抛物型方程义No.doc

§§1 抛物型方程初值问题抛物型方程初值问题一、解的形式推导一、解的形式推导函数满足( , )u x t（1） ( ,0)dduuin RRt uvin R  对关于作变换，记为uxFourierF ˆ( , )ut( , )( , ),dixdRutu x t edxR注意到F 2ˆ(( , ))( )( , )( , )dixRutu x t edxut F ˆ( , ) ( )( , )udutttdt于是我们有2ˆˆ ,,0ˆˆ( ,0)( ),ddduuRtdt uvR  这是一个常微分方程的边值问题，其解为2ˆˆ( , )( )tutve（2）又注意到F 22 24()d xee 由（2）作逆变换，得到Fourier242( , )( , )*(4)( )dx yd t Ru x tUtvtv y edy（3）其中核为，也称为该初值问题的基本解.Gauss242( , )(4)xd tU x tte二、适定性二、适定性定理定理 1 若在上有界且连续，则由（3）定义的是初值问题（1）的解，且vdR( , )u x t( , )( ) (0 )u x tv xt当Proof Step 1 将（3）中的代入（1）中的方程，计算，其为 0.( , )u x tuutStep 2 证明当，时，，直接估计0( , )(,0)x tx0dxR0( , )()u x tv x可知.0( , )()u x tv x将（3）记为， 242( , )( )( )(4)( )dx yd t Ru x tE t vxtv y edy（4）其中为线性算子.( )E t注意到，2 21dd xRedx可知242( , )(4)dx yd t CCRu x ttedy vv即 ，对.( , )CCutv0t 这说明关于极大模为有界，且算子模为 1.( )E t定理定理 2 由（4）定义的解算子在中有界，且，对.( )E tC( )CCE t vv0t 若，，则，对.11( )( )u tE t v22( )( )u tE t v1212( )( )CCu tu tvv0t 注注 1：定理 1 证明问题（1）的解存在；定理（2）证明问题（1）的解连续依赖于( )u t；由极大值原理证明（1）的解唯一，见后.v注注 2：并不是所有问题都有解的连续依赖性. 反例：0,1( ,0)( )sin,txxnuuin RRu xvxnxxRn的解为。

21( , )sinn t nux tenxn虽然 ，10 ()ncvnn 但是21( )0 (0)n t nCutentn 当，时该例同时证明由决定或的反问题是不适定的（Ill-( , )u x( ,0)u x( , ) 0)u x（posed）.三、光滑性三、光滑性由（3）可知对均为. 注意到( , )u x t,0dxRt  C，2422( , )4xdjjt txD D U x ttpet  2822xdjtcte 其中 ，可得222( ),0y yp y ecey 2822sup( , )sup( )dddx ydjjt tRx Rx RD D u x ttv y edy  2sup ( ) djx Rctv y 即 ，对.2( )jj tccD D E t vctv  0t 注注：上述推导说明为光滑算子，也就是说，即使不光滑，解为( )E tv( , )( )u x tE t v.但是时，解的导数界增大，这也说明了反问题不适定.C0tu当然如果是光滑的，的导数界一致有界，且时界下降.vu0t证明如下：在（4）中令，则zxy ( )( )( , )xD E t vxD u x t242(4)()dzd t xRtDv xz edz( )( )E t D vx于是 。

)( )jj tccD D E t vD E t v ( )jcE tD vjcD v 四、光滑性四、光滑性考虑,( ,0),d tduufin RRuvin R 其中给定. 该问题的解为( , )ff x t0( , )( ) (, )( , ) (,)ddtRRu x tv y U xy t dyf y s U xy ts dyds ， 0( )() ( , )tE t vE ts ft ds只要连续且有界.,,v ff。