大学课件高数第八单元讲解.ppt

第八章 空间解析几何与向量代数,平面解析几何的作用：平面解析几何是用代数的方法研究平面上几何曲线的一门学科.是学习一元函数必需的； 空间解析几何是学习多元微积分的重要基础，向量代数能使物理学、数学等领域内的许多问题的解简捷而直观.向量代数与解析几何的关系十分密切,一方面需要用解析几何的坐标法来进行向量的运算,另一方面向量代数又使解析几何有关问题的解法简明. 空间解析几何用坐标方法研究空间曲面与曲线的一门学科.它通过空间坐标系为桥梁,建立了空间上的点,向量与坐标之间的对应关系,进一步建立了空间曲面和曲线及方程之间的联系.,本章内容: (1)第一节及第二节是后面各节的基础; (2) 以后各节(需要向量的知识)是多元函数微积分必备第一节 向量及其线性运算,第二节 数量积 向量积 *混合积,第三节 曲面及其方程,第四节 空间曲线及其方程,第五节 平面及其方程,第六节 空间直线及其方程,一、向量概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,四、利用坐标作向量的线性运算,五、向量的模、方向解、投影,§8.1 向量及其运算,表示法:,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,向量的模 :,向量的大小,,,向径 (矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量。

零向量:,模为 0 的向量,,,,注意 一般来讲, 向量与其起点有关但在数学上只研究其共性：大小和方向, 而不考虑其起点向量 a 与 b大小相等, 方向相同.,a 与 b 相等,,a＝b ：,注意 零向量的方向是任意的.,规定: 零向量与任何向量平行 ;,若向量 a 与 b 方向相同或相反,,则称 a 与 b 平行,,a∥b ;,与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,,记作,因平行向量可平移到同一直线上,,故两向量平行又称,两向量共线 .,若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 ,,则称此 k,个向量共面 .,记作－a ;,,,,,,,,,,,,,,二、向量的线性运算,1. 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,,,,,,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,,,,,,,三角形法则可推广到多个向量相加：可明白地看出. 多个向量相加时,用三角形法则明显要方便些. 因为相加的向量只要依次首尾相连.第一个向量的起点为起点, 最后一个向量的终点为终点的向量即是所求的和向量.,2. 向量的减法,,,,,,三角不等式,3. 向量与数的乘法, 是一个数 ,,规定 :,可见, 与 a 的乘积是一个新向量, 记作,总之:,运算律 :,结合律,分配律,因此,,定理1.,设 a 为非零向量 , 则,,,( 为唯一实数),, 取 ＝±,且,再证数  的唯一性 .,则,a∥b,设 a∥b,,取正号, 反向时取负号,,, a , b 同向时,则 b 与  a 同向,,设又有 b＝ a ,,则,,,已知 b＝ a ,,b＝0,a , b 同向,a , b 反向,a∥b,定理1是建立数轴的理论依据：给定一个点O和一个单位向量 i 就确定了一条数轴.,点P 向量  实数x.,于是,定义x为点P的坐标.,定理1在第5, 6节也会用到.,例1. 设 M 为,解:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,,,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,,,,,,,,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,,,,坐标轴 :,,,,坐标面 :,2. 向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,,此式称为向量 r 的坐标分解式 ,,,,,点M向量,有序三个数M(x,y,z),四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,,,,,,平行向量对应坐标成比例:,向量的起点均移动到坐标原点!,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,,解:,①,②,2×① －3×② , 得,代入②得,例3. 已知两点,在AB直线上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,,及实数,得,即,,,,,,说明: 由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,,于是得,中点公式:,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,,,,,,,,由勾股定理得,因,,,,得两点间的距离公式:,对两点,与,,,,,例4. 求证以,证:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,,为顶点,,例5. 在 z 轴上求与两点,等距,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?,(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?,离的点 .,提示:,(1) 设动点为,利用,得,(2) 设动点为,利用,得,且,,2. 方向角与方向余弦(今后要用!),设有两非零向量,任取空间一点 O ,,,,,,称  =∠AOB (0≤ ≤  ) 为向量,,的夹角.,,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 ,  , ,,,,,,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,记作,,,,方向余弦的性质:,例7. 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,,,,例8. 设点 A 位于第一卦限,,解: 已知,角依次为,求点 A 的坐标 .,则,因点 A 在第一卦限 ,,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,,,,3. 向量在轴上的投影(自学),作业 P300 6, 12, 15.,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,三、两向量的混合积(不讲),§8.2 第二节数量积向量积*混合积,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,,,,,1. 定义,设向量,的夹角为 ,,称,数量积,(点积) .,,,,几何意义：P302,2. 性质,为两个非零向量,,则有,,,,,,,3. 运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,,,,,,,,,,,,,例1. 证明三角形余弦定理,,,,证:,则,,,,,,如图 . 设,,,,4. 数量积的坐标表示,设,则,,当,为非零向量时,,由于,两向量的夹角公式,, 得,两向量的数量积=对应坐标乘积之和!,,,,,,例2. 已知三点, AMB .,,,,,解:,,,则,,,求,故,,二、两向量的向量积,引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,,有一个与杠杆夹角为,,,,,,,,,,,,矩是一个向量 M ,M=转动力矩(向量) M=力臂×力F:,,,M的方向垂直于op与力F决定的平面,其指向按右手规则.即当右手的四指从op以不超过π的角转向F时握拳时,大拇指的指向.,1. 定义,定义,向量,,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,,,,,,,称c,引例中的力矩,思考: 右图三角形面积,S＝,2. 性质,为非零向量, 则,,,,,∥,∥,,,3. 运算律,(2) 分配律,(3) 结合律,,(证明略),证明:,,,4. 向量积的坐标表示式,设,则,,,,,,,,,,向量积的行列式计算法,,( 行列式计算见 P339～P342 ),,,,,,,(按第一行展开!),例4. 已知三点,角形 ABC 的面积,解: 如图所示,,,,,,,,,,,,,求三,作业 P310 1.,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,§8.3 曲面及其方程,四、二次曲面,一、曲面方程的概念,在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹.,那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的图形.,(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)0,,曲面方程的定义：,如果曲面S与三元方程F(x, y, z)0 有下述关系:,下面,我们举例说明.,二、建立空间曲面方程的思想方法:,空间曲面看成动点的轨迹. 而方程看成相应的动点坐标,所满足的等式.以此思想来建立曲面方程的方法如下:,①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z),②以动点所满足的条件得到等式.,③把坐标代入,转化为方程.,故所求方程为,例1. 求动点到定点,特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设所求的曲面上任一动点,依题意,距离为 R 的轨迹方程.,表示上(下)球面 .,球体：,(它是空间闭区域, 其表面是“球面”),这就是以动点所满足的条件得到等式,把坐标代入,转化为方程.,例2 设有点A(1, 2, 3)和B(2, 1, 4), 求线段AB的垂直平分面的方程.,由题意知道, 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹. 设M(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有|AM||BM|,,等式两边平方, 然后化简得2x6y2z70. 这就是所求的平面的方程.,解,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的方程; (2)已知坐标x、y和z间的一个方程时, 研究这方程所表示的曲面的形状.,研究曲面的两个基本问题,通过配方, 原方程可以改写成(x1)2(y2)2z25.,一般地, 三元二次方程Ax2Ay2Az2DxEyFzG0（A0) 的图形就是一个球面.特点是①平方项系数相等.②不含交叉项.,例3 方程x2y2z22x4y0表示怎样的曲面？,解,,定义2. 一条平面曲线C,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .曲线C称为旋转曲面的母线.,例如 :,,,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,给定 yoz 面上曲线 C:,曲线 C,,C,,绕 z轴,,曲线 C,,C,绕 z轴,.,,,,,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,,C,S,M,,N,,,z,,P,,,,,,y,z,o,绕 z轴,.,,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),., S,,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,,C,S,M,,N,z,,P,,,.,绕 z轴,.,,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),f (y1, z1)=0,f (y1, z1)=0,.,, S,,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,,例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,,,例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,三、柱面,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,,平行 z 轴的直线 l ,,表示圆柱面,,在圆C上任取一点,,,,其上所有点的坐标都满足此方程,,,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,,表示抛物柱面,,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,,z 轴的平面.,,表示母线平行于,,,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线, l 叫做母线.,,,,,,,,,,(不含z),,,,。