第十三讲视图与投影、立体图形的展开与折叠.doc

学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源第十三讲 视图与投影、立体图形的展开与折叠§13.1立体图形的展开与折叠1. 几何体的展开与折叠是________（选填“平面”或“立体”）图形与几何体表面展开图之间相互转化的过程.　　2. 同一个立体图形按不同的方式展开，可以得到________（选填“相同”或“不同”）的表面展开图，平面图形通过________（选填“展开”或“折叠”）可以得到相应的立体图形.　　3. 常见几何体的表面展开图：　　（1）圆柱的侧面展开图是一个________，圆锥的侧面展开图是一个________；（2）正方体有________个面，其表面展开图共由________个正方形组成.考点呈现考点1　立体图形的表面展开图　　例1 如图1，是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC，BC，CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（　　）　　解析：沿正四面体的三条棱AC，BC，CD剪开后，侧面的三个三角形均与后面的面相连.故选B.　　点评：本题要充分发挥想象力，同时也可以动手操作加以验证，加深理解. 　　例2 下列图形中，不是正方体表面展开图的是（　　） 　　解析：一个正方体共有六个面，将选项中的平面图形一一验证，就能得出选D．　　点评：在立体图形的展开图中，应重点掌握正方体的展开图，不仅能将正方体展开为平面图形，而且能识别所给6个大小一样的正方形能否拼成正方体.　　考点2　判断两个面是否为对面或相邻的面　　例3 （2012年漳州市）如图2，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“祝”的对面是（　　）　　A． 考 B． 试　　C． 顺 D． 利　　解析：判断两个面是否为对面的依据是：展开图的对面之间不能有公共边或公共顶点.由图形可以判断“祝”字的对面为“顺”.故选C.　　点评：解决这类问题，可以通过动手折叠得出正确答案，也可以直接根据展开图进行分析，找出相对的三组面，进而得到问题的答案.　　例4 如图3，是某一正方体的表面展开图，则该正方体是（　　） 解析：由所给的表面展开图可知，与在立体图形中是相对的两个面，故A，B两个选项不对，由可知，选D. 误区点拨1. 混淆立体图形与平面图形　　例1 下列说法：①文具盒是长方形；②文具盒是长方体；③文具盒的表面是长方形.其中正确的是（　　）　　A. ①② B. ①③C. ②③ D. ①②③ 错解：D.　　剖析：出现错误的原因是对长方体和长方形理解不清，即混淆了立体图形与平面图形，要特别注意的是长方体的一个面是长方形，所以①不正确.　　正解：C.　　2. 圆柱、圆锥的表面展开图忽略了它们的底面圆例2 画出图4中圆柱和圆锥的表面展开图. 错解：如图5.剖析：受圆柱、圆锥侧面展开图的影响，在画它们的表面展开图时，忽略了底面圆而画成侧面展开图.要注意圆柱是由三个面组成的，即两个平面（圆底面）和一个曲面（侧面）；圆锥是由两个面组成的，即一个平面（圆底面）和一个曲面（侧面）.　　正解：如图6. 技法指导1. 熟练掌握常见立体图形的特征，加强空间想象能力的培养.2. 熟记常见立体图形的展开图，如圆柱、圆锥、正方体等，重点掌握正方体的表面展开图，这也是中考的重点.跟踪训练1.下列图形中，不能经过折叠围成正方体的是（　　）　　　　　　2. （2012年宁德市）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） 　　3. （2012年南昌市）一个正方体有_______个面．　　4. 如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体中和 “着”相对的面上的汉字是_______.5. （2012年杭州市）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10 cm，体积为150 cm3，则这个棱柱的下底面积为_______cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200 cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为____cm．§13.2常见几何体的三视图知识梳理1． 几何体的三视图是指________、________、________.　　2． 主视图反映物体的长和________；俯视图反映物体的长和_______；左视图反映物体的______．因此，在画三视图时，主、俯视图要________对正，主、左视图要________平齐，俯、左视图要_______相等．3． 画三视图时，看得见部分的轮廓线通常画成________，看不见部分的轮廓线通常画成________．考点呈现考点1　由小立方块组成的几何体的三视图例1 （2012年广东省）如图1所示几何体的主视图是（　　） 解析：从正面看到的图形叫做主视图.从正面看，此图形的主视图由3列组成，从左到右小正方形的个数依次是1，3，1.故选B.点评：解决此类问题，首先约定前后称为行，左右称为列，上下称为层，综合判断得出答案. 考点2　简单几何体的三视图 例2 （2012年安徽省）下面的几何体中，主视图为三角形的是（　　）解析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形.因此，根据这几个常见几何体的三视图，可知圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正方形，圆锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是两个相连的矩形.故选C.　　点评：应熟记一些常见几何体（如圆柱、圆锥、球、三棱柱、三棱锥等）的三视图，解题时可以直接应用.　 考点3　组合体的三视图 例3 如图2，这个几何体的主视图是（　　） 解析：这个几何体由圆柱和圆锥组合而成，它们的主视图分别为长方形和三角形，且看得见的部分画成实线，故选A.点评：本题考查简单组合体的三视图，可拆成两个分别研究，要注意看得见的轮廓用实线，看不见的轮廓用虚线，要防止出现选C的错误.考点4　旋转体的三视图例4 如图3，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°．将直角梯形ABCD绕直线AD旋转一周，所得几何体的俯视图是（　　）　　解析：由图3旋转所得的几何体是圆台，其上小下大，所以俯视图为D.　　点评：要注意上小下大，即上、下底在俯视图中都是看得见的，所以都应画成实线.　　考点5　已知俯视图及小方块个数画其余视图　　例5 图4是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（　　） 解析：根据图4，可得如图5的实物，由实物知，其主视图应是两列，左列有两层，右列有三层，故选A.点评：本题已知俯视图及其在每个位置上的小方块数目，由此可以确定实物图，然后再根据实物图确定它的主视图.这体现了视图与实物之间的相互转化.技法指导1. 画物体的三视图时，应注意“主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等”．意思是说，主视图和俯视图的长与几何体的长相等，主视图和左视图的高与几何体的高相等，俯视图和左视图的宽与几何体的宽相等.2． 画组合体的三视图时，其中看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．误区点拨1. 视图的画法有误例1 画出如图6所示正四棱锥的三视图.错解：三视图如图7所示.剖析：画立体图形的三视图时，无论哪种视图都要求视线正对物体，因此，两侧的平面在视图上变成线，所以主视图和左视图错了；对能看见的轮廓线要画成实线，所以俯视图也错了. 正解：三视图如图8所示.　　2. 虚线与实线没有分清　　例2 如图9是一个空心几何体，请画出它的主视图.　　错解：主视图如图10所示.　　剖析：画组合体的三视图时，其中看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线.　　正解：主视图如图11所示.　　3． 画图比例不准确　　例3 根据所学视图的相关知识，画出图12中正六棱柱的三视图. 错解：三视图如图13所示.剖析：画视图要注意长对正，高平齐，宽相等.从图13看，俯视图的尺寸比例画错了，它的长应与主视图一样，而高应等于左视图的长，但图中的俯视图明显不符.正解：三视图如图14.跟踪训练1. 如图所示几何体的主视图是（　　）2. 在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（　　）3． 如图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是图形中的________ （把你认为正确的序号都填上）. 4. 如图所示是一个圆锥的主视图，则该圆锥的侧面积是______．　　5. 画出如图所示实物的三视图.§13.3投影知识梳理1． 太阳光线可以看成________光线（填“相交”或“平行”），像这样的光线所形成的投影称为________．　　2． 物体在太阳光照射的不同时刻，不仅影子的长短在变化，而且影子的________也在改变．根据不同时刻影长的变换规律，以及太阳东升西落的自然规律，可以判断时间的先后顺序．　　3． 判断平行投影的方法：分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线________，则为平行投影.　　4. 灯光的光线可以看成是从一点（即点光源）发出的，像这样的光线所形成的投影称为________．　　5． 中心投影点光源的确定：分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作直线，这两条直线的________即为光源的位置．　　6. 判断中心投影的方法：分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作直线，若两直线________，则为中心投影．考点呈现　考点1　投影作图　　例1 如图1，已知树及其影子，画出在阳光下同一时刻旗杆的影子． 解析：在阳光下的投影是平行投影，即光线是平行的，由树高及影长可确定光线的方向，由此即可画出旗杆在同一时刻的影子．如图2，连接AB，过点C作CD∥AB，则图中ED即为旗杆在同一时刻的影子.点评：解答此类问题要注意转化，即由影子可确定光线，由光线再确定影子.　　考点2　与投影有关的计算例2 如图3，教室窗户的高度AF为2.5米，遮阳蓬外端点D到窗户上缘的距离为AD，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，PE的长为米，试求AD的长度（结果保留根号）．分析：过E作EG∥AC，构造直角三角形.在Rt△GEP中可以求出EG=1，在Rt△ABD中可以求出AD的长.　　解：如图3，过点E作EG∥AC交PD于G点，则四边形BFEG为平行四边形.由题意，得∠ＢPＣ=∠D=30°.　　因为EG=EP·tan30°==1，所以BF=EG=1，则AB=AF-BF=2.5-1=1.5.在Rt△ABD中，AD==（米）.所以AD的长为米.点评：解决此类问题的关键是构造直角三角形或者相似三角形，再利用有关的知识来解. 　　例3 如图4，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米.已知王华的身高是1.5米，那么路灯A到地面的距离AB等于（　　）　　A． 4.5米 　B． 6米　　C． 7.2米　　D． 8米　　解析：由题意，知GC⊥BC，AB⊥。