第5章微分变换.ppt

第五章 微分变换 Chapter Differential Relationships5.1 引言5.2 微分矩阵 5.3 微分平移和旋转变换 5.4 微分旋转 5.5 坐标系之间的微分变换 5.6 机械手的微分变换方程 雅可比方程 5.7 雅可比逆矩阵5.8 本章小结Date15.1 引言Introduction 微分变换在机器人视觉、动力学和机器人控制如力控、刚度控制、阻抗控制、顺应控制等中非常重要例如当摄像机或其它传感装置检测到机器人末端执行器的位置和方向的微小变化时，需要将该微小变化从摄像机或其它传感装置坐标转换到基坐标或参考坐标系在机器人刚度控制中，需要获得在控制坐标系中力与位置的微分变换又如将直角坐标的微分变换转化为关节坐标的微分变换，还有在下一章介绍的机器人动力学问题时，也会用到微分变换本章将介绍微分变换的根本原理和方法，包括微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆雅可比矩阵及其应用 Date25.2 微分矩阵Derivative Matrixes 给出一个44的矩阵A5.1矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下5.2Date35.3 微分平移和旋转变换 ( Differential Translation and Rotation ) 微分平移和旋转变换可以是针对基坐标或参考坐标系，也可以是针对某个指定的坐标系进展。

例如对于一个变换矩阵T，它对基坐标的微分变换可表示为 5.3 式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标的向量k旋转d角由此可得到 5.4 假如上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结果可表示为 5.5 此时，式中 是在T坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz； 是绕T坐标的向量k旋转d角由此可得到 5.6 Date4 我们用符号 来表示式5.4和式5.6中的 并将它称为微分变换算子5.6 这款式5.4和式5.6就可写成如下形式 5.7 和 5.8 式5.7中的微分变换算子 是针对基坐标的，而式5.8中的微分变换算子 那么是针对T坐标的 在第二章我们给出了平移和一般性旋转变换的齐次变换矩阵表达式，平移变换矩阵是 1 0 0 a 0 1 0 bTrans( a, b, c ) = 0 0 1 c 5.9 0 0 0 1Date5当平移向量是微分向量ddxi+dyj+dzk时，微分平移矩阵为100dx010dyTrans(d)=001dz5.100001一般性旋转变换的变换矩阵是kxkxvers+coskykxvers-kzsinkzkxvers+kysin0kxkyvers+kzsinkykyvers+coskzkyvers-kxsin0Rot(k,)=kxkzvers-kysinkykzvers+kxsinkzkzvers+cos0(5.11)0001当进展微分旋转变换时，旋转角d极小，此时有如下关系Date6将上述关系代入式5.11可得1-kzdkyd0kzd1-kxd0Rot(k,d)=-kydkxd10(5.12)0001由式5.6可得(5.13)Date75.4 微分旋转 (DifferentialRotations)式5.13给出的微分变换算子是基于微分旋转角d的微分平移和旋转变换表达式，下面讨论绕坐标轴x、y、z旋转x、y、z的微分变换。

第二章给出的绕坐标轴x、y、z旋转的变换矩阵分别为5.145.155.16Date8在微分变换的情况下，sind，con1，上面三个式子变为 5.17 5.18 5.19由此可得到 5.20Date9比较式5.12和式5.20可知，绕任意向量k旋转d的微分旋转与绕x、y、z轴分别旋转的结果一样，即5.21由此可得到绕坐标轴x、y、z旋转x、y、z的微分变换算子为5.22微分变换算子中的元素由微分平移向量d和微分旋转向量的各个分量组成，即5.235.24将上述二个向量组合构成一个微分运动矢量D5.25这样，我们就可根据式5.25给出的微分运动矢量D直接得到微分变换算子，或基于T坐标的微分运动矢量的微分变换算子Date10【例5.1】坐标A的变换矩阵为当用微分平移矢量d=1i+0j+0.5k和微分旋转矢量0i+0.1j+0k对坐标A进展变换时，求出微分变换的结果dA解：首先，由式5.22求出微分变换算子由式5.7可得即微分变换结果如图5.1所示xyzzAyA+dAx图5.1坐标A的微分变换Date115.5 坐标系之间的微分变换 (TransformingDifferentialChangesbetweenCoordinateFrames)上节讨论了基于基坐标或某个指定坐标的微分变换，本节继续讨论坐标系之间的微分变换，也就是微分变换算子 ，如何求出T坐标的微分变换算子 。

由式5.7和5.8可知5.26那么为5.27上式是一个重要的表达式，它描绘了坐标系之间的微分变换关系下面我们用微分平移矢量d和微分旋转矢量来推导的表达式变换矩阵T为Date12我们用矢量的叉乘来得到式5.27等号右边二项的乘积5.29式中d和分别是微分平移和微分旋转矢量用左乘式5.29可得5.30上式矩阵元素都具有如下矢量三重积形式根据矢量三重积的性质有5.31Date13同时，三重积中只要有二个矢量是一样的，其结果为零如5.32根据上述性质，式5.30可写成5.33对于正交矢量有5.34这样，式5.33可重写成5.35Date14上式可进一步简化为5.36比较式5.35和式5.36的矩阵元素可得5.375.38在式5.37和式5.38中，n、o、a和p是微分坐标变换矩阵T的旋转和平移矢量，和是对应坐标T的微分平移和旋转矢量Date15式5.37和式5.38也可用66的矩阵形式表示如下5.39将上式写成式5.36和式5.37的形式如下5.405.41式5.40和式5.41是后续内容中要经常用到的重要结果Date16【例5.2】给出与例5.1一样的坐标的变换矩阵、微分平移矢量和微分旋转矢量如下：d=1i+0j+0.5k0i+0.1j+0k试求出坐标A上的等效微分变换dA。

解：由坐标变换矩阵A可得到相应的旋转与平移矢量由此可求出根据式5.40和式5.41得到Date17用上述结果来验证坐标A上的等效微分变换dA，由式5.8有由已求出的、和式5.36可得到那么上述结果与例5.1一样Date185. 6 机械手的微分变换方程雅可比方程 The Manipulator Jacobian在第三章我们介绍过，机械手的运动学方程由它的末端相对于基坐标的齐次变换矩阵T6表示，即T6=A1A2A3A4A5A65.42其中每一个关节变换矩阵Ai描绘了该关节坐标相对于前一个关节坐标的变换关系，关节变量用qi表示，假如是旋转关节，关节变量是i，它是绕前一个关节坐标z轴的旋转角度；假如是滑动关节，关节变量是di，它是沿前一个关节坐标z轴滑动的间隔同样，当我们讨论机械手的微分变换方程时，首先定义微分关节变量为dqi，假如是旋转关节，那么为di，假如是滑动关节，那么为ddiDate19机械手第i个关节的微分变换引起第6个连杆末端即机械手末端的微分变换dT6可由下式表示：5.43那么5.44由式5.27可得到机械手末端的微分变换算子5.45其中5.46假如关节i是旋转关节，那么di=0，式5.40和式5.41变为5.475.48Date20当，为单位微分旋转矢量时，式5.47和5.48可进一步简化为5.495.50假如关节i是棱形滑动关节，那么i0，di=0i+0j+1k，式5.40和式5.41变为5.515.52机械手末端坐标T6的微分变换是所有6个关节微分变量的函数，可用66的矩阵表示，矩阵元素由6个关节的微分平移和微分旋转矢量构成，该矩阵称为雅可比矩阵。

它的每一列元素为对应关节的微分平移和微分旋转矢量应用雅可比矩阵的机械手微分变换方程雅可比方程如下：5.53Date215.7 雅可比逆矩阵The Inverse Jacobian当微分变换是由直角坐标空间向关节坐标空间进展时，由式5.53可得到5.72上式等号右边矩阵是雅可比逆矩阵显然，用符号运算来得到雅可比逆阵是很困难的，因为微分变换要进展大量算术运算，同时当机械手出现退化时，其结果会出错为此，我们采用第四章介绍的根据T6的值计算关节坐标值的方法和步骤来计算微分关节坐标值将关节坐标的微分变换表示为dT6中各元素的函数，然后求出各关节的微分变换值该方法相比照较简单，而且在机械手出现退化时，将相应关节的微分变换值设置为零，这就不会影响后续关节的计算结果在后面的讨论中，我们假设机械手的符号解存在，而且关节变量的正弦和余弦值Date22为了计算dT6,我们首先根据式5.37和式5.38对T6进展微分变换得到微分平移矢量和微分旋转矢量，然后根据式5.22求出，最后根据式5.8得到dT6下面通过对第四章介绍的斯坦福机械手逆运动学解的微分变换来说明上述方法的详细步骤由第四章式4.15有S1pxC1py=d25.73对式5.73求导可直接得到第一个关节变量1的微分5.74对于正切函数5.75其微分公式为5.76Date23由第四章式4.24和式4.25有5.775.78对式5.77和式5.78求微分得到5.795.80由公式5.76可得到第二个关节变量2的微分5.81将式5.77代入第四章的式4.31有5.82对式5.82进展微分可直接得到第三个滑动关节变量d3的微分5.83Date24由第四章式4.38和式4.39有NS4=S1axC1ay5.84NC4=C2D41S2az5.85其中D41=C1axS1ay5.86对式5.84式5.86进展微分得到5.875.885.89由式5.76可得到第四个关节变量4的微分d4。

在计算第五个关节变量微分时，为了简化计算，我们可将式5.76简化为5.90由第四章式4.42和式4.43有S5=C4NC4+NS45.91C5=S2D41+C2az5.92Date25对式5.91和式5.92进展微分得到5.935.94由式5.90可得到第五个关节变量5的微分d5最后，我们由第四章式4.49和式4.50有S6=C5N61S5N6125.95C6=S4N611+C4N61125.96其中N6111=C1ox+S1oy5.97dN6111=dC1ox+C1dox+dS1oy+S1doy5.98N6112=S1ox+C1oy5.99dN6112=dS1oxS1dox+dC1oy+C1doy5.100Date26N611 = C2N6111S2oz 5.101dN611 = dC2N6111 + C2dN6111dS2ozS2doz 5.102N612 =S2N6111C2oz 5.103dN612 =dS2N6111 + S2dN6111dC2ozC2doz 5.104N61 =C4N611 + S4N6112 5.105dN61 =dC4N611 + C4dN611 + dS4N6112S4dN6112 5.106对式5.95和式5.96进展微分得到 5.107 5.108由式5.90可得到第六个关节变量6的微分d6。

Date275.8 本章小结Summary本章介绍了微分变换的根本原理和方法，包括微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆雅可比矩阵及其应用首先我们给出了微分变换矩阵的两种表示方式，即5.7和5.8其中式5.7是针对基坐标的微分变换表达式，式5.8是针对T坐标的微分变换表达式式中的 称为微分变换算子，它是针对基坐标的；而那么是针对T坐标的微分变换算子由微分平移向量d和微分旋转向量的各个分量组成，即5.22Date28式中的微分旋转向量的各个分量x，y，z是分别绕基坐标的x、y、z轴旋转的角度，假如微分旋转是绕任意向量k旋转一个微小角d，那么其对应的各个分量为5.21微分变换算子与的转换公式为5.27式5.27中T是由旋转向量n、o、a和平移向量p组成。