2022年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)专题08 实践操作探究类问题.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑2022年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)专题08 实践操作探究类问题 2022年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题) 第 1 页 共 57 页 专题8：实践操作、探究类问题 1.（2022安徽省12分）如图1，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边的中点，G 点在边AB 上，△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，设BC=a 、AC=b 、AB=c. （1）求线段BG 的长； （2）求证：DG 平分∠EDF; （3）连接CG ，如图2，若△BDG 与△DFG 好像，求证：BG⊥CG. 【答案】解：（1）∵D、C 、F 分别是△ABC 三边中点，∴DE 12AB ，DF 12 AC 又∵△BDG 与四边形ACDG 周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG ， ∴BG=AC+AG ∵BG=AB－AG ，∴BG= AB AC b+c =22 + （2）证明：BG=b+c 2，FG=BG －BF=b+c c b =222-，∴FG=DF∴∠FDG=∠FGD 又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD。

∴∠FDG=∠EDG ∴DG 平分∠EDF （3）在△DFG 中，∠FDG=∠FGD，∴△DFG 是等腰三角形 ∵△BDG 与△DFG 好像，∴△BDG 是等腰三角形 ∴∠B=∠BGD∴BD=DG ∴CD= BD=DG ∴B、G 、C 三点共圆 ∴∠BGC=90°∴BG⊥CG 【考点】三角形中位线定理，等腰三角形的性质，好像三角形的判定和性质，圆周角定理 【分析】（1）由△BDG 与四边形ACDG 的周长相等与D 、E 、F 分别为三边的中点，易得BG=AC+AG ，又由BG=AB －AG 即可得BG=AB AC b+c =22 + （2）由点D 、F 分别是BC 、AB 的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=FG ，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG （3）由△BDG 与△DFG 好像和（2）得DG=BD=CD ，可得B 、G 、C 三点在以BC 为直径 2022年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题) 第 2 页 共 57 页 的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥C 2. （2022陕西省12分）如图，正三角形ABC 的边长为． （1）如图①，正方形EFPN 的顶点E 、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上．在正三角形ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）； （2）求（1）中作出的正方形E'F'P'N'的边长； （3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得D 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由． 【答案】解：（1）如图①，正方形E'F'P'N'即为所求。

（2）设正方形E'F'P'N'的边长为x ． ∵△ABC 为正三角形，∴ ∴ ∴ 3- （3）如图②，连接NE ，EP ，PN ，那么0NEP=90∠ 设正方形DEMN 和正方形EFPH 的边长分别为m 、n （m≥n）， 它们的面积和为S ，那么 ， ∴()2222222PN =NE +PE =2m +2n =2m +n . ∴2221S=m +n =PN 2 延长PH 交ND 于点G ，那么PG⊥ND 在Rt PGN ?中，()()22 222PN =PG +GN =m+n +m n - 2022年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题) 第 3 页 共 57 页 ，即m+n=3. ∴()29S=+m n 2 - ∴①当()2m n =0-时，即m n =时，S 最小 ∴219S =3=22 ?最小 ②当()2m n -最大时，S 最大，即当m 最大且n 最小时，S 最大。

∵m+n=3，由（2 ）知，m 3-最大 ∴( )n =m =33=6---最小最大 ∴ ( )( 2211S =9+m n =9+3=9922????----??????最大最大最小 【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质 【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN 的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示 （2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式 E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长 （3）设正方形DEMN 、正方形EFPH 的边长分别为m 、n （m≥n），求得面积和的表达式为：()29S=+m n 2 -，可见S 的大小只与m 、n 的差有关：①当m=n 时，S 取得最小值；②当m 最大而n 最小时，S 取得最大值．m 最大n 最小的情形见第（1）（2）问 3. （2022福建莆田12分）(1)(3分)如图①，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC 于点D ． 求证：AB 2＝AD2AC； (2)(4分)如图②，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点D 为BC 边上的点，BE⊥AD 于点E ，延长 BE 交AC 于点F ．AB B C 1D B DC ==，求AF FC 的值； (3)(5分) 在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点D 为直线BC 上的动点(点D 不与B 、C 重合)，直 线BE⊥ＡD 2022年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题) 第 4 页 共 57 页 于点E ，交直线AC 于点F 。

若 AB BD n BC DC ==，请探究并直接写出AF FC 的全体可能的值(用含n 的式子表 示)，不必证明． 【答案】解：(1)证明：如图①，∵ BD⊥AC，∠ABC=90°，∠ADB＝∠ABC， 又∵ ∠A＝∠A，∴ △ADB∽△ABC ∴ AB AD AC AB =，∴ AB 2＝AD2AC (2)如图②，过点C 作CG⊥AD 交AD 的延长线于点G ∵ BE⊥AD，∴ ∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF 又∵AB BD 1BC DC ==， ∴AB＝BC ＝2BD ＝2DC ，BD ＝DC 又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG（AAS ） ∴ED＝GD ＝1EG 2 由(1)可得：AB 2＝AE2AD，BD 2＝DE2AD， ∴2222AE AB (2BD)4DE BD BD ===∴ AE＝4DE ∴AE 4DE 2EG DE == 又∵CG∥BF，∴ AF AE 2FC EG == (3) ①当点D 在BC 边上时，AF FC 的值为n 2＋n ； ②当点D 在BC 延长线上时，AF FC 的值为n 2－n ； ③当点D 在CB 延长线上时，AF FC 的值为n －n 2。

【考点】好像三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例的性质 【分析】（1）由证△ADB∽△ABC 即可得到结论 2022年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题) 第 5 页 共 57 页 （2）过点C 作CG⊥AD 交AD 的延长线于点G ，由已知用AAS 证△BDE≌△CDG，得到EF 是△ACG 的中位线，应用（1）的结论即可 （3）分点D 在BC 边上、点D 在BC 延长线上和点D 在CB 延长线上三种处境议论： ①当点D 在BC 边上时，如图3，过点C 作CG⊥AD 交AD 的延长线于点G ∵ BE⊥AD，∴ ∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF ∴△BDE∽△CDG∴ED BD GD DC = 又∵AB BD n BC DC ==，∴ED BD n GD DC == ∴AB＝nBC ，BD ＝nDC ，ED ＝nGD ∴BC=（n ＋1）DC ，EG=11+n （）ED 由(1)可得：AB 2＝AE2AD，BD 2＝DE2AD， ∴()[]222222222n 1DC AE AB (nBC)BC n 1DE BD DC DC nDC =====（＋）（＋）。

∴ AE ＝2n 1（＋） DE ∴22AE n 1DE n +n 1EG 1+DE n ==（＋）（） 又∵CG∥BF，∴2AF AE n +n FC EG == ②当点D 在BC 延长线上时，如图4，过点C 作CH⊥AD 交AD 于点H ∵ BE⊥AD，∴ ∠CHD＝∠BED＝90°，CH∥BF ∴△BDE∽△CDH∴ED BD HD CD = 又∵AB BD n BC DC ==，∴ED BD n HD DC == ∴AB＝nBC ，BD ＝nDC ，ED ＝nHD ∴BC=（n －1）DC ，EH=11n -（）ED 由(1)可得：AB 2＝AE2AD，BD 2＝DE2AD， ∴()[]222222222n 1DC AE AB (nBC)BC n 1DE BD DC DC nDC -=====-（）（）∴ AE ＝ 2n 1-（） DE 2022年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题) 第 6 页 共 57 页 ∴22AE n 1DE n n 1EH 1DE n -==--（）（） 又∵CH∥BF，∴2AF AE n n FC EH ==-。

③当点D 在CB 延长线上时，如图5，过点C 作CI⊥AD 交DA 的延长线于点I ∵ BE⊥AD，∴ ∠CID＝∠BED＝90°，CI∥BF ∴△BDE∽△CDI∴ ED BD ID CD = 又∵AB BD n BC DC ==，∴ED BD n ID DC == ∴AB＝nBC ，BD ＝nDC ，ED ＝nID ∴BC=（1－n ）DC ，EI=11n -（） ED 由(1)可得：AB 2＝AE2AD，BD 2＝DE2AD， ∴()[]2 222222221n DC AE AB (nBC)BC 1n DE BD DC DC nDC =====（－）（－）∴ AE ＝21n （－） DE ∴22AE 1n DE n n 1EI 1DE n ==--（－）（） 又∵CI∥BF，∴2AF AE n n FC EI ==- 4. （2022贵州黔东南12分）如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN∥y 轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示。