大学高数试卷及答案.docx

浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试课程名称： 高等数学I 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷注意事项：1、本试卷满分100分2、考试时间120分钟号学题号一二二四五六七八得分得分评阅人、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确:名姓答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内共21分）卜列各式正确的是:A.limxsin xB.每小题 3分,sin x lim — x 0 x得分:级班业专C.limxD.lim 1 x2.时，与A. 1 x 1,.x等价的无穷小量是:B. lnC.3.设f（x）在x a的某邻域有定义,D.则它在该点处可导的一个充分条件是：（）:院学A,1,十一A. limhf (a一)f (a)存在hhB.f(a 2h) f(a h)存在C.顾0f(a h) f(a h)存在D.2hhim0f(a) f(a h)存在1,b 0)以上都不对得分1.极限limx2 3 )x cos x 1(x sin x)22.极限lim n24 .函数y 3x3 x在区间［0,1］上的最小值是：()A. 0B.没有 C. 2D. 25 .函数y 1 x2在区间［1,1］上应用罗尔定理时，所得到的中值A. 0B. 1 C.1 D. 2ax6 .设函数f(x) e 2 x 0处处可导，那么：()b(1 x2) x 0A. a b 1 B. a 2,b1C. a 0,b 1D. a7 .设x a为函数y f(x)的极值点，则下列论述正确的是(. _ ' _ _ —A . f (a) 0 B . f (a) 0 C . f (a) 0 D .二、填空题(每小题3分，共21分)x2 3x 1023 .设函数f (x)=x 2 x在点x=2处连续，则aa x 24 .函数f(x) 旦的间断点为. sin x5 . 函数y 2x2 lnx的单调减区间为 .6 . 设函数 y ln tan Vx ,则 dy . x a cost .7 .椭圆曲线在t —相应的点处的切线方程为 y bsint 4、求下列极限（每小题6分，共18分）1.求极限 lim 1 xsinx 1x 0x得分2.求极限lim x四、计算下列导数或微分（每小题分 6,共18分）得分1.设函数 y (2 x)2 ln(ex .J""e7x), 求dy与dy. dx2.设y f （x）是由方程arctan_x lnjx2 y2确定的隐函数，求yd2y dx2 .3.计算函数y （上）x的一阶导数.1 x五、(本题6分)求函数y (x 5)浮的凹凸区间与拐点.2六、(本题6分)得分得分设函数f (x)在()上二阶可导，函数g(x) ax bx c x 0试确定常数f(x) x 0a,b,c的值，使得函数g(x)在x 0点二阶可导.得分七、(本题 5 分)证明：当 x 0时，1 xln(x J1 x2) 4\x2 .得分八、(本题5分)设函数f(x)在［0,3］上连续，在(0,3)内可导，且 f(0) f (1) f (2) 3, f (3) 1.试证：必存在一点(0,3),使得f ( ) 0.浙江农林大学2016 - 2017 学年第学期期中考试、单项选择题、填空题（每小题3分，共21分）1.1 22；3. 7; 4. k ,k 0, 1, 2,L ；5. (0,2)6.csc 2x _ k——dx ; 7. ay bx 72ab 0、、义、求下列极限（每小题6分，共18分）1.求极限1 xsin x 1x2 e解:原式二limx 012xsin x22xsin x2x2.求极限limx解：原式=lim x6x33 6x2=lim xlimex3 x6x23e23.求极限lim (-f x 0 xxtan xtanx3 x22sec x 11 cos xlim2— lim2-x 03x2x 03x22cos xsin x = lim（每小题分 6,共18分）x 0 6x四、计算下列导数或微分1.设函数_2y (2 x)ln（ex石~尹），求包与dy. dx解：y2(2 x)dyxe2(2 x) 2 ]dx,1 e2x2.设yf（x）是由方程arctan- In J7~y2确定的隐函数,y ,d2y dx2解：方程两边同时对变量x求导并化简可得:y xy x yy从而得到：y' L2 , y x上式继续对变量x求导可得:y y xy1 y y yy化简上式并带入'y可得：y2(x2 y2) y x3.计算函数y （1）x的一阶导数.1 x解：两边同时取对数得:In yxln(—x-)1 xx[ln xln(1x)](2分)两边同时对x求导得:—[In x ln(1 x)] yx[1 - x x(5分)x从而得y y[lnx 1xxlnJ)[ln(6分)五、（本题6分）求函数y（x 5）石7的凹凸区间与拐点.2解：函数的定义域为（)y "x 1))，y 3人5(2x_1)9 x/x71''''一，，x 2,y0, x 0,y 不存在。

x (''yy1 ii2 )2( 2, 0)0 (0,)o(1, 3^2)可知y (x 5) JZ函数y (x 5)泞在(［，0)和(0,)上是凹的，22(,1)内是凸的，拐点为(1, -^2). 6分222六、(本题6分)设函数f(x)ft(,)上二阶可导，函数g(x) ax bx c x 0 ,试确定常数f (x) x 0a,b,c的值，使得函数g(x)在x 0点二阶可导.解：因为g(x)在x 0点二阶可导，所以，g(x)在x 0点一阶可导、连续由g(x)在x 0点连续可得：lim g(0) x 0f (0) lim g(0) c ,从而 c f (0) x 02由g(x)在x 0点可导可得:ax bx c f (0)g (0) f (0) g (0) lim b,从而x 0x 0b f (0) 4分从而可知：g'(x)2ax b x 0f (x) x 0又由g(x)在x 0点二阶可导可得:2ax b f (0).g (0) f (0) g (0) lim - 2a ,x 0 x 0''从而2a f (0) 6分 七、(本题 5 分)证明：当 x 0 时，1 xln(x 4\x2) V1 x2 .证明：令f(x) 1 xln(x j x2) 也x2 ,则f(0) 0……1分 因为f'(x) ln(x，1 x2) 0,从而f(x)在x 0时单调递增， 3分从而 f (x) f (0) 0 ,从而 1 xln(x Ji x2) Ji x2 5分八、(本题5分)设函数f(x)在［0,3］上连续，在(0,3)内可导，且f(0) f(1) f(2) 3, f(3) 1.试证: 必存在一点(0,3),使得f'( ) 0.证明：因为函数f (x)在［0,3］上连续，从而函数f(x)在［0,2］上连续，故在［0,2］上有最大值和最小值，分别设为 m,M ,于是m f(0)”1)f⑵M,………2分3从而由介值定理可得，至少存在一点c ［0,2］,使得f(c) f(0) ,⑴f⑵1,•…3分3可验证f (x)在［c,3］上满足罗尔定理的条件，故存在 ［c,3］［0,3］，使得 f'( ) 0. 5分tanx x斛：原式=lim 2x 0 x tanx。