高中数学秒杀型推论.docx

精品文档高中数学秒杀型推论一.函数1 .抽象函数的周期(1) f(a±x)=f(b±x)T=|b-a|(2) f(a±x)=-f(b±x)T=2|b-a|(3) f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a(4) f(x-a)=f(x+a)T=2a(5) f(x+a)=-f(x)T=2a2 .奇偶函数概念的推广及其周期：(1)对于函数f(x),若存在常数a,使得f(a-x)=f(a+x),则称f(x)为广义(I)型偶函数，且当有两个相异实数a,b同时满足时，f(x)为周期函数T=2|b-a|(2)若f(a-x)=-f(a+x),则f(x)是广义(I)型奇函数，当有两个相异实数a,b同时满足时，f(x)为周期函数T=2|b-a|3 .抽象函数的对称性(1)若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则函数关于(亍，-)成中心对称(充要)(2)若f(x)满足f(a+x)=f(b-x)则函数关于直线x=h成轴对称(充要)4 .洛必达法则，设连续可导函数f(x)和g(x)f(x)11 ni ――= 吟7口 g(X) g(X)TO产（犬）g'（X）lim"r 扪一■ y目(K)T8f(x)g(X)尸（x）g'（X）二、三角(1) 角形恒等式(1)在△中,AB3CCAtan-tan--tan-tan--tan-tan-=1222222cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1(2) 正切定理寐切定理：在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCABGABCcot-+cot-+cot-=cot-cot-cot-222222(3)sinA+sinB+sinC=4cos-cos-cos-222ABCcosA+cosB+cosC=1+4sin-sin—sin一222(4) sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosCcos2A+cos2B+cos2C=1—2cosAcosBcosC(5) sinAcosBcosC+sinBcosAcosC+sinCcosAcosBsinAcosBcosC 二eye=sinAsinBsinCcosAsinBsinC=eyecosAsinBsinC+cosBsinAsinC+cosCsinAsinB=cosAcosBcosC—12 .任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在^ABC中a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA3 .任意三角形内切圆半径片二一（S为面积），a+b+c外接圆半径二-abc4S 2 si nA 2sinB 2sinC1欢在下载欧拉不等式：R>2r4 .梅涅劳斯定理如下图，E.D.F三点共线的充要条件是CEAFBD—x—X——EAFBDC5.塞瓦定理如下图，AD BE CF三线共点的充要条件是AF RD—X——FB DCCEX —=EA如下图，设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有AB2XDC+ACXBD-AD2XBC=BCDCBD+ B-cos7、和差化积公式（只记忆第一条）sin a +sin B =2sin2sin a -sin==2cossinCOs a +COs B =2cosa + 3 5t -—COS 一cos a -cos B =-2sin+6 .章一8——sin 2 28、积化和差公式.ccos(a+0)-cos(a-p)sinasin0=-八co5(a+p)+cos(ct-P)cosacosB=一£fn(a+P)+£in(ct-P)sinacosB=2cos a sin B =3inCa+3)-sin(a-p)9、万能公式2tan—sin0==-1+tan;一21 -tan'-cosg==-2 +tatr-3、e2tan-tan0=10.三角混合不等式：若x6(0,y),sinxvxvtanx当x-0时sinx-x-tanx11.海伦公式变式如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为a.b.c,大三角形面积为(x+y+s)=(a+b+c)(*+b—c)[1+e—b)(b+r—1)12.双曲函数定义双曲正弦函数2一Gsinhx= 2一，双曲余弦函数 coshx=—2易知(1)奇偶性：sinhx为奇函数，coshx为偶函数(3)两角和：sinhcosh(4)复数域：sinh⑵导函数：(sinhx)=coshx,(coshx)=sinhx(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy(ix)=isin(x)cosh(ix)=icos(x)(5)定义域：xSR(6)值域：sinhx6R,coshx6[1,+00)13 .三角形三边a.b.c成等差数列，则tan|tan|=I14 .三角形不等式(1)在锐角△中,sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosCtanA+tanB+tanC>cotA+cotB+cotC(2)在△中，x2+y2+z2>2yzcosA+2xzcosB+2zycosC(3)在△中，sinA>sinB=>cos2A>cos2B15 .ASA的面积公式：a2sinBsinCb2sinAsinCc2sinAsinBs__2sin(B+C)2sin(A+C)2sin(A+B)三、复数1 .欧拉公式(泰勒级数推由)cos0+isin0=ei02 .棣莫弗定理(欧拉公式推由)(cos0+isin0)n=cos(n0)+isin(n0)3 .复数模不等式(三角不等式)忆1+Z2+A+Zn|<|zl|+|z2|+A+|zn|当且仅当所有复数幅角主值相等时等号成立4 .z-专|2+14+的产=2(|zj2+|z3|2)5 .复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)四、数列(所有通过递推关系得由通项后都要检验首项)1 .An+产kAn+f(n)两边同除以kn+1,构造数列｛通过累加法得由通项公式2 .An+产kAn+C设一常数x,An+l+x=k(An+x)An+1=kAn+(k-1)x则(k-1)x=C,求出x二1J,得到等比数列｛，比｝，公比为k3 .不动点法：形如A+尸号北(d+0,当d=0时，则是第二种情况)，设函数f(x尸公，x=£t的根称为f(x)的不动点，(1)若函数f(x)有2个不动点a,B则数列｛手胃｝是一个等比数列，An=7二=7：(冷)"T,A上"且置-Bt-ipa-1(2)若函数f(x)只有一个不动点a则数列｛六｝数一个等差数列，A'n—一二——A]-ab-da(3)若函数f(x)没有不动点，则数列｛An｝是周期数列，周期自己找4 .特征方程法：形如A+2=pA+i+qA称为二阶递推数列，我们可以用它的特征方程x2-px-q=0的根来求它的通项公式(1)若方程有两根x1,x2,则A=uxin-1+Ax2n-1(出入可根据题目确定)(2)若只有一个根x0An=(p+An)x0n-1(艮，A可根据题目确定)5 .变系数一阶递推数列J=|山⑴加+ZY-114=111/(/)四、不等式1 .权方和不等式(赫德尔不等式推由)心+1^m+l(4++A)m+1xm++A-(x+y+A)m当且仅当।——,二.一xy2 .黎曼和-定积分不等式级数与定积分之间的关系设可积函数f(x)当f(x)为减时，片十"f(x)dxMf(x)当f(x)为增时,fgdx三Eff(x)3.琴生不等式精品文档函数的平均数与平均数的函数之间的关系当f(x)为凹函数，即f''(x)>0时f(xj+D+A+f&)+xzH-A+xnn~n当f(x)为凸函数，即f''(x)<0时fGJ+式小)+八+fC^)")以…+媪曲>Ml+"'+叫其中「一一「二以上可概括为顺序和A乱序和A倒序和5 .切比雪夫总和不等式(排序不等式推由)当an与bn逆序时10欠0迎下载精品文档(值1瓦+“一白黑)、(境1H—”+/)(瓦H—■+dn-nn当an与bn顺序时不等式反向6 .舒尔不等式(Schur不等式)xt(x-y)(x-z)+yt(y-x)(y-z)+zt(z-x)(z-y)>0当x=y=z时，等号成立配Schur法(Schur分拆法)三元齐三次对称轮换式f(x,y,z)>0的充要条件是(a=>0b=f(Or14)>0(c=>0因为f(x,y,z)=a上匚..:一+b±一.--+cxyz三元齐四次对称轮换式f(x,y,z)>0的充要条件是(a=f(OrO4)>0b=f(O,14)>0If(U,l)一03c—f(1•0,1)d=aH>0\4因为f(x,y,z)=i欺逆下载精品文档—y)(x—z)+b£x(y+z)(x—y)(x-2)+c£yz(x—yXx—z)+dxyz(x+y+z)三元齐五次对称轮换式f(x,y,z)>0的充要条件是「a=f(O,O,l)>0b=2Ro2(1+i)f(UQ八4C=22°f(—ljl)i+3b+e-2ad=>02f(LLDn€=>013因为f(x,y,z)=a£x』(x—y)(x—z)+bEI(v+z)(x—y)(x—z)+c£yz(y+z)(x-y)(x—z)十dxyz£(x-y)(x-z)+exyz(xy+yz+zx)7.常用对数不等式当x〉-1时，X0时或n为正偶数，xSR时(1+x)n>1+nx当n=0或1,或x=0时等号成立9． uvw法和pqr法(解决三元对称轮换式)uvw法：令a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式pqr法：令a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r，得到新不等式当a.b.c为非负实数时，用uvw法；当a,b,c6R时，用pqr法10.SOS法(配方法)不解释11．拉格朗日乘数法(解决条件极值问题)已知f(x,y,z)=0，求F(x,y,z)的极值构造拉格朗日函数L=F(x,y,z)+入f(x,y,z)对F(x,y,z)分别关于x,y,z,入求偏导，得到四元方程组，其中对F(x,y,z)关于入求偏导所得方程即f(x,y,z)=0解四元方程组所得解，即F(x,y,z)的极值点，从而算出极值。

由拉格朗日乘数法可知，所有对称轮换式的极值在x=y=z时取到12．。