九年级数学下册 专题十三 反比例系数k的几何意义同步测试 (新版)新人教版 试题.doc

反比例系数k的几何意义 (教材P8练习第1题)已知一个反比例函数的图象经过点A(3，－4)，(1)这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？(2)点B(－3，4)，C(－2，6)，D(3，4)是否在这个函数图象上？为什么？解：(1)第二、四象限，y随x的增大而增大．(2)B、C在这个函数图象上，D不在这个函数图象上．【思想方法】 k的几何意义： 反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数即S＝|k|图1理由：如图1，过双曲线上任一点作x轴，y轴的垂线PM、PN所得的矩形PMON的面积S＝PMPN＝|y||x|＝|xy|；∵y＝，∴xy＝k，∴S＝|k|.推论：即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|.一　反比例函数与矩形面积图2　如图2，P(x，y)是反比例函数y＝的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积(　A　)A．不变 B．增大C．减小 D．无法确定【解析】 因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．图3　如图3，点A是双曲线y＝在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为(　D　)A．－1 B．1C．2 D．－2【解析】 先判定出四边形ABCD是矩形，再根据反比例函数的系数的几何意义，用k表示出四边形ABCD的面积，∵四边形ABCD的面积是8，∴4|k|＝8，解得|k|＝2，又∵双曲线位于第二、四象限，∴k＜0，∴k＝－2.　如图4，点A是反比例函数y＝－(x<0)的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B、C在y轴上，点D在y轴上，则▱ABCD 的面积为(　C　)A．1　　　B．3　　　C．6　　　D．12图4【解析】 过点A作AE⊥OB于点E，因为矩形ADOE的面积等于ADAE，平行四边形ABCD的面积等于ADAE，所以▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积，根据反比例函数的k的几何意义可得：矩形ADOE的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6.故选C.图5　如图5，A、B是双曲线y＝上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段．S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3＝1，且S1＋S2＝4，则k的值为(　C　)A．1 　　B．2C．3 　　D．4【解析】 ∵S1＋S2＝4，∴S1＝S2＝2，∵S3＝1，∴S1＋S3＝1＋2＝3，∴k＝3图6　如图6，反比例函数y＝(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为(　C　)A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE＝，S△OAD＝，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S▭ONMG＝|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，∴S矩形ABCO＝4S▭ONMG＝4|k|，由于函数图象在第一象限，k>0，则＋＋9＝4k，解得k＝3.故选C.图7　如图7，点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，…，点Pn(xn，yn)在函数y＝(x>0)的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn－1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，An－1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数)，则点P3的坐标是(＋，－)；点Pn的坐标是__(＋，－)__(用含n的式子表示)．图8　如图8，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1 ＝ A1A2＝ A2A3＝ …＝ An－1An＝ …＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交反比例函数y＝(x＞0)的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S3…，△BnPnBn＋1的面积为Sn，则S1＋S2＋S3＋…＋ Sn＝__．【解析】 可求B1(1，1)，B2(2，)，B3(3，)，…，∴S1＝(1－)＝，S2＝(－)＝，Sn＝(－)＝，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝(＋＋…＋)＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝二　反比例函数与三角形的面积图9　如图9，双曲线y＝(k≠0)上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为__y＝－__．　反比例函数y＝(k＞0)的部分图象如图10所示，A，B图10是图象上两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，若△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1和S2的大小关系为(　B　)A．S1＞S2　　　B．S1＝S2C．S1＜S2　　 　D．无法确定【解析】 依据比例系数k的几何意义可得两个三角形的面积都等于|k|，故S1＝S2.图11　如图11，A，B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则(　B　)A．S＝2 　　B．S＝4C．2＜S＜4 　　D．S＞4【解析】 设点A的坐标为(x，y)，则B(－x，－y)，xy＝2.∴AC＝2y，BC＝2x.∴△ABC的面积S＝2x2y2＝2xy＝22＝4.图12　如图12，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO.下列说法正确的是(　C　)A．点A和点B关于原点对称B．当x<1时，y1>y2C. S△AOC＝ S△BODD. 当x>0时，y1、y2都随x的增大而增大图13　正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点．AB⊥x轴于点B，CD⊥y轴于点D(如图13)，则四边形ABCD的面积为(　C　)A．1　　　　　　B.C．2 D.【解析】 首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|，得出S△AOB＝S△ODC＝，再根据反比例函数的对称性可知：OB＝OD，得出S△AOB＝S△ODA，S△ODC＝S△OBC，最后得出四边形ABCD的面积＝S△AOB＋S△ODA＋S△ODC＋S△OBC＝2.三　反比例函数与其他几何图形图14　如图14，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)，若反比例函数y＝(x>0)的图象经过点A，则k的值为(　D　)A．－6 　　B．－3C．3 　　D．6【解析】 ∵点A与点C关于y轴对称，∴点A的坐标是(3，2)．把(3，2)代入y＝得：2＝，解得：k＝6.图15　如图15为反比例函数y＝在第一象限的图象，点A为此图像上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则四边形OBAC周长的最小值为(　D　)A．4 B．3C．2 D．1【解析】∵反比例函数y＝在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C.∴四边形OBAC为矩形，设宽BO＝x，则AB＝，则s＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，取等号．故函数s＝x＋(x>0)的最小值为2.故2(x＋)＝22＝4，则四边形OBAC周长的最小值为4.故选A.　如图16，点A是反比例函数y＝(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝－的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S▱ABCD为(　D　)图16A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5【解析】 设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b.把y＝b代入y＝得，b＝，则x＝，即A的横坐标是，同理可得：B的横坐标是－.则AB＝－(－)＝.则S▱ABCD＝b＝5.如图17，已知函数y＝2x和函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是__P1(0，－4)，P2(－4，－4)，P3(4，4)__．图17【解析】 如图，∵△AOE的面积为4，函数y＝的图象过一、三象限，∴k＝8，∵函数y＝2x和函数y＝的图象交于A、B两点，∴A、B两点的坐标是(2，4)，(－2，－4)，∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，∴满足条件的P点有3个，分别为P1(0，－4)，P2(－4，－4)，P3(4，4)．故答案为P1(0，－4)，P2(－4，－4)，P3(4，4)．　如图18，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝(k>0)经过边OB的中点C和AE的中点D，已知等边△OAB的边长为4。

图18(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△AEF的边长．解： (1)过点C作CG⊥OA于点G∵点C是等边△OAB的边OB的中点∴OC＝2，∠AOB＝60∴OG＝1，CG＝∴点C的坐标是(1，)，由＝，得k＝∴该双曲线所表示的函数解析式为y＝.(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，则DH＝a∴点D的坐标为(4＋a，a)∵点D是双曲线y＝上的点，由xy＝得a(4＋a)＝，即a2＋4a－1＝0解得：a1＝－2，a2＝－－2(舍去)∴AD＝2AH＝2－4∵D为AE中点∴AE＝4－8，∴等边△AEF的边长是(4－8)．。