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第第 1 讲讲（3 课时）第 一 章 基 本 概 念§1—6 集合、映射及代数运算 ,结合律、交换律及分配律一、集合一、集合定义 1：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集） 集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元） 例 1：师院 99 级数学与应用数学专业的全体学生组成一个集而每个学生就称为这个集中的元素定义 2：没有元素的集合叫做空集，记为，且是任一集合的子集例 2：一切满足方程的实数组成的集合是空集0122x（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性例 3：“由我院胖子组成的集合”这不能组成一个集合 （违反了确定性）例 4：集合中的元素要求两两互异即：｛1，2，2，3｝=｛1，2，3｝ 2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母 A，B，C…表示集合，习惯上用小写拉丁字母 a，b，c…表示集合中的元素若 a 是集合 A 中的元素，则记为AaAa否则记为,表示集合通常有三种方法：1、枚举法（列举法）：例 5：A=｛1，2，3，4｝ ，B=｛1，2，3，…，100｝ 2、描述法：—元素 具有的性质)(,)(xpxpxA x例 6：显然例 6 中的 A 就是例 5 的 A。

41aZaaA且3、绘图法：用文氏图（）可形象地表现出集合的特征DiagramVenn及集合之间的关系例 7：利用例 5 的 A 和 B，可构制出文氏图：（3）集合的蕴含（包含）定义 3：若集 B 中每个元素都属于集 A，则称 B 是 A 的子集，记为，否则说 B 是 A 的子集，记为. AB AB 思考题思考题 1：如何用语言陈述“”？AB 定义 4：设，且存在，那么称 B 是 A 的真子集，否AB BaAa但则称 B 不是 A 的真子集思考题思考题 2：：若，但 B 不是 A 的真子集，这意味着什么？AB 定义 5：若集合 A 和 B 含有完全一样的元素，那么称 A 与 B 相等，记为 A=B.结论 1：显然，.ABBABA且（4）集合的运算①集合的并： BxAxxBA或U②集合的交：BxAxxBA且I③集合的差：BxAxxBA且④集合在全集内的补：AxExxA且⑤集合的布尔和（对称差）：)()()()( BABAABBABAxBxAxxBAIUUI但或⑥集合的卡氏积：BbAabaBA且),(注：注：中的元素可看成由 A 和 B 坐标轴所张成的平面上的点。

BA卡氏积的推广：miAaaaaAAAAmAAAiimmmiim,, 2 , 1,),,,(,,,2121 121LLLL ：成的卡氏积为个集合，那么由它们做是令对上述集合运算，可以得到一批基本公式：ABAAABAAAAAAAAAEEAAAEAAAEAAACABACBACABACBACBACBACBACBAABBAABBA)(;)()6(;;;)5(.;;;)4()()()();()()()3()()(;)()()2(.;) 1 (UIIUIUIUIUIUIUIUIUIUIUIIIIUUUUIIUU吸收律：思考题思考题 3：：（1）  那么：设,4 , 2,5 , 2 , 1,4 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1CBAE； ；BAIBAU； ；CBAUI)(CBAIU（2）证明等式：)()()()()()()(CBACABABACACABAIUUIIIUIUII（3）设有集合 A，B：若，则 A 与 B 有什么关系？BBA若，则 A 与 B 有什么关系？ABBA二、映射：二、映射：定义 6：设 是集合 A 到 B 的一个对应法则：如果对 A 中任一元素a，关于 都有 B 中的元素 b 与其对应，那么称法则 是由 A 到 B 的一个映射。

其中，记，b 是 a 关于 的象，a 是 b 在 下的逆象)(ab映射的分类：设的映射到是BABAf:（1）单射（一对一映射）单射），则称，则若或：设单射，那么称则若设fafafaaAaafaaafafAaa)()(,,(),()(,,212121212121 （2）满射（映上的）：是满射则（或满射则称使都存在fAfBfafbAaBb),(),(,,（3）双射（一一对应）若 f 既是单射又是满射，则 f 是双射或)是双射则使都存在唯一的fafbAaBb),(,,思考题 4：试说一说：当 f ①不是单射；②不是满射；时该怎样叙述？例 8 （） ；注意 （）5P6P映射的相等：是相等的，记为与，那么称都有如果是映射都设gfgfagafAaBAgBAf)()(:,:三、代数运算：三、代数运算：设给定，DAAAfDAAAmmLL2121:的映射到如果 n=2 时，f 就叫做代数运算一般地有定义 7：任一个的映射都叫做的一个代数运算DBA到DBA到事实上，我们都接触过代数运算例 9：L6)10, 4(, 5)3 , 2(:,),(,:fffbabafZZZf就是整数内的加法故知设为方便起见，以后凡是代数运算都不用映射符号等。

, ““,,oL ，而是用gf例 10：（整数内的减法）Loooo, 484 , 527,,:即则babaZZZ上述的例子都是的情形，一般情况下，有DBA例 11（）8P注意：（）8P代数运算表代数运算表：当都是有限集时，那么的每一个代数运算BA,DBA到都可以用运算表表示设，则运算表为：mnbbbBaaaA,,,,,,,2121LLo… 1b2bmb1a2a…na… 11ba o21ba omba o1… 12ba o22ba omba o2… … … … … …… 1bano2banomnba o注：对于代数运算的运算表，要求中元素在上表中的DABBA与位置互换在实际工作中，更多的是的情形，这时，有如下定义：DBA定义 8：若的代数运算，则可称 是的代数运算或称AAA到是 ooA对 是封闭的Ao课堂练习课堂练习：which of the following rules are algebra operations on the indicated set?1、.,Qsettheonabbao2、.0,lnxandRxxsettheonbabao3、., 0222Rsettheonbaxequationtheofrootaisbao4、.,ZsettheonnSubtractio5、.0,nandZnnsettheonnSubtractio6、.0,nandZnnsettheonbabaoSolution:1、.221Qbabandawheno2、. 0ln12121babandawheno3、  32323, 2babawheno4、.Okay5、. 0352babandawheno6、.Okay§4—6 结合律、交换律及分配律结合律：结合律：定义 1：设 是集合的一个代数运算，如果都有oAAcba,,，则称 满足结合律。

)()(cbacbaooooo例 1、设“ ”是整数中的加法：则,ZA o)()( ,,,tsrtsrZtsr“+”在中适合结合律Z例 2、设“ ”是整数中的减法：则特取，,ZA oZ3 , 5 , 2，而63)52(0)35(2)35(23)52(这说明“-”在中不满足结合律Z上述实例告诫我们，并不是每一个代数运算都能满足结合律的，另，我们如下明示：代数运算就是二元运算，当元素个数时，譬如同24321,,,aaaa时进行运算：，这已经超出了我们定义的范围，这个符4321aaaaooo号至少现在是没有意义的对四个元素我们可以进行两两运算，进行了三次后就能算出结果，但加括号的步骤显然不止一种：；； … … …4321])[(aaaaooo4321)]([aaaaooo)()(4321aaaaooo加括号的步骤不一样，其运算的结果是否一样？定义 2：设中的代数运算为 ，任取个元素，如果Ao)2( nnnaaa,,,21L所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用来表示naaaoLoo21注意：注意：从定义 2 可知， “”也可能是有意义的。

naaaoLoo21)2( n定理定理 1：如果的代数运算 满足结合律，那么对于的任意AoA个元素来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯)2( nnnaaa,,,21L一的，因此，这一唯一的结果就可用来表示naaaoLoo21[论证思路论证思路]因 是有限数，所以加括号的步骤必是有限的n任取一种加括号的步骤，往证：)(21naaaoLoo)()(2121nnaaaaaaoLoooLoo对 用数学归纳法n①2121)(bbaaanooLoo② 和分别是 和个元素经加括号而运算的结果.1b2biin③，由归纳假设释之.1, 1ninni[课堂练习课堂练习]Jdentify which of the algebra operations are associatire and commuatire on the R.1、；2、；3、；22babaobabaobabao4、； 5、；6、；babao1 abbao baba,maxo7、) 1(1babaabbaoSolution:1、√、√；2、×，√；3、√，√；4、×，×；5、×，√；6、√，√；7、√，√。

一、一、 交换律交换律定义 3：设 是集合的一个代数运算，如果都有oAAba ,，则称 满足交换律abbaoo o定理定理 2：设的代数运算 同时满足结合律和交换律，那么Ao中的元的次序可以任意掉换naaaoLoo21[论证思路论证思路]采用数学归纳法，归纳假设时命题成立.1n对 的情形，任掉换的位置，使之成为.nia niiiaaaoLoo 21注意是的一个排列. 令. niii,,,21Ln,, 2 , 1Lnik用结合律和归纳法假设证明之.三、分配律三、分配律定义 4：设都是集合，而是的代数运算，而是的BA,AABA代数运算，如果，都有AaaBb21,,)()()(2121ababaab那么称满足左分配律（第一分配律）,定理 3：设和如上，如果满足结合律，且满足左分配BA,,,律，那么，都有AaaaBbn,,,,21L)()()()(2121nnabababaaabLL[论证思路论证思路]采用数学归纳法，归纳假设时命题成立1n先后利用：结合律——的归纳假设——的归纳假设直至完2n1n成证明。

定义 5：设和同上，若，若有BA,,AaaBb21,,，那么称满足右分配律)()()(2121bababaa,定理 4：设和同上，若适合结合律，而适合右分配律BA,,,那么)()()(,,,,,1121bababaaAaaaBbnnnLLL都有注意注意：定义 4 与定义 5， 、定理 3 与定理 4 是对称的两对概念，所以定理 4 的证明可依据定理 3 的思路解之作业： ②，12P16P。