多少棵树？分析与解答：这是两盈的问题由题意可知：少先队员的人数和树的棵数是不变的比较两种分配方案，结果相差24 6=18棵，这是因为两种分配方案每人种的树相差1916=3 棵所以，精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - -5 少先队员有 183=6 名，树有 16 624=120棵。

练 习 三1，小虎在敌人窗外听里边在分子弹：一人说每人背45 发还多 260 发；另一人说每人背 50 发还多 200 发有多少敌人？多少发子弹？2，杨老师将一叠练习本分给第一小组的同学如果每人分7本，还多 7 本；如果每人分 8 本则正好分完请算一算，第一小组有几个学生？这叠练习本一共有多少本？3，崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔如果每人分 5 支则多 12 支；如果每人分 8 支还多 3 支请问每人分多少支刚好把彩色笔分完？精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - -6 例 4：学校给一批新入学的学生分配宿舍如果每个房间住 12 人，则 34 人没有位置；如果每个房间住14 人，则空出 4 个房间求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？分析与解答： 把“每间住 14 人，则空出 4 个房间”转化为“每间住 14 人，则少 144=56人” 比较两种分配方案，结果相差3456=90 人，而每个房间相差1412=2 人所房间数为 902=45 间，学生人数为124534=574人。

练 习 四1，某校有若干个学生寄宿宿舍，若每一间宿舍住6 人，则多出 34 人； 若每间宿舍住 7 人， 则多出 4 间宿舍问宿舍有多少间？寄宿学生有多少人？2，育才小学学生乘汽车去春游如果每车坐65 人，则有 15精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - -7 人不能乘车；如果每车多坐5 人，恰好多余了一辆车问一共有几辆汽车？有多少学生？3，学校分配学生宿舍 如果每个房间住 6 人，则少 2 间宿舍；如果每个房间住9 人，则空出 2 个房间问学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？例 5：少先队员去植树， 如果每人挖 5 个树坑，还有 3 个坑没人挖；如果其中 2 人各挖 4 个，其余的人各挖6 个树坑，就恰好挖完所有树坑少先队员一共挖多少树坑？分析与解答：如果每人都挖6 个树坑，那么少（ 64）2=4个树坑，两次相差 43=7 个树坑这是因为两种分配方案每人挖的相差 65=1 个树坑所以，少先队员一共有71=7 人，一共精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - -8 挖 573=38 个树坑。

练 习 五1，老师给幼儿园的小朋友分苹果如果每个小朋友分2 个，还多 30 个；如果其中的 12 个小朋友每人分 3 个，剩下的每人分 4个，则正好分完一共有多少个苹果？2，在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃如果其中2 人各擦 4 块，其余每人擦 5 块，则余 22 块；如果每人擦 7 块，则正好擦完求擦玻璃的人数和玻璃的块数3，小红家买来一篮橘子分给全家人如果其中二人每人分4只，其余每人分2 只，则多出 4 只；如果其中一人分6 只，其余每人分 4 只，则又缺 12 只小红家买来多少只橘子？小红家一共有多少人？精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - -9 第四十周数学开放题专题简析：数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种题型由于客观世界复杂多变， 数学问题也必然复杂多变， 往往不可能得到唯一答精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - -10 案。

一般而言，数学开放题具有以下三个特征：1，条件不足或多余；2，没有确定的结论或结论不唯一；3，解题的策略、思路多种多样解答数学开放题， 需要我们从不同角度分析和思考问题，紧密联系实际，具体问题具体分析我们一般可以从以下几方面考虑：1，以问题为指向，对现有条件进行筛选、补充和组合，促进问题的顺利解决；2，根据知识之间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组合，采用不同的方法求解；3，避免“答案唯一”的僵化思维模式，联系实际考虑可能出现的多种情况，得出不同的答案精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - -11 例 1：A、B 都是自然数，且AB=10 ，那么 AB 的积可能是多少？其中最大的值是多少？分析与解答：由条件“ A、B 都是自然数，且AB=10 ” ，可知 A 的取值范围是 0 10 ，B 的取值范围的 10 0 不妨将符合题意的情形一一列举出来：0 10=0 19=9 28=16 3 7=21 46=24 5 5=25 AB 的积可能是 0、9、16、21、24、25。

当 A=B=5时，AB的积的最大值是25从以上过程发现， 当两个数的和一定时， 两个数的差越小， 积越大练习一1甲、乙两数都是自然数，且甲乙=32 ，那么，甲乙的积的最大值是多少？2A、B 两个自然数的积是24，当 A 和 B 各等于多少时，它们的和最小？3A、B、C 三个数都是自然数，且ABC=18 ，那么 AB C 的积的最大值是多少？精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - -12 例 2：把 1 5 五个数分别填图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和是9分析与解答：每条直线上三个圆圈内各数的和是9，两条直线上数的和等于 92=18 （其中中间圈内的数重复加了一次） 而 1、2、3、4、5 的和为 15，1815=3 所以，中间圈内应填3这样，两条直线上的圆圈中可以分别填1、3、5 与 2、3、4这个解我们也叫做基本解， 由这个基本解很容易得出其余的七个解练习二1，把 1 5五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和是10。

精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - -13 2，把 3 7五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和相等而且最大3，把 1 7七个数分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和相等精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - -14 例 3：把 1 6 六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于9分析与解答：每边上三个数的和都等于9，三条边上数的和等于 93=27 ，27（123456）=6 所以，三个顶点处被重复加了一次的三个数的和为6在 1 6 ，只有 123=6 ，故三个顶点只能填1、2、3这样就得到一组解： 1、5、3；1、6、2；3、4、2练习三1，把 1 6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于12。

精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - -1。