08_第八节__傅里叶级数.doc

第八节 傅里叶级数分布图示★ 引 言 ★ 引 例★ 三角函数系的正交性★ 傅里叶级数的概念 ★ 狄利克雷收敛定理★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 非周期函数的周期延拓 ★ 例4★ 利用傅氏展开式求数项级数的和★ 正弦级数与余弦级数 ★ 例5 ★ 例6★ 函数的奇延拓与偶延拓 ★ 例7 ★ 例8★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题12-8 ★ 返回内容要点 一、三角级数 三角函数系的正交性早在18世纪中叶，丹尼尔. 伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和. 这一事实用数学语言来描述即为：在一定的条件下，任何周期为的函数，都可用一系列以为周期的正弦函数所组成的级数来表示，即 (8.1)其中都是常数.十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：“任意”函数都可以展成三角级数. 虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念. 傅里叶的工作被认为是十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步，它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代的其他人都难以预料的. 而且，这种影响至今还在发展之中. 这里所介绍的知识主要是由傅里叶以及与他同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究结果.二、函数展开成傅里叶级数傅里叶系数 (8.5)将这些系数代入(8.4)式的右端，所得的三角级数 (8.6)称为函数的傅里叶级数.定理1（收敛定理，狄利克雷充分条件） 设是周期为的周期函数. 如果满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点. 则的傅里叶级数收敛，并且(1) 当x是的连续点时, 级数收敛于；(2) 当x是的间断点时, 收敛于.狄利克雷收敛定理告诉我们：只要函数在区间上至多只有有限个的第一类间断点，并且不作无限次振动，则函数的傅里叶级数在函数的连续点处收敛于到该点的函数值，在函数的间断点处收敛于该点处的函数的左极限与右极限的算术平均值. 由此可见，函数展开成傅里叶级数的条件要比函数展开成幂级数的条件低得多. 三、周期延拓：在区间或外补充的定义，使它拓广成一个周期为的周期函数，这种拓广函数定义域的方法称为周期延拓.四、正弦级数与余弦级数：一般地, 一个函数的傅里叶级数既含有正弦项, 又含有余弦项（例2），但是, 也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项（例1）或者只含有常数项和余弦项（例4），导致这种现象的原因与所给函数的奇偶性有关。

即： 奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数. 偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数. 五、奇延拓与偶延拓奇延拓 令则是定义在上的奇函数，将在上展开成傅里叶级数，所得级数必是正弦级数. 再限制在上，就得到的正弦级数展开式.偶延拓 令则是定义在上的偶函数，将在上展开成傅里叶级数，所得级数必是余弦级数. 再限制在上，就得到的余弦级数展开式.例题选讲函数展开成傅里叶级数例1（E01）将以为周期的函数 展开成傅里叶级数.解 所以函数的傅里叶级数展开式为注意到函数满足狄利克雷收敛定理的条件.它在点处有第一类间断，在其它点处连续.因此, 的傅里叶级数收敛，并且当时收敛于或当时收敛于即的傅里叶级数的和函数为和函数的图形如图所示.故的傅里叶级数展开式为注：如果将本例中的函数理解为矩形波的波形函数，则的展开式表明：矩形波是由一系列不同频率的正弦波的叠加而成的. 例2 设是周期为的周期函数，它在上的表达式为试将函数展开成傅立叶级数.解 先求的傅里叶级数.所以函数的傅里叶级数为 并且在上述间断点处级数收敛于 在其它点收敛于本身.即的傅里叶级数的和函数和函数的图形如图.故的傅里叶展开式为例4（E03）将函数 展开成傅里叶级数.解 所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于所给函数的傅氏展开式正弦级数与余弦级数例5（E04）试将函数展开成傅里叶级数.解 题设函数满足狄利克雷收敛定理的条件，但作周期延拓后的函数在区间的端点和处不连续.故的傅里叶级数在区间内收敛于和在端点收敛于和函数的图形如图(见系统演示). 因是奇函数,故其傅里叶系数 于是 例6 将函数展开成傅里叶级数.解 题设函数满足狄利克雷收敛定理的条件，且作周期延拓后的函数在区间上处处连续.故的傅里叶级数在区间上收敛于和和函数的图形如图所示.注意到是偶函数，故其傅里叶系数于是得到所求函数的傅里叶级数奇延拓与偶延拓例7（E05）将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.解 先求正弦级数.为此对进行奇延拓，则 于是再求余弦级数. 为此对进行偶延拓，则 故 例8（E06）应当如何把给定在区间内满足狄利克雷收敛定理且连续的函数延拓到区间内, 而使它的傅里叶级数展开式为 ，解 由于展开式中无正弦项,故延拓到内应满足设函数延拓到的部分记为则按题意,有由 于是 为要上式成立，只要对每一个使即故首先要在内定义一个函数，使它等于然后，再按偶延拓把延拓到不妨将延拓到上的函数仍记为则由上面讨论知课堂练习1.若函数问: 与的傅里叶系数、与之间有何关系？2. 设函数 而傅里叶级数为 其中为此傅里叶级数的和，求狄利克雷（Dirichlet, Peter Gustav Lejeune，1805~1859）狄利克雷(德国数学家，1805年2月13日生于德国迪伦；1859年5月5日卒于格丁根。

狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以C.F.高斯（Gauss）为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，成为高斯之后与C.G.J.雅强比(Jacobi)齐名的德国数学界的一位核心人物狄利克雷出身于行政官员家庭，他父亲是一名邮政局长狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣，据说他在12岁前就自攒零钱购买数学图书1817年入波恩的一所中学，除数学外，他对近代史有特殊爱好；人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生两年后，他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校，在那里曾从师物理学家G.欧姆(Ohm)，学到了必要的物理学基础知识16岁通过中学毕业考试后，父母希望他攻读法律，但狄利克雷已选定数学为其终身职业当时的德国数学界，除高斯一人名噪欧洲外，普遍水平较低；又因高斯不喜好教学，于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学，那里有一批灿如时星的数学家，诸如P.S.拉普拉斯、A.勒让德等1822年5月，狄利克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读1825年，狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文，题为“某些五次不定方程的不可解”。

他利用代数数论方法讨论形如的方程几周后，勒让德利用该文中的方法证明了当时无整数解；狄利克雷本人不久也独立证明了同一结论1825年11月，法伊将军去1826年，狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A.洪堡的影响下，返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格，后升任编外教授（介于正式教授和讲师之间的职称）1828年，狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术空气较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院同年，他又被聘为柏林大学编外教授（后升为正式教授），开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，谆谆善诱，培养了一批优秀数学家，对德国在19世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响1831年，狄利克雷成为柏林科学院院士1855年高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继续任到格丁根大学任教与在柏林繁重的教学任务相比，他很欣赏在格丁根有更多自由支配的时间从事研究可惜美景不长，1858年夏他去世瑞士蒙特勒开会，作纪念高斯的演讲，在那里突发心脏病狄利克雷虽平安返回了格丁根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于1859年春与世长辞傅里叶（Fourier,Jean Baptiste Joseph，1768~1830）傅里叶，法国数学家，1768的3月21日生于法国奥塞尔；1830年5月16日卒于巴黎。

傅里叶出身平民，父亲是位裁缝9岁时双亲亡故，以后由教会送入镇上的军校就读，表现出对数学的特殊爱好他还有志于参加炮兵或工程兵，但因家庭地位低贫而遭拒绝后来希望到巴黎在更优越的环境下追求他有兴趣的研究可是法国大革命中断了他的计划，于1789年回到家乡奥塞尔的母校执教在大革命时期，傅里叶以热心地方事务而知名，并因替当时恐怖行为的受害者申辩而被捕入狱出狱后，他曾就读于巴黎师范学校，虽为期甚短，其数学才华却给人以深刻印象1795年，当巴黎综合工科学校成立时，即被任命为助教这一年他还讽刺地被当作罗伯斯庇尔的支持者而被捕，经同事营救获释1989年，蒙日选派他跟随破仑远征埃及在开罗，他担任埃及研究院的秘书，并从事许多外交活动但同时他仍不断地进行个人的业余研究，即数学物理方面的研究1801年回到法国后，傅里叶希望继续执教于巴黎综合工科学术，但因拿仑常识他的行政才能，任命他为伊泽尔地区首府格勒诺布尔的高级官员由于正声卓著，1808年拿仑又授予他男爵称号此后几经宦海浮沉，1815年，付里叶终于在拿破仑百日王朝的尾期辞去爵位和官职，毅然返回巴黎以图全力投入学术研究但是，失业、贫困以及政法名声的落潮，这时的付里叶处于一生中最艰难的时期。

由于得到昔日现事和学生的关怀，为他谋得统计局主管之职，工作不繁重，所入足以为生，使他得以继续从事研究1816年，傅里叶被提名为法国科学院的成员初时因怒其与拿破仑的关系而为路易十八所拒后来，事情澄清，于1817年就职科学院，其声誉又随之迅速上升他的任职得到了当时年事已高的拉普拉斯的支持，却不断受到泊松的反对1827年，他又被选为科学院的终身秘书，这是极有权力的职们1827年，他又被选为法兰西学院院士，还被英国皇家学会选为外国会员傅里叶一生为人正直，他曾对许多年轻的数学家和科学家给予无私的支持和真挚的鼓励，从而得到他的忠诚爱戴，并成为他拉的至交好友有一件令人遗憾的事，就是付里叶收到伽罗瓦的关于群论的论文时，他因病情严重而未阅，以至论文手稿失去下落傅里叶去世后，在他的家乡为他树立了一座青铜像20世纪以后，还以他的名字命名了一所学校，以示人们对他的尊敬和纪念纵观傅里叶一生的学术成就，他的最突出的贡献就是他对热传问题的研究和新的普遍性数学方法的创造，这就是为数学物理的前进开辟了康庄大道，极大地推动了应用数学的发展，从而也有力在推动了物理学的发展傅里叶大胆地断言：“任意”函数都可以展成三角级数，并且列举大量函数和动用图形来说明函数的三角级数的普遍性。

虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创出“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念傅里叶的工作对数学的发展产生的影响是他本人及其同时代人都难以预料的而且，这种影响至今还在发展之中。