清华大学计算固体力学第五次本构模型.ppt

非线性有限元非线性有限元第第5 5章章 本构模型本构模型 计算固体力学计算固体力学第第5 5章章 本构模型本构模型 1 1引言引言2 2应力应力- -应变曲线应变曲线 3 3一维弹性一维弹性 4 4非线性弹性（超弹性）非线性弹性（超弹性）5 5一维塑性一维塑性 6 6多轴塑性多轴塑性7 7超弹－塑性模型超弹－塑性模型8 8粘弹性粘弹性 9 9应力更新算法应力更新算法1010连续介质力学与本构模型连续介质力学与本构模型1 1 引言引言 本本构构方方程程率率形形式式的的积积分分算算法法称称为为应应力力更更新新算算法法（（也也称称为为本本构构更更新新算法），包括：算法），包括：径向返回算法的一类图形返回算法，径向返回算法的一类图形返回算法，算法模量与基本应力更新方案一致的概念，算法模量与基本应力更新方案一致的概念，大变形问题的增量客观应力更新方案，大变形问题的增量客观应力更新方案，基于弹性响应的应力更新方案，自动满足客观性的超弹性势能基于弹性响应的应力更新方案，自动满足客观性的超弹性势能 为为了了进进行行分分析析，，选选择择材材料料模模型型是是很很重重要要，，往往往往又又不不是是很很明明确确，，仅仅有有的的信信息息可可能能是是一一般般性性的的知知识识和和经经验验，，即即可可能能是是材材料料行行为为的的几几条条应力－应变曲线。

应力－应变曲线 在在有有限限元元软软件件库库中中选选择择合合适适的的本本构构模模型型，，如如果果没没有有合合适适的的本本构构模模型型，，要要开开发发用用户户材材料料子子程程序序重重要要的的是是理理解解本本构构模模型型的的关关键键特特征征，，创创建建模模型型的的假假设设，，材材料料、、荷荷载载和和变变形形域域、、以以及及程程序序中中的的数数值值问问题题是是否适合模型否适合模型2 应力应力-应变曲线应变曲线 材料应力－应变行为的许多基本特征可以从一维应力状态(单轴应力或者剪切)的一组应力-应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成 载荷－位移曲线载荷－位移曲线 名义应力（工程应力）给出为名义应力（工程应力）给出为 定义伸长定义伸长 工程应变定义为工程应变定义为 2 2 应力应力- -应变曲线应变曲线 CauchyCauchy（或者真实）应力（或者真实）应力表示为表示为 以以每单位当前长度应变的增量每单位当前长度应变的增量随长度随长度的变化得到另一种应变度量的变化得到另一种应变度量 对数应变（也称为真实应变）对数应变（也称为真实应变） 对材料时间求导，表达式为对材料时间求导，表达式为一维情况，上式为变形率一维情况，上式为变形率 当前面积的表达式给出为当前面积的表达式给出为真实应力－应变曲线 工程应力－应变曲线2 2 应力应力- -应变曲线应变曲线 考虑一种不可压缩材料考虑一种不可压缩材料( (J J＝＝1)1)，名义应力和工程应变的，名义应力和工程应变的关系为关系为真实应力真实应力( (对于不可压缩材料对于不可压缩材料) )说说明明了了对对于于本本构构行行为为应应用用不不同同泛泛函函表表达达式式的的区区别别，，对对于于同同样样材材料取决于采用何种应力和变形的度量。

料取决于采用何种应力和变形的度量 应应力力－－应应变变曲曲线线的的显显著著特特征征之之一一是是非非线线性性的的度度材材料料线线弹弹性性行行为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述2 2 应力应力- -应变曲线应变曲线 应应力力－－应应变变反反应应与与变变形形率率无无关关的的材材料料称称为为率率无无关关；；否否则则，，称为称为率相关率相关名义应变率定义为名义应变率定义为 率无关和率相关材料的一维反应因为 和即名义应变率等于伸长率，例如即名义应变率等于伸长率，例如 可可以以看看出出，，对对于于率率无无关关材材料料的的应应力力－－应应变变曲曲线线是是应应变变率率独独立立的的，，而而对对于于率率相相关关材材料料的的应应力力－－应应变变曲曲线线，，当当应应变变率率提提高高时时是是上上升升的的；；而而当温度升高时是下降的当温度升高时是下降的2 2 应力应力- -应变曲线应变曲线 对对于于弹弹性性材材料料，，应应力力－－应应变变的的卸卸载载曲曲线线简简单单地地沿沿加加载载曲曲线线返返回回，，直直到到完完全全卸卸载载，，材材料料返返回回到到了了它它的的初初始始未未伸伸长长状状态态。

然然而而，，对对于于弹弹－－塑塑性性材材料料，，卸卸载载曲曲线线区区别别于于加加载载曲曲线线，，卸卸载载曲曲线线的的斜斜率率是是典典型型的的应应力力－－应应变变弹弹性性（（初初始始））段段的的斜斜率率，，卸卸载载后后产产生生永永久久应应变变其其它它材材料料的的行行为为介介于于这这两两种种极极端端之之间间由由于于在在加加载载过过程程中中微微裂裂纹纹的的形形成成材材料料已已经经损损伤伤，，脆脆性性材材料料的的卸卸载载行行为为，，当当荷荷载载移移去去后后微微裂裂纹纹闭闭合合，，弹弹性性应应变变得得到到恢恢复复卸卸载载曲曲线线的的初初始始斜斜率率给给出出形形成微裂纹损伤程度的信息成微裂纹损伤程度的信息a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤 3 3 一维弹性一维弹性 弹弹性性材材料料的的基基本本性性能能是是应应力力仅仅依依赖赖于于应应变变的的当当前前水水平平这这意意味味着着加加载载和和卸卸载载的的应应力力- -应应变变曲曲线线是是一一致致的的，，当当卸卸载载结结束束时时材材料料恢恢复复到到初初始始状状态态称称这这种种应应变变是是可可逆逆的的而而且且，，弹弹性性材材料料是是率率无无关关的的( (与应变率无关与应变率无关) )。

弹性材料的应力和应变是一一对应的弹性材料的应力和应变是一一对应的小应变小应变 可可逆逆和和路路径径无无关关默默认认在在变变形形中中没没有有能能量量耗耗散散，，在在弹弹性性材材料料中中，，储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复 对于一维弹性材料，对于一维弹性材料，可逆、路径无关、无能量耗散可逆、路径无关、无能量耗散是等价的特征是等价的特征对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似对于任意应变，不管如何达到应变值，上式给出唯一应力值对于任意应变，不管如何达到应变值，上式给出唯一应力值 3 3 一维弹性一维弹性 应变能一般是应变的凸函数，例如，应变能一般是应变的凸函数，例如， (a)凸应变能函数 (b)应力应变曲线 当当 公式的等号成立公式的等号成立 凸应变能函数的一个例子如图所示在这种情况下，函数凸应变能函数的一个例子如图所示在这种情况下，函数是单调递增的，如果是单调递增的，如果w 是非凸函数，则是非凸函数，则 s 先增后减，材料应变先增后减，材料应变软化，这是非稳定的材料反应，软化，这是非稳定的材料反应， 如右下图。

如右下图a)非凸应变能函数(b)相应的应力应变曲线 大应变大应变 从从弹弹性性推推广广到到大大应应变变，，只只要要选选择择应应变变度度量量和和定定义义应应力力（（功功共共轭轭））的的弹弹性性势势能能势势能能的的存存在在是是默默认认了了可可逆逆、、路路径径无无关关和和无无能能量量耗散耗散如 3 3 一维弹性一维弹性 在在弹弹性性应应力力- -应应变变关关系系中中，，从从应应变变的的势势函函数数可可以以获获得得应应力力为为超弹性如一维大应变问题，以超弹性如一维大应变问题，以GreenGreen应变的二次函数表示应变的二次函数表示 对于小应变问题，即为胡克定律对于小应变问题，即为胡克定律大应变大应变 一一种种材材料料的的CauchyCauchy应应力力率率与与变变形形率率相相关关，，称称为为次次弹弹性性这这种关系一般是非线性的，给出为种关系一般是非线性的，给出为 3 3 一维弹性一维弹性 一个特殊的线性次弹性关系给出为一个特殊的线性次弹性关系给出为 这这是是与与路路径径无无关关的的超超弹弹性性关关系系对对于于多多轴轴问问题题，，一一般般次次弹弹性性关关系系不不能能转转换换到到超超弹弹性性，，它它仅仅在在一一维维情情况况下下是是严严格格路路径径无无关关的的。

然然而而，，如如果果是是弹弹性性小小应应变变，，其其行行为为足足以以接接近近路路径径无无关关的的弹弹性性行行为为因因为为次次弹弹性性的的简简单单性性，，公公式式(5.3.11)(5.3.11)的的多多轴轴一一般般形形式式常常常常应应用用在在有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应对上式的关系积分，得到对上式的关系积分，得到4 4 非线性弹性非线性弹性 对对于于有有限限应应变变有有许许多多不不同同的的应应力力和和变变形形度度量量，，同同样样的的本本构构关关系系可可以以写写成成几几种种不不同同的的形形式式，，总总是是可可能能从从一一种种形形式式的的本本构构关关系转换到另一种形式系转换到另一种形式 大大应应变变弹弹性性本本构构模模型型首首先先表表述述成成KirchhoffKirchhoff材材料料的的一一种种特特殊殊形形式式，，由由线线弹弹性性直直接接生生成成到到大大变变形形满满足足路路径径无无关关、、可可逆逆和和无无能能量量耗耗散散因因此此，，路路径径无无关关的的程程度度可可以以视视为为材材料料模模型型弹弹性性的的度度量。

量 次次弹弹性性材材料料是是路路径径无无关关程程度度最最弱弱的的材材料料，，遵遵从从CauchyCauchy弹弹性性，，其应力是路径无关的，但是其能量不是路径无关的其应力是路径无关的，但是其能量不是路径无关的 超超弹弹性性材材料料或或者者GreenGreen弹弹性性，，它它是是路路径径无无关关和和完完全全可可逆逆的的，，应力由应变势能导出应力由应变势能导出4 4 非线性弹性非线性弹性 小应变和大转动小应变和大转动 式式中中 C C 为为弹弹性性模模量量( (切切线线模模量量) )的的四四阶阶张张量量，，对对KirchhoffKirchhoff材材料料是是常常数数，，代代表表了了应应力力和和应应变变的的多多轴轴状状态态它它可可以以完完全全反反映映材材料料的的各各向异性 许许多多工工程程应应用用包包括括小小应应变变和和大大转转动动在在这这些些问问题题中中，，大大变变形形的的效效果果主主要要来来自自于于大大转转动动，，如如直直升升机机旋旋翼翼、、船船上上升升降降器器或或者者钓钓鱼鱼杆杆的的弯弯曲曲由由线线弹弹性性定定律律的的简简单单扩扩展展即即可可以以模模拟拟材材料料的的反反应应，，但但要要以以PK2PK2应应力力代代替替其其中中的的应应力力和和以以GreenGreen应应变变代代替替线线性性应应变变，，这这称称为为Saint-Saint-VenantVenant- - KirchhoffKirchhoff材材料料，，或或者者简简称称为为KirchhoffKirchhoff材材料料。

最一般的最一般的KirchhoffKirchhoff模型为模型为4 4 非线性弹性非线性弹性 式中式中C C为弹性模量的四阶张量，有为弹性模量的四阶张量，有8181个常数利用对称性可以显个常数利用对称性可以显著地减少常数著地减少常数 一般的四阶张量有一般的四阶张量有3 34 4＝＝8181个独立常数，与全应力张量的个独立常数，与全应力张量的9 9个个分量和全应变张量的分量和全应变张量的9 9个分量有关个分量有关 如次弹性本构方程如次弹性本构方程这这样样C C为为对对称称矩矩阵阵（（主主对对称称性性）），，在在8181个个常常数数中中有有4545个个是是独独立立的的成为上三角或下三角矩阵成为上三角或下三角矩阵 4 4 非线性弹性非线性弹性 利用势能表示的应力－应变关系和利用势能表示的应力－应变关系和GreenGreen公式，公式， 故有故有 应力张量和应变张量均为对称张量（应力张量和应变张量均为对称张量（次对称性次对称性），即），即 4 4 非线性弹性非线性弹性 应力张量和应变张量均为对称张量（应力张量和应变张量均为对称张量（次对称性次对称性），即），即 再再利利用用模模量量的的主主对对称称性性使使独独立立弹弹性性常常数数的的数数目目减减少少，，由由3636个个常常数数减减少少为为2121个，为个，为各向异性材料各向异性材料。

应应力力和和应应变变张张量量的的对对称称性性要要求求应应力力的的6 6个个独独立立分分量量仅仅与与应应变变的的6 6个个独独立立分分量量有有关关，，由由弹弹性性模模量量的的局局部部对对称称结结果果，，独独立立常常数数的的数数目目减少到减少到3636个 4 4 非线性弹性非线性弹性 写成矩阵形式为（可以是上或下三角矩阵）写成矩阵形式为（可以是上或下三角矩阵） 对对于于正正交交各各向向异异性性，，具具有有正正交交的的三三个个弹弹性性对对称称面面，，当当坐坐标标变变号号，，为使应变能密度不变，有为使应变能密度不变，有 这样由这样由2121个常数减少为个常数减少为1414个，为个，为正交各向异性材料正交各向异性材料 若材料对称坐标平面，当沿轴平面反射时，弹性模量不变，若材料对称坐标平面，当沿轴平面反射时，弹性模量不变，固为固为正交各向异性体正交各向异性体，有，有  对对于于一一个个由由三三个个彼彼此此正正交交的的对对称称平平面面组组成成的的正正交交材材料料( (如如木木材材或或纤纤维维增增强强的的复复合合材材料料) )，，仅仅有有9 9个个独独立立弹弹性性常常数数，，KirchhoffKirchhoff应力－应变关系为应力－应变关系为材料对称坐标平面，为材料对称坐标平面，为正交各向异性体正交各向异性体4 4 非线性弹性非线性弹性 对于对于各向同性材料各向同性材料，仅有，仅有3 3个常数个常数 4 4 非线性弹性非线性弹性 小应变和大转动小应变和大转动 对于各向同性的于各向同性的Kirchhoff材料，其材料，其应力－力－应变关系可以写成关系可以写成为式中式中Lamé常数，体常数，体积模量模量K，，杨氏模量氏模量 E和泊松比和泊松比的关系为的关系为 材材料料对对称称的的一一个个重重要要的的例例子子是是各各向向同同性性。

一一个个各各向向同同性性材材料料没没有有方方位位或或者者方方向向的的选选择择，，因因此此，，当当以以任任何何直直角角坐坐标标系系表表示示的的应应力力－－应应变变关关系系是是等等同同的的对对于于小小应应变变的的许许多多材材料料( (如如金金属属和和陶陶瓷瓷) )可可以以作作为为各各向向同同性性进进行行模模拟拟张张量量C C是是各各向向同同性性的的在在任任何何坐坐标标系统中，一个各向同性张量有相同的分量系统中，一个各向同性张量有相同的分量克罗内克)符号构成的一个线性组合： 4 4 非线性弹性非线性弹性 不可压缩性不可压缩性 在变形的过程中，不可压缩材料的体积不变，密度保持常数在变形的过程中，不可压缩材料的体积不变，密度保持常数不可压缩材料的运动称为等体积运动不可压缩材料的运动称为等体积运动 总体变形总体变形 等体积约束运动的率形式等体积约束运动的率形式 将应力和应变率度量写成偏量和静水（体积的）部分的和，将应力和应变率度量写成偏量和静水（体积的）部分的和，对于不可压缩材料，静水部分也称为张量的球形部分，分解式为：对于不可压缩材料，静水部分也称为张量的球形部分，分解式为： 对于不可压缩材料，压力不能从本构方程确定，而是从动量对于不可压缩材料，压力不能从本构方程确定，而是从动量方程确定。

方程确定 4 非线性弹性非线性弹性 Kirchhoff应力应力 由由Jacobian行列式放大，称它为权重行列式放大，称它为权重Cauchy应力对于应力对于等体积等体积运动运动，它等同于，它等同于Cauchy应力 次弹性次弹性次弹性材料规律联系应力率和变形率次弹性材料规律联系应力率和变形率 上式是率无关、线性增加和可逆的对于有限变形状态的微小增量，应力和应变的增量是线性关系，当卸载后可以恢复然而，对于大变形能量不一定必须守恒，并且在闭合变形轨迹上作的功不一定必须为零次弹性规律主要用来代表在弹-塑性规律中的弹性反应，小变形弹性，且耗能效果也小 4 非线性弹性非线性弹性 切线模量之间的关系切线模量之间的关系 对于各向同性材料对于各向同性材料Jaumann率的切线模量为率的切线模量为 某些次弹性本构关系共同应用的形式为某些次弹性本构关系共同应用的形式为对于同一种材料，切线模量不同，材料反应的率形式不同，如对于同一种材料，切线模量不同，材料反应的率形式不同，如 如果如果是常数，是常数，不是常数不是常数 切切线模量模量证明明见第第5.4.5节，推，推导复复杂4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 平衡方程是以物体中应力的形式建立的，应力来源于变形，如应变。

如果本构行为仅是变形的当前状态的函数，为与时间无关的弹性本构而对于接近不可压缩的材料，仅依赖变形（应变）不一定能够得到应力 储存在材料中的能量（功）仅取决于变形的初始和最终状态，并且是独立于变形（或荷载）路径，称这种弹性材料为超弹性（hyper-elastic）材料，或者为Green弹性，例如常用的工业橡胶动物的肌肉也具有超弹性的力学性质这里主要讨论橡胶材料的超弹性力学行为4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性（对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性（Green弹弹性）材料超弹性材料的特征是存在一个潜在（或应变）能量性）材料超弹性材料的特征是存在一个潜在（或应变）能量函数，它是应力的势能：函数，它是应力的势能： 通过适当转换获得了对于不同应力度量的表达式通过适当转换获得了对于不同应力度量的表达式 由于变形梯度张量由于变形梯度张量F是不对称的，因此名义应力张量是不对称的，因此名义应力张量P的的9个个分量是不对称的分量是不对称的 在橡胶大变形中应用在橡胶大变形中应用多项式模型多项式模型和和Ogden指数模型指数模型。

4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 目目前前，，世世界界半半数数以以上上的的橡橡胶胶是是合合成成橡橡胶胶合合成成橡橡胶胶的的种种类类很很多多，，例例如如，，制制造造轮轮胎胎使使用用的的丁丁苯苯橡橡胶胶（（苯苯乙乙烯烯和和丁丁二二烯烯的的共共聚聚物物））或或乙乙丙丙烯烯橡橡胶胶（（ERP））；；用用于于汽汽车车配配件件的的有有氯氯丁丁橡橡胶胶及及另另一种具有天然橡胶各种性能的异戊橡胶一种具有天然橡胶各种性能的异戊橡胶 在在众众多多的的合合成成橡橡胶胶中中，，硅硅橡橡胶胶是是其其中中的的佼佼佼佼者者它它具具有有无无味味无无毒毒，，不不怕怕高高温温和和严严寒寒的的特特点点，，在在摄摄氏氏300度度和和零零下下90度度时时能能够够“泰泰然然自自若若”、、“面面不不改改色色”，，仍仍不不失失原原有有的的强强度度和和弹弹性性例例如生物材料如生物材料 橡橡胶胶是是提提取取橡橡胶胶树树、、橡橡胶胶草草等等植植物物的的胶胶乳乳，，加加工工后后制制成成的的具具有有弹弹性性、、绝绝缘缘性性、、不不透透水水和和空空气气的的材材料料在在半半个个世世纪纪前前，，“橡橡胶胶”一一词词是是专专指指生生橡橡胶胶，，它它是是从从热热带带植植物物巴巴西西三三叶叶胶胶的的胶胶乳乳提提炼出来的。

炼出来的4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 1839年年，，Charle Goodyear发发明明了了橡橡胶胶的的硫硫化化方方法法，，其其姓姓氏现在已经成为国际上著名橡胶轮胎的商标氏现在已经成为国际上著名橡胶轮胎的商标 从从19世世纪纪中中叶叶起起橡橡胶胶就就成成为为一一种种重重要要的的工工程程材材料料然然而而，，橡橡胶胶材材料料的的行行为为复复杂杂，，不不同同于于金金属属材材料料仅仅需需要要几几个个参参数数就就可可以以描描述述材材料料特特性性橡橡胶胶材材料料受受力力以以后后，，变变形形是是伴伴随随着着大大位位移移和和大大应应变变，，其其本本构构关关系系是是非非线线性性的的，，并并且且在在变变形形过过程程中中体体积积几几乎乎保保持不变 橡胶具有许多特殊的性能，例如电绝缘性、耐氧老化性、耐橡胶具有许多特殊的性能，例如电绝缘性、耐氧老化性、耐光老化性、防霉性、化学稳定性等光老化性、防霉性、化学稳定性等4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 由由于于计计算算机机以以及及有有限限元元数数值值分分析析的的飞飞速速发发展展，，我我们们可可以以借借助助计计算算机机来来对对超超弹弹性性材材料料的的工工程程应应用用进进行行深深入入研研究究以以及及优优化化设设计计。

可可以以用用有有限限元元等等数数值值方方法法来来计计算算分分析析橡橡胶胶元元件件的的力力学学性性能能，，包包括括选选取取和和拟拟合合橡橡胶胶的的本本构构模模型型，，以以及及用用有有限限元元建建模模和和处处理理计计算算结果等 橡橡胶胶是是一一种种弹弹性性聚聚合合物物，，其其特特点点是是有有很很强强的的非非线线性性粘粘弹弹性性行行为为它它的的力力学学行行为为对对温温度度、、环环境境、、应应变变历历史史、、加加载载速速率率都都非非常常敏敏感感，，这这样样使使得得描描述述橡橡胶胶的的行行为为变变得得非非常常复复杂杂橡橡胶胶的的制制造造工工艺和成分也对橡胶的力学性能有着显著的影响艺和成分也对橡胶的力学性能有着显著的影响固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型 固体橡胶是几乎不可压缩的，其泊松比接近于固体橡胶是几乎不可压缩的，其泊松比接近于0.5可逆，可逆，大应变初始各向同性，应变增加后分子定向排列初始各向同性，应变增加后分子定向排列4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 常用的橡胶性态可分为常用的橡胶性态可分为固体橡胶固体橡胶和和泡沫橡胶泡沫橡胶。

4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 一一般般将将多多孔孔橡橡胶胶或或弹弹性性泡泡沫沫材材料料统统称称为为泡泡沫沫材材料料弹弹性性泡泡沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海绵、包装材料等沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海绵、包装材料等 泡泡沫沫橡橡胶胶是是由由橡橡胶胶制制成成的的弹弹性性泡泡沫沫材材料料，，能能够够满满足足非非常常大大的的弹弹性性应应变变要要求求，，拉拉伸伸时时的的应应变变可可以以达达到到500％％或或更更大大，，压压缩缩时时的的应应变变可可以以达达到到90％％或或更更小小与与固固体体橡橡胶胶的的几几乎乎不不可可压压缩缩性性相相比比，，泡泡沫沫材材料料的的多多孔孔性性则则允允许许非非常常大大的的体体积积缩缩小小变变形形，，因因此此具有良好的能量吸收性具有良好的能量吸收性泡沫橡胶材料的多面体微元模型泡沫橡胶材料的多面体微元模型 a) 开放腔室，开放腔室，b) 封闭腔室封闭腔室4 非线性弹性非线性弹性 超弹性材料超弹性材料 泡沫橡胶材料的应力泡沫橡胶材料的应力-应变曲线应变曲线 a)压缩压缩 b)拉伸拉伸小应变小应变 <5%，线弹性，泊松比为，线弹性，泊松比为0.3 。

大应变，压缩时，泊松比为大应变，压缩时，泊松比为0.0；； 拉伸时，泊松比大于拉伸时，泊松比大于0.0典型固体橡胶材料单轴拉伸应力典型固体橡胶材料单轴拉伸应力-应变曲线应变曲线 橡胶本构模型橡胶本构模型 4 非线性弹性非线性弹性 小变形小变形 以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为忽略二阶及二阶以上小量，变为忽略二阶及二阶以上小量，变为弹性常数为弹性常数为 当当 橡胶本构模型橡胶本构模型 4 非线性弹性非线性弹性 定义伸长定义伸长 工程应变定义为工程应变定义为 二阶张量基本不变量二阶张量基本不变量 小变形，有小变形，有 小变形小变形 橡胶本构模型橡胶本构模型 4 非线性弹性非线性弹性 例题例题 在超弹性计算中，橡胶使用三次减缩多项式应变能本构模型，在超弹性计算中，橡胶使用三次减缩多项式应变能本构模型，应变能密度表达式为应变能密度表达式为若取若取（单位为（单位为MPa），求材料弹性常数求材料弹性常数 利用公式利用公式解：解：解出橡胶的弹性常数为解出橡胶的弹性常数为 ，， E=1.384MPa，，ν= 0.5 小变形小变形 橡胶本构模型橡胶本构模型 4 非线性弹性非线性弹性  常常用用的的橡橡胶胶力力学学性性能能描描述述方方法法主主要要分分为为两两类类，，一一类类是是基基于于热热力力学学统统计计的的方方法法，，另另一一类类是是基基于于橡橡胶胶为为连连续续介介质质的的唯唯象象学学描描述方法。

述方法 热热力力学学统统计计方方法法的的基基础础为为观观察察到到橡橡胶胶中中的的弹弹性性恢恢复复力力主主要要来来自自熵熵的的减减少少橡橡胶胶在在承承受受荷荷载载时时分分子子结结构构无无序序，，熵熵的的减减少少是是由由于于橡橡胶胶伸伸长长使使得得橡橡胶胶结结构构由由高高度度无无序序变变得得有有序序由由对对橡橡胶胶中中分子链的长度、方向以及结构的统计得到本构关系分子链的长度、方向以及结构的统计得到本构关系橡胶本构模型橡胶本构模型 唯唯象象学学描描述述方方法法假假设设在在未未变变形形状状态态下下橡橡胶胶为为各各向向同同性性材材料料，，即即长长分分子子链链方方向向在在橡橡胶胶中中是是随随机机分分布布的的这这种种各各向向同同性性的的假假设设是是用用单单位位体体积积（（弹弹性性））应应变变能能函函数数（（U））来来描描述述橡橡胶胶特特性性的的基基础，其本构模型为多项式形式模型和础，其本构模型为多项式形式模型和Ogden形式模型形式模型典型的典型的本构模型本构模型为多项式形式，其应变能密度表达式为为多项式形式，其应变能密度表达式为特殊形式可以由设定某些参数为特殊形式可以由设定某些参数为0来得到。

如果所有来得到如果所有 则得到减缩多项式模型则得到减缩多项式模型 对于完全多于完全多项式式，如果，如果, 则只有只有线性部分的性部分的应变能量，能量，即即Mooney-Rivlin形式形式橡胶本构模型橡胶本构模型 ，则得到，则得到Neo-Hookean形式形式 对于减缩多项式对于减缩多项式，如果，如果 Mooney-Rivlin形式和形式和Neo-Hooken形式本构模型形式本构模型（后者是将（后者是将Hooke定律扩展至大变形）定律扩展至大变形）橡胶本构模型橡胶本构模型 Yeoh形式本构模型是形式本构模型是 时减缩多项式的特殊形式时减缩多项式的特殊形式 典型的典型的S形橡胶应力形橡胶应力-应变曲线应变曲线 ，，C10正值，在小变形时为切线模量；正值，在小变形时为切线模量；C20为负值，中等变形时软化；为负值，中等变形时软化；C30正值，大变形时硬化正值，大变形时硬化橡胶本构模型橡胶本构模型 Ogden形式本构模型形式本构模型 Arruda-Boyce形式本构模型形式本构模型 Van der Waals模型模型 橡胶本构模型橡胶本构模型 其他形式的本构模型有：其他形式的本构模型有：试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数 橡橡胶胶类类材材料料的的本本构构关关系系除除具具有有超超弹弹性性、、大大变变形形的的特特征征外外，，其其本本构构关关系系与与生生产产加加工工过过程程有有直直接接关关系系，，如如橡橡胶胶配配方方和和硫硫化化工工艺艺。

确确定定每每一一批批新新加加工工出出来来的的橡橡胶胶的的本本构构关关系系，，都都要要依依赖赖于于精精确和充分的橡胶试验确和充分的橡胶试验 通常在试验中应该测得在几种不同荷载模式下的应力通常在试验中应该测得在几种不同荷载模式下的应力-应变曲线，应变曲线，这样可以选择出最合适的本构模型以及描述这种模型的参数这样可以选择出最合适的本构模型以及描述这种模型的参数 同一种橡胶材料的三种拉伸变形状态的应力同一种橡胶材料的三种拉伸变形状态的应力-应变曲线图，应变曲线图，对比试验曲线，由最小二乘法拟合多项式本构模型中的系数对比试验曲线，由最小二乘法拟合多项式本构模型中的系数试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数 给给出出实实验验数数据据，，应应力力表表达达式式的的系系数数通通过过最最小小二二乘乘法法拟拟合合确确定定，，这这样样可可以以使使得得误误差差最最小小即即对对于于n 组组应应力力-应应变变的的试试验验数数据据，，取取相相对对误误差差E 的的最最小小值值，，拟拟合合应应力力表表达达式式中中的的系系数数，，得得到到理论本构模型理论本构模型。

按照本构关系与伸长率对应的应力表达式按照本构关系与伸长率对应的应力表达式 实验数据中的应力值实验数据中的应力值 确定材料常数的经验公式确定材料常数的经验公式 试验拟合本构模型系数试验拟合本构模型系数 对对于于已已经经成成型型的的橡橡胶胶元元件件，，通通常常不不容容易易通通过过上上述述试试验验来来确确定定其其材材料料常常数数经经验验公公式式是是通通过过橡橡胶胶的的IRHD硬硬度度指指标标来来确确定定材材料料的的弹弹性性模模量量和和切切变变模模量量，，再再由由材材料料常常数数和和弹弹性性模模量量的的关关系系来来确确定材料常数基本公式为（小应变条件）定材料常数基本公式为（小应变条件）将得到的材料常数代入将得到的材料常数代入Mooney-Rivlin模型进行计算模型进行计算 例子例子 采用氢化丁腈橡胶采用氢化丁腈橡胶H-NBR75，硬度为，硬度为75MPa，解得，解得  由由于于大大型型有有限限元元软软件件的的迅迅速速发发展展，，使使得得复复杂杂的的超超弹弹性性模模型型计计算算过过程程由由计计算算机机程程序序完完成成，，在在ABAQUS等等商商用用软软件件中中给给出出了了具具体体的的计计算算。

用用户户要要熟熟悉悉如如何何输输入入数数据据文文件件，，根根据据试试验验数数据据拟拟合合和和选选用用合合适适的的本本构构模模型型，，如如何何处处理理输输出出结结果果并并检检验验其其是是否否正正确确对对于于初初学学者者来来说说，，商商用用软软件件是是一一个个“黑黑匣匣子子”，，因因此此，，掌掌握握超超弹弹性性材材料模型理论和计算方法是取得仿真成功的关键料模型理论和计算方法是取得仿真成功的关键结论与讨论结论与讨论 需需要要注注意意的的是是，，对对于于不不可可压压缩缩材材料料的的平平面面问问题题，，无无论论是是解解析析解解还还是是数数值值解解，，均均不不能能采采用用平平面面应应变变解解答答因因为为对对于于不不可可压压缩缩材材料料，，如如果果采采用用平平面面应应变变模模型型，，其其体体积积不不变变，，内内力力为为不不确确定定量量，，在在有有限限元元中中的的节节点点位位移移不不能能反反映映单单元元内内力力的的变变化化对对于于不不可可压压缩缩材材料料或或者者接接近近于于不不可可压压缩缩材材料料的的平平面面问问题题，，务务必必应应用用平平面面应应力力（（或或者广义平面应变）解答者广义平面应变）解答。

Part3钢Part2橡胶 RsPart1钢Rr b过盈面过盈面橡胶减震轴过盈配合的解析解和有限元解橡胶减震轴过盈配合的解析解和有限元解－－平面应变和平面应力模型平面应变和平面应力模型过盈量过盈量1.9mm ，应力非常大，，应力非常大，原因是平面应变模型原因是平面应变模型橡胶和钢环的解析解与橡胶和钢环的解析解与FE解的径向应力比较解的径向应力比较 广义平面应变－平面应力问题广义平面应变－平面应力问题不发生体积自锁不发生体积自锁平面应变模型平面应变模型发生体积自锁发生体积自锁问题：问题：问题：问题： 在在在在有有有有限限限限元元元元力力力力学学学学模模模模型型型型中中中中，，，，加加加加载载载载是是是是任任任任意意意意的的的的（（（（如如如如三三三三维维维维）））），，，，材材材材料料料料实实实实验验验验数数数数据据据据是是是是单单单单轴轴轴轴拉拉拉拉伸伸伸伸（（（（如如如如一一一一维维维维）））），，，，如如如如何何何何在在在在有有有有限限限限元元元元计计计计算算算算中中中中建建建建立立立立联联联联系系系系，，，，实实实实现现现现对对对对应应应应的的的的应应应应力力力力状状状状态态态态，，，，直直直直到到到到发发发发生生生生屈屈屈屈服和破坏？服和破坏？服和破坏？服和破坏？5 5 一维塑性一维塑性 从屈服准则的建立来从屈服准则的建立来从屈服准则的建立来从屈服准则的建立来回答这样的问题。

回答这样的问题回答这样的问题回答这样的问题应力保持40MPa的蠕变试验数据与计算结果对比 最大切应力屈服准则最大切应力屈服准则 ( (Tresca’sTresca’s Criterion) Criterion) 无无无无论论论论材材材材料料料料处处处处于于于于什什什什么么么么应应应应力力力力状状状状态态态态，，，，只只只只要要要要发发发发生生生生屈屈屈屈服服服服，，，，都都都都是是是是由由由由于于于于微微微微元元元元内内内内的的的的最最最最大大大大切切切切应应应应力力力力达达达达到到到到了了了了某某某某一一一一共同的极限值共同的极限值共同的极限值共同的极限值 1 1 2 2 3 3 = =  s s拉伸屈服拉伸屈服拉伸屈服拉伸屈服试验确定试验确定试验确定试验确定任意状任意状任意状任意状态应力态应力态应力态应力5 5 一维塑性一维塑性  1 1 2 2 3 3 = =  s s失效判据失效判据设计准则允许应力允许应力 5 5 一维塑性一维塑性 在在在在有有有有限限限限元元元元计计计计算算算算中中中中，，，，材材材材料料料料的的的的应应应应力力力力和和和和应应应应变变变变状状状状态态态态等等等等价价价价于于于于单单单单轴轴轴轴拉拉拉拉伸伸伸伸实实实实验验验验数数数数据据据据的的的的对对对对应应应应值值值值，，，，与与与与加加加加载载载载历历历历史史史史相相相相关关关关，，，，只只只只要要要要发发发发生生生生屈屈屈屈服服服服，，，，都都都都是是是是由由由由于于于于单单单单元元元元内内内内的的的的最最最最大大大大切切切切应应应应力力力力达达达达到到到到了了了了某某某某一一一一共共共共同同同同的的的的极限值。

极限值形状改变比能准则形状改变比能准则( (Mises’sMises’s Criterion) Criterion) 无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于微元的形状改变比能达到了一个共同的都是由于微元的形状改变比能达到了一个共同的都是由于微元的形状改变比能达到了一个共同的都是由于微元的形状改变比能达到了一个共同的极限值5 5 一维塑性一维塑性 形状形状改变比能与改变比能与体积体积改变比能改变比能体积改变能密度与形状改变能密度体积改变能密度与形状改变能密度+5 5 一维塑性一维塑性 形状改变比能准则形状改变比能准则 1 1 2 2 3 3 = =  s s单向应力单向应力三向应力三向应力5 5 一维塑性一维塑性 形状改变比能准则失效判据失效判据失效判据失效判据设计准则设计准则设计准则设计准则5 5 一维塑性一维塑性 5 一维塑性一维塑性 对于卸载后产生永久应变的材料称为塑性材料对于卸载后产生永久应变的材料称为塑性材料。

应变的每一增量分解成为弹性可逆部分和塑性不可逆部分应变的每一增量分解成为弹性可逆部分和塑性不可逆部分 塑性理论的主要内容有：塑性理论的主要内容有： 屈服函数控制塑性屈服函数控制塑性变形的突形的突变和和连续，是内，是内变量和量和应力的函数力的函数 流动法则控制塑性流动，即确定塑性应变增量流动法则控制塑性流动，即确定塑性应变增量内部变量内部变量的演化方程控制屈服函数的演化，包括应变的演化方程控制屈服函数的演化，包括应变-硬化关系硬化关系 弹弹-塑塑性性定定律律是是路路径径相相关关和和耗耗能能的的，，大大部部分分的的功功消消耗耗在在材材料料塑塑性性变变形形中中，，不不可可逆逆换换成成其其它它形形式式的的能能量量，，特特别别是是热热应应力力取取决决于于整整个个变变形形的的历历史史，，不不能能表表示示成成为为应应变变的的单单值值函函数数；；而而它它仅仅能能指指定定作作为为应应力力和应变的率之间的关系和应变的率之间的关系5 一维塑性一维塑性 一维率无关塑性一维率无关塑性 典型弹典型弹-塑性材料的应力塑性材料的应力-应变曲线应变曲线 应变的增量假设分解成为弹性和塑性部分的和，率形式应变的增量假设分解成为弹性和塑性部分的和，率形式 应力增量应力增量( (率率) )总是与弹性模量和弹性应变的增量总是与弹性模量和弹性应变的增量( (率率) )有关有关 非线性弹非线性弹-塑性区段，应力塑性区段，应力-应变应变切线模量切线模量 应应力力-应应变变关关系系的的是是率率均均匀匀的的。

如如果果被被任任意意的的时时间间因因子子缩缩放放，，本本构构关关系系保保持持不不变变因因此此，，材材料料反反应是应是率无关率无关的 5 一维塑性一维塑性 一维率无关塑性一维率无关塑性 通通过流流动法法则给出了塑性出了塑性应变率，常常表示率，常常表示为塑性流塑性流动势能的形式能的形式塑性率参数塑性率参数 流动势能的一个例子是流动势能的一个例子是 等效应力等效应力 屈服条件为屈服条件为 单轴拉伸的屈服强度单轴拉伸的屈服强度 等效塑性应变等效塑性应变 材料在初始屈服之后屈服强度的增加称为功硬化或者应变硬化材料在初始屈服之后屈服强度的增加称为功硬化或者应变硬化( (对应于应变软化对应于应变软化) )硬化行为一般是塑性变形先期历史的函数硬化行为一般是塑性变形先期历史的函数 屈服行为是各向同性硬化；拉伸和压缩的屈服强度总是相等屈服行为是各向同性硬化；拉伸和压缩的屈服强度总是相等5 一维塑性一维塑性 一维率无关塑性一维率无关塑性 一个特殊的模型，一个特殊的模型， 塑性应变率写成为塑性应变率写成为 塑性模型称为关联的，否则，塑性流动是非关联的塑性模型称为关联的，否则，塑性流动是非关联的对于关联塑性，塑性流动是沿着屈服面的法线方向。

对于关联塑性，塑性流动是沿着屈服面的法线方向 由此看出由此看出仅当当满足屈服条件足屈服条件时发生塑性生塑性变形 当塑性加载时，应力必须保持在屈服面上，当塑性加载时，应力必须保持在屈服面上， 实现了实现了一致性条件一致性条件 这给出出塑性模量塑性模量 5 一维塑性一维塑性 一维率无关塑性一维率无关塑性 典型的硬化曲典型的硬化曲线，，，塑性模量塑性模量对应塑性加载和纯弹性加载或卸载，切线模量为对应塑性加载和纯弹性加载或卸载，切线模量为 塑性转换参数塑性转换参数加载－卸载条件还可以写为加载－卸载条件还可以写为 一致性条件的率形式一致性条件的率形式 应力状态位于塑性表面应力状态位于塑性表面 塑性率参数非负塑性率参数非负 对于塑性加载对于塑性加载 必须保持在屈服面上必须保持在屈服面上 其应力状态其应力状态对于弹性加载或者卸载对于弹性加载或者卸载 没有塑性流动没有塑性流动 因此因此 材料硬化描述材料硬化描述 (a) Bauschinger效果效果 (b) 屈服面的平移和扩展屈服面的平移和扩展 在在循循环环加加载载中中，，各各向向同同性性硬硬化化模模型型提提供供了了金金属属应应力力－－应应变变反反应应的的粗粗糙糙模模型型。

图图a为为Bauschinger效效果果，，在在拉拉伸伸初初始始屈屈服服之之后后的的压压缩缩屈屈服服强强度度降降低低认认识识这这种种行行为为的的方方法法之之一一是是观观察察屈屈服服表表面面的的中中心心沿沿着着塑塑性性流流动动方方向向移移动动图图b为为多多轴轴应应力力状状态态－－圆圆环环屈屈服服表表面面扩扩张张对对应应于于各各向向同性硬化（幂硬化）同性硬化（幂硬化），它的中心平移对应于，它的中心平移对应于运动硬化运动硬化 5 一维塑性一维塑性 混合硬化混合硬化 屈服面积改变，屈服中心不变，各向同性硬化；屈服面积改变，屈服中心不变，各向同性硬化；屈服面积不变，屈服中心平移，运动硬化屈服面积不变，屈服中心平移，运动硬化背应力的内部变量背应力的内部变量 Stress-strain curve under cyclic loadsCombined hardening model 混合硬化混合硬化 5 一维塑性一维塑性 屈服面积改变，屈服中心不变，各向同性硬化；屈服面积改变，屈服中心不变，各向同性硬化；屈服面积不变，屈服中心平移，运动硬化屈服面积不变，屈服中心平移，运动硬化5 一维塑性一维塑性 运动硬化运动硬化 塑性流动关系塑性流动关系 背应力背应力的内部变量的内部变量 屈服条件屈服条件一维率相关塑性一维率相关塑性 在率相关塑性中，材料的塑性反应取决于加载率在率相关塑性中，材料的塑性反应取决于加载率，， 一种方法是过应力模型，等效塑性应变率取决于超过多少屈服应力一种方法是过应力模型，等效塑性应变率取决于超过多少屈服应力 等效塑性应变率的一种交换形式等效塑性应变率的一种交换形式 粘度粘度 过应力过应力5 一维塑性一维塑性 应变软化应变软化 单调凸本构曲线不再成立。

应变软化如何加载？单调凸本构曲线不再成立应变软化如何加载？－－位移加载－－位移加载6 多轴塑性多轴塑性 Tresca屈服准则屈服准则Mises屈服准则屈服准则在有限元程序中一般应用哪种屈服准则？为什么？在有限元程序中一般应用哪种屈服准则？为什么？摩擦滑移屈服表面摩擦滑移屈服表面 6 多轴塑性多轴塑性 Mohr-Coulomb本构模型本构模型 滑移方向（塑性流动）是水平的（沿Q 的方向）而不是垂直屈服面这是非关联塑性流动的例子对于连续体和多轴应力－应变状态的行为，M-C准则具有普适性它应用于模拟土壤和岩石 M-C准则是基于这样的概念，即当任意面上的切应力和平均法准则是基于这样的概念，即当任意面上的切应力和平均法向应力达到临界组合时在材料中发生屈服向应力达到临界组合时在材料中发生屈服 c是内聚力，通过是内聚力，通过 定义内摩擦角定义内摩擦角 6 多轴塑性多轴塑性 Mohr-Coulomb屈服行为屈服行为Mohr-Coulomb屈服表面屈服表面Drucker-Prager屈服表面屈服表面 在在Mohr平面上的两条直线代表了方程式，它们是平面上的两条直线代表了方程式，它们是Mohr圆的包络圆的包络并称为并称为Mohr破坏或者失效包络。

假设主应力破坏或者失效包络假设主应力 应力状态应力状态屈服准则屈服准则6 多轴塑性多轴塑性 考虑考虑 的特殊情况并让的特殊情况并让 ，代表剪切屈服强度，，代表剪切屈服强度， 上式成为上式成为 即为即为Tresca准则 在在Tresca和和M-C屈屈服服表表面面上上的的直直线线线线段段便便于于塑塑性性问问题题的的解解析析处处理理 然然而而，，从从计计算算的的观观点点看看，，夹夹角角使使得得本本构构方方程程难难以以建建立立(例例如如，，计计算算屈屈服服面面的的法法线线)通通过过改改进进von Mises屈屈服服准准则则结结合合压压力力的的影影响，响，Drucker-Prager屈服准则避免了与夹角有关的问题：屈服准则避免了与夹角有关的问题： 这是一个光滑圆锥的方程，这是一个光滑圆锥的方程， 为等效为等效Cauchy应力，选择常数有应力，选择常数有 D-P屈服表面通过了屈服表面通过了M-C屈服表面上的内部或者外部顶点（取加屈服表面上的内部或者外部顶点（取加号对应于内部顶点，而取减号对应于外部顶点）号对应于内部顶点，而取减号对应于外部顶点）9 应力更新算法应力更新算法本本构构方方程程率率形形式式的的积积分分算算法法称称为为应应力力更更新新算算法法（（也也称称为为本本构构更更新新算算法），包括：法），包括：径向返回算法的一类图形返回算法，径向返回算法的一类图形返回算法，算法模量与基本应力更新方案一致的概念，算法模量与基本应力更新方案一致的概念，大变形问题的增量客观应力更新方案，大变形问题的增量客观应力更新方案，基于弹性响应的应力更新方案，即自动满足客观性的超弹性势能。

基于弹性响应的应力更新方案，即自动满足客观性的超弹性势能给出描述本构模型的某些其它连续介质力学观点，给出描述本构模型的某些其它连续介质力学观点，展示展示Eulerian，，Lagrangian和两点拉伸的概念，和两点拉伸的概念，描述后拉、前推和描述后拉、前推和Lie导数的运算，导数的运算，材材料料框框架架客客观观性性，，材材料料的的对对称称性性，，以以本本构构行行为为的的张张量量表表示示讨讨论论了不变性的某些方面，了不变性的某些方面，讨讨论论由由于于热热力力学学第第二二定定律律和和某某些些附附加加的的稳稳定定性性必必要要条条件件对对材材料料行为的约束行为的约束9 应力更新算法应力更新算法 对对于于积积分分率率本本构构方方程程的的数数值值算算法法称称为为本本构构积积分分算算法法或或者者应应力力更更新新算法算法对于率无关和率相关材料提供对于率无关和率相关材料提供了了本构积分算法本构积分算法 讨讨论论简简单单的的小小应应变变塑塑性性，，将将小小应应变变算算法法扩扩展展至至大大变变形形，，将将大大变变形形分析的积分算法保持在基于本构方程客观性的基础上分析的积分算法保持在基于本构方程客观性的基础上。

展示了关于大变形塑性的逐步客观积分算法展示了关于大变形塑性的逐步客观积分算法 讨讨论论关关于于大大变变形形超超弹弹－－塑塑性性材材料料的的应应力力更更新新算算法法，，回回避避对对应应力力率率方程的积分方程的积分 描描述述了了与与本本构构积积分分算算法法相相关关的的计计算算模模量量，，采采用用隐隐式式求求解解算算法法发发展展材料的切线刚度矩阵材料的切线刚度矩阵率无关塑性的图形返回算法率无关塑性的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法小应变、率无关弹－塑性的本构方程小应变、率无关弹－塑性的本构方程 应力－应变反应与变形率无关的一种材料称为率无关；否则为率相关应力－应变反应与变形率无关的一种材料称为率无关；否则为率相关 ， Kuhn-Tucker条件，上面第一个条件表明塑性率参数是非条件，上面第一个条件表明塑性率参数是非负的，的，第二个条件表明第二个条件表明当塑性加载时，当塑性加载时，应力状力状态必必须位于或限制在塑性表面上，位于或限制在塑性表面上，最后条件也可以作最后条件也可以作为由已知一致性条件由已知一致性条件的率形式的率形式塑性流塑性流动方向方向经常特指常特指为，，这里里称称为塑性流塑性流动势 屈服条件屈服条件 是是标量塑性流量塑性流动率，率，是塑性流动方向是塑性流动方向h 塑性模量塑性模量 q 内变量内变量 ））应力状力状态必必须保持在屈服面保持在屈服面因此因此。

对于于弹性加性加载或者卸或者卸载，没有塑性流，没有塑性流动对于塑性加于塑性加载（（率无关塑性的图形返回算法率无关塑性的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法上，上，在时刻在时刻n 给出一组给出一组 和和应变增量增量 本构本构积分算法的目的是分算法的目的是计算算并并满足加－卸足加－卸载条件条件 在在时刻的刻的应力力给出出为 求解的一致性条件给出  设想能够应用这个塑性参数值以提供更新的应力率、塑性应变设想能够应用这个塑性参数值以提供更新的应力率、塑性应变率和内变量率，并且写出简单的率和内变量率，并且写出简单的向前向前Euler积分公式算法积分公式算法率无关塑性的图形返回算法率无关塑性的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法但在下一步，但在下一步，这些些应力和内力和内变量的更新量的更新值并不并不满足屈服条件，所以足屈服条件，所以 由由于于解解答答从从屈屈服服表表面面漂漂移移，，常常常常导导致致不不精精确确的的结结果果，，因因此此不不受受人人青青睐睐公公式式也也称称为切切线模模量量更更新新算算法法，，形形成成了了计算算率率无无关关塑塑性早期工作的基性早期工作的基础。

率无关塑性的图形返回算法率无关塑性的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法 这导致考致考虑另外一些方法另外一些方法进行率本构方程的行率本构方程的积分，目的之一是分，目的之一是强强化在化在时间步步结束束时的的一致性一致性，例如，，例如， 为避避免免离离开开屈屈服服面面的的漂漂移移有有许多多不不同同的的积分分本本构构算算法法，，这里里主主要要关关注注一一类方方法法－－－－返返回回图形形算算法法，，它它是是强强健健和和精精确确的的，，被被广广泛泛应用著名的用著名的von Mises塑性塑性径向返回方法径向返回方法是返回是返回图形算法的特例形算法的特例返回图形算法包括：返回图形算法包括： 一个初始的弹性预测步，包含（在应力空间）对屈服表面的偏离，一个初始的弹性预测步，包含（在应力空间）对屈服表面的偏离， 以及塑性调整步使应力返回到更新后的屈服表面以及塑性调整步使应力返回到更新后的屈服表面方法的两个组成部分是：方法的两个组成部分是： 一个积分算法，它将一组本构方程转换为一组非线性代数方程，一个积分算法，它将一组本构方程转换为一组非线性代数方程， 一个对非线性代数方程的求解算法，该方法可基于不同的积分算法，一个对非线性代数方程的求解算法，该方法可基于不同的积分算法， 例如生成梯形法则，生成中点法则或者例如生成梯形法则，生成中点法则或者Runge-Kutta方法。

方法基于向后基于向后Euler算法，考虑一个完全隐式方法和一个半隐式方法算法，考虑一个完全隐式方法和一个半隐式方法完全隐式的图形返回算法完全隐式的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法 在完全隐式的在完全隐式的向后向后Euler方法方法中，在步骤结束时计算塑性应变中，在步骤结束时计算塑性应变和内变量的增量，同时强化屈服条件，这样，积分算法写成为和内变量的增量，同时强化屈服条件，这样，积分算法写成为公式是一公式是一组关于求解关于求解的非的非线性代数方程注意到性代数方程注意到更新更新变量来自前一个量来自前一个时间步步骤结束束时的的收收敛值，，这就避免了非物理意就避免了非物理意义的效果，例如当用不收的效果，例如当用不收敛的塑性的塑性应变和内和内变量量值求解路径相关塑性方程求解路径相关塑性方程时可能可能发生的生的伪卸卸载 在时刻在时刻n 给出一组给出一组 和和应变增量增量通通过方程系方程系统的解答的解答获得了得了应变 在时刻在时刻n ＋＋1，， 完全隐式的图形返回算法完全隐式的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法如果解答如果解答过程是程是隐式的，可以理解式的，可以理解应变是在是在隐式解答算法的最后迭代后的式解答算法的最后迭代后的总体体应变。

塑性应变增量给出为塑性应变增量给出为 代入表达式代入表达式 关联塑性的最近点投射方法关联塑性的最近点投射方法 是是弹性性预测的的试应力力是是塑性修正塑性修正量，它沿着一个方向，即量，它沿着一个方向，即规定定为在在结束点束点处塑性流塑性流动的方向，的方向，返回或者投射返回或者投射试应力到适当更新的屈服表面（考力到适当更新的屈服表面（考虑硬化） 而数而数值完全隐式的图形返回算法完全隐式的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法由由总体体应变的增量的增量驱动弹性性预测状状态，而由塑性参数的增量，而由塑性参数的增量驱动塑性修正状塑性修正状态因此，在因此，在弹性性预测阶段，塑性段，塑性应变和内和内变量保持固定，而量保持固定，而当塑性修正当塑性修正阶段，段，总体体应变是不是不变的在弹性性预测阶段，由公式得到的段，由公式得到的结果果为关联塑性的最近点投射方法关联塑性的最近点投射方法 其中其中完全隐式的图形返回算法完全隐式的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法 非非线性代数方程性代数方程组解答一般由解答一般由Newton过程求解基于分程求解基于分类线性化方程性化方程组的的Newton过程，和根据最近投射点的概念引程，和根据最近投射点的概念引导塑性修正返回到屈服表面。

在算塑性修正返回到屈服表面在算法的塑性修正法的塑性修正阶段中，段中，总体体应变是常数，是常数，线性化是相性化是相对于塑性参数增量于塑性参数增量在在Newton过程中程中应用下面的用下面的标记：关于一个方程：关于一个方程的的线性化，性化， 并有并有 在第在第k次迭代时记为次迭代时记为 为适合为适合Newton迭代，以上面形式写出塑性更新和屈服条件，省略迭代，以上面形式写出塑性更新和屈服条件，省略n+1脚标脚标 完全隐式的图形返回算法完全隐式的图形返回算法 9 应力更新算法应力更新算法这组方程的线性化给出这组方程的线性化给出 3个方程可以联立求解个方程可以联立求解 这样，塑性应变、内变量和塑性参数更新是这样，塑性应变、内变量和塑性参数更新是 Newton过过程程是是连连续续计计算算直直到到收收敛敛到到足足以以满满足足准准则则的的更更新新屈屈服服表表面面这这个个过过程程是是隐隐式式的的并并包包括括了了方方程程在在单单元元积积分分点点水水平平的的结结果果该该方方法法的的复杂性在于需要塑性流动方向的梯度，不适合复杂本构复杂性在于需要塑性流动方向的梯度，不适合复杂本构脚标为偏导数脚标为偏导数 一致性条件：在加卸一致性条件：在加卸载过程中，材料的程中，材料的应力点始力点始终处于屈服面上于屈服面上应用于应用于J2流动理论流动理论—径向返回算法径向返回算法 9 应力更新算法应力更新算法 小小应变时的的弹—塑性本构关系和框塑性本构关系和框5.6的的J2 流流动理理论，，注意到塑性流注意到塑性流动方向是在偏方向是在偏应力的方向，力的方向，给出出为J2塑性流动理论塑性流动理论基于基于von Mises屈服面，屈服面，它特别适用于金属塑性，它特别适用于金属塑性，该模型的模型的关关键假假设是是压力力对在金属中的塑性流在金属中的塑性流动没有影响没有影响；屈服条件；屈服条件和塑性流和塑性流动方向是基于方向是基于应力力张量的偏量部分。

量的偏量部分 它也是屈服表面的法向，即它也是屈服表面的法向，即 在偏应力空间，在偏应力空间，Mises屈服屈服表面是环状，法向是径向在表面是环状，法向是径向在塑性流动的方向（径向），定塑性流动的方向（径向），定义一个单位法向矢量为义一个单位法向矢量为应用于应用于J2流动理论流动理论—径向返回算法径向返回算法 9 应力更新算法应力更新算法算法的重要特性是算法的重要特性是在整个塑性修正状在整个塑性修正状态过程中不程中不变化化保持在径向，保持在径向， 因此塑性因此塑性应变的更新是的更新是 的的线性函数，而塑性流性函数，而塑性流动残量恒残量恒为零：零： 唯一的内唯一的内变量（量（各向同性硬化各向同性硬化）是累）是累积塑性塑性应变，，给出出为 因此，内因此，内变量的更新也是量的更新也是的的线性函数，相性函数，相应的残量的残量为零，例如，零，例如， 适合适合Newton迭代的塑性更新和屈服条件，省略迭代的塑性更新和屈服条件，省略n+1脚标脚标 屈服条件屈服条件给出出为而而f 的的导数是数是和和 应用于应用于J2流动理论流动理论—径向返回算法径向返回算法 9 应力更新算法应力更新算法各向同性硬化：只有一个硬化参数各向同性硬化：只有一个硬化参数q，屈服面表面扩张，屈服面表面扩张幂硬化：屈服面中心不变，屈服面尺寸改变幂硬化：屈服面中心不变，屈服面尺寸改变运动硬化：屈服面中心平移，尺寸不变，中心位置为背应力的内变量运动硬化：屈服面中心平移，尺寸不变，中心位置为背应力的内变量关联塑性：塑性流动沿着屈服面的法线方向；否则，为非关联塑性关联塑性：塑性流动沿着屈服面的法线方向；否则，为非关联塑性径向返回算法－编程径向返回算法－编程 9 应力更新算法应力更新算法1 设初始值设初始值 2 在第在第k次迭代时检查屈服条件次迭代时检查屈服条件 如果如果 则收敛，否则则收敛，否则 go to 3 3 计算塑性参数的增量计算塑性参数的增量 4 更新塑性应变和内变量更新塑性应变和内变量 9 应力更新算法应力更新算法算法模量算法模量 在在隐隐式式方方法法中中，，需需要要合合适适的的切切线线模模量量。

由由于于在在屈屈服服时时突突然然转转化化为为塑塑性性行行为为，，连连续续弹弹—塑塑性性切切线线模模量量可可能能引引起起伪伪加加载载和和卸卸载载为为了了避避免免这这点点，，采采用用了了一一个个基基于于本本构构积积分分算算法法的的系系统统线线性性化化的的算算法法模模量量（也称为（也称为一致切线模量一致切线模量），代替了连续弹），代替了连续弹—塑性切线模量塑性切线模量下面给出下面给出完全隐式向后完全隐式向后Euler方法的算法模量方法的算法模量的推导向后向后Euler更新算法切线模量定义为更新算法切线模量定义为 对于对于J2流动理论的情况，算法模量是与径向返回应力更新一致的流动理论的情况，算法模量是与径向返回应力更新一致的 9 应力更新算法应力更新算法半隐式向后半隐式向后Euler方法方法 半半隐隐式式向向后后Euler方方法法（（Moran, 1990））是是对对于于塑塑性性参参数数采采用用隐隐式式，，而而对对于于塑塑性性流流动动方方向向和和塑塑性性模模量量采采用用显显式式的的算算法法，，即即在在步步骤骤结结束束时时计计算算塑塑性性参参数数的的增增量量，，而而在在步步骤骤开开始始时时计计算算塑塑性性流流动动的的方方向向和和塑塑性性模模量量。

为为了避免从屈服面漂移，在步骤结束时强化屈服条件积分方法为了避免从屈服面漂移，在步骤结束时强化屈服条件积分方法为 对比完全隐式向后对比完全隐式向后Euler方法方法 9 应力更新算法应力更新算法率相关塑性的图形返回算法率相关塑性的图形返回算法 对于对于J2 塑性流动，过应力函数公式的典型例子为塑性流动，过应力函数公式的典型例子为 (n为率敏感指数为率敏感指数) 对于对于J2 流动理论，一个替代的粘塑性模型为流动理论，一个替代的粘塑性模型为 (m为率敏感指数为率敏感指数) 参考应变率参考应变率 在在过应力模型过应力模型中，等效塑性应变率取决于超过了多少屈服应力中，等效塑性应变率取决于超过了多少屈服应力 在率相关塑性中，材料的塑性反应取决于加载率，与不能超越过屈服条在率相关塑性中，材料的塑性反应取决于加载率，与不能超越过屈服条件的率无关塑性相比，为了发生塑性变形，率相关塑性必须满足或者超过件的率无关塑性相比，为了发生塑性变形，率相关塑性必须满足或者超过屈服条件，塑性应变率（结合屈服条件，塑性应变率（结合各向同性和运动硬化）各向同性和运动硬化）给出给出为为( α背应力背应力））9 应力更新算法应力更新算法率相关塑性的图形返回算法率相关塑性的图形返回算法 框框5.11 大应变率相关塑性大应变率相关塑性 1 分解变形率张量为弹性和塑性部分的和分解变形率张量为弹性和塑性部分的和2 应力率关系应力率关系 3 塑性流动法则和演化方程塑性流动法则和演化方程 4 应力率－总体变形率关系应力率－总体变形率关系 过应力函数，是塑过应力函数，是塑性应变的驱动力性应变的驱动力 粘性（力粘性（力×时间）时间） 9 应力更新算法应力更新算法率相关塑性的图形返回算法率相关塑性的图形返回算法 率无关塑性的图形返回本构积分算法和算法切线模量可以修改为率无关塑性的图形返回本构积分算法和算法切线模量可以修改为率相关的方法，对于一个完全隐式算法，更新可以写成增量的形式率相关的方法，对于一个完全隐式算法，更新可以写成增量的形式过应力函数和粘性过应力函数和粘性 算法切线模量表达式算法切线模量表达式 大变形的逐步客观积分方法大变形的逐步客观积分方法 9 应力更新算法应力更新算法 大变形本构算法的一个重要问题是观察的材料框架相同，准确地保持本构大变形本构算法的一个重要问题是观察的材料框架相同，准确地保持本构关系的客观性；在刚体转动中，该算法必须准确地计算应力的恰当转动。

关系的客观性；在刚体转动中，该算法必须准确地计算应力的恰当转动 基于基于Kirchhoff应力的应力的Jaumann率，考虑一个简单的更新算法，率，考虑一个简单的更新算法，变形率是对于时间增量的等效率并且定义如下，应力更新给出为变形率是对于时间增量的等效率并且定义如下，应力更新给出为Q是与等效旋转是与等效旋转W关联的增量转动张量以关联的增量转动张量以Jaumann率的形式替换本构反应率的形式替换本构反应应用不同算法计算等效变形率，基于增量变形梯度，采用直接向前方法应用不同算法计算等效变形率，基于增量变形梯度，采用直接向前方法 大变形的逐步地客观积分方法大变形的逐步地客观积分方法 9 应力更新算法应力更新算法 第第二二个个关关系系来来自自框框3.2Kirchhoff应应力力几几乎乎是是与与Cauchy应应力力等等同同的的，，但但是是它它被被Jacobian行行列列式式放放大大因因此此，，也也称称它它为为权权重重Cauchy应应力力对对于于等等体体积积运运动动，，它它等等同同于于Cauchy应应力力在在超超弹弹性性本本构构关关系系中中，，它它会会自自然然提提高高，，并并且且在在次次弹弹－－塑塑性性模模型型中中是是有有用用的的，，因为它导致了对称的切线模量。

因为它导致了对称的切线模量Kirchhoff应力定义为应力定义为 大变形的逐步地客观积分方法大变形的逐步地客观积分方法 9 应力更新算法应力更新算法式中式中v是关于增量的等效速度通是关于增量的等效速度通过Green应变增量的前推定增量的前推定义等效等效变形率形率是位移增量是位移增量在刚体转动中等效变形率在刚体转动中等效变形率D消失，从而取得了增量客观性等效旋转定义为消失，从而取得了增量客观性等效旋转定义为对于次弹对于次弹—塑性材料公式，采取的形式为塑性材料公式，采取的形式为 (Q为指数形式，见第为指数形式，见第9章章)速度梯度速度梯度速度梯度张量可以分解为对称部分和偏对称部分为速度梯度张量可以分解为对称部分和偏对称部分为 令令变形率变形率转动转动任何一个二阶张量都可以表示为它的对称部分和偏对称部分的和任何一个二阶张量都可以表示为它的对称部分和偏对称部分的和 所以所以回顾第回顾第3章章 9 应力更新算法应力更新算法10 连续介质力学和本构模型连续介质力学和本构模型 后拉、前推和后拉、前推和Lie导数导数 Euler张量张量 Lagrangian张量张量 两点张量两点张量 Green应变张量应变张量E PK2应力应力 线单元线单元dX 线单元线单元dxCauchy应力应力 速度梯度速度梯度 L＝＝D＋＋W Lagrangian矢量矢量dX和和Eulerian矢量矢量dx定义的二阶张量定义的二阶张量 可以由后拉和前推运算给出可以由后拉和前推运算给出E-L张量之间映射的统一描述。

张量之间映射的统一描述例如，例如，Lagrangian矢量矢量dX由由F前推到当前构形给出前推到当前构形给出Eulerian矢量矢量dxEulerian矢量矢量dx由由后拉到参考构形后拉到参考构形给出出dX Lagrangian–Eulerian Eulerian-Lagrangian 前推运算前推运算 后拉运算后拉运算 通过在拓扑空间的分析，获得大变形弹－塑性各种张量之间的关系和映射通过在拓扑空间的分析，获得大变形弹－塑性各种张量之间的关系和映射 10 连续介质力学和本构模型连续介质力学和本构模型 后拉、前推和后拉、前推和Lie导数导数 二二阶阶张张量量的的后后拉拉和和前前推推运运算算给给出出了了在在变变形形和和未未变变形形构构形形情情况况下下张张量量之之间间的的关关系系一一些些重重要要的的二二阶阶张张量量的的后后拉拉和和前前推推在在框框5.16给给出出这这些些定定义义取取决决于于是是否否一一个个张量是动力学还是运动学的，区别在于由这些张量所观察到的势的共轭性：张量是动力学还是运动学的，区别在于由这些张量所观察到的势的共轭性： 如如功功共共轭轭的的运运动动学学和和动动力力学学张张量量被被后后拉拉或或前前推推，，则则势势必必须须保保持持不不变变。

许许多多关关系来自于框系来自于框3.2，这些概念能使我们发展那些不容易显示的关系这些概念能使我们发展那些不容易显示的关系 后拉和前推的概念为定义张量的时间导数提供了数学上的一致性－后拉和前推的概念为定义张量的时间导数提供了数学上的一致性－Lie导数导数如框如框5.17，，Kirchhoff应力的应力的Lie导数是其应力的后拉的时间导数的前推导数是其应力的后拉的时间导数的前推 不严格地说，在不严格地说，在Lie导数中，在固定的参考构形中对时间求导，前推到当前导数中，在固定的参考构形中对时间求导，前推到当前构形在框构形在框5.17中给出了用势共轭方式定义的运动学张量的中给出了用势共轭方式定义的运动学张量的Lie导数 以上计算是将应力后拉到参考构型上，对时间求常导数，再前推回到当前构型以上计算是将应力后拉到参考构型上，对时间求常导数，再前推回到当前构型否则是偏导数否则是偏导数.10 连续介质力学和本构模型连续介质力学和本构模型 后拉、前推和后拉、前推和Lie导数导数 证明证明Kirchhoff应力的对流率对应于它的应力的对流率对应于它的Lie导数导数(框框3.2) 材料时间导数的计算材料时间导数的计算 应用应用 得到得到 Lie导数等价于在公式导数等价于在公式(5.4.22)中定义的中定义的Truesdell应力的对流率应力的对流率 10 连续介质力学和本构模型连续介质力学和本构模型 本构关系的实质本构关系的实质 材料客观性或者材料框架相同的原理表明材料响应是与观察者无材料客观性或者材料框架相同的原理表明材料响应是与观察者无关的。

原理的数学表述写成为关的原理的数学表述写成为 即即G*和和G为为相相同同函函数数此此外外，，材材料料客客观观性性的的含含义义是是，，为为了了确确定定Cauchy应应力力，，观观察察者者O*对对待待F*采采用用观观察察者者O对对待待F的的相相同同方方式式Cauchy应应力力是是客客观观（（Eulerian））张张量量，，因因此此Cauchy应应力力的的分分量量在在转转动动坐坐标标系系中中由由观观察察者者O*所所见见的的与与观观察察者者O在在不不转转动动坐坐标标系系中中所所见见到的是相同的到的是相同的 。