1951年以来历年全国高考数学试卷全试题答案解析整理.pdf

第 1 页 共 124 页1951 年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1设有方程组 x+y=8，2x-y=7 ，求 x，y. 解略：35yx2 若一三角形的重心与外接圆圆心重合， 则此三角形为何种三角形？证： 设ABC 的重心与外接圆的圆心均为O （图 1） OA=OC，E为 AC的中点， BE AC ；同理，CD AB ，AFBC在RtABE与 RtACD 中， A为公共角，BE=CD=R+21R=23R（R为外接圆半径），所以 ABE ACD ，AB=AC ，同理可得 AB=BC 由此可知 ABC为等边三角形 3当太阳的仰角是 600时，若旗杆影长为 1 丈，则旗杆长为若干丈？解略：3丈0)()()(:)()(,)(,:?,.4tactcbtbazyxtactzcbytbaxtaczcbybaxzyxcbaaczcbybax由此可得则有设解则各不相等而若5试题 10 道，选答 8 道，则选法有几种？解略：45810c6若一点 P的极坐标是（ r, ） ，则它的直角坐标如何？解：x=rcos,y=rsin7若方程 x2+2x+k=0的两根相等，则k=？解：由=b2-4ac=0, 得 k=1 8列举两种证明两个三角形相似的方法OABCEFD第 2 页 共 124 页答：略9当（ x+1)(x-2)0 时，x 的值的范围如何？解略：-1x2 10若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程解略： bx-ay=0 11 （x+x1)6展开式中的常数项如何？解：由通项公式可求得是T4=201202cos的通解是什么？解：).(4为整数kk13系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个14解：原式=1003)5(4)2(4550554)5(55430)2(15x2-4y2=1的渐近线的方程如何？解略：02yx?345505542第 3 页 共 124 页16 三平行平面与一直线交于A，B，C三点，又与另一直线交于 A ，B ，C三点，已知AB=3 ，BC=7及 AB=9 求 AC解：如图易证 : 3011CACABAACABACAB17有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18 立方尺，求圆锥的体积略：6 立方尺18已知 lg2=0.3010, 求 lg5. 略：lg5=1-lg2=0.6990 19二抛物线 y2=12x与 2x2=3y 的公共弦的长度是多少？解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：5320国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？解：由图可知： AFG= C+ E=2 C, AGF= B+D=2 B, A+AFG+ AGF= A+2 C+2B=5A 5A=1800， A=360第二部分：A A B B B1C C C1FGACEBD第 4 页 共 124 页1P，Q ，R顺次为 ABC中 BC ，CA ，AB三边的中点，求证圆ABC在A点的切线与圆 PQR 在 P点的切线平行证：如图：由 AD是大圆的切线，可得：1=2由 RQ BC ，可得： 2=3，由 QP AB ，可得： 3=4由 PE是小圆的切线，可得：4=5由 RP AC ，可得： 5=6综上可得： 1=6，故 AD PE2设ABC的三边 BC=4pq,CA=3p2+q2,AB=3p2+2pq-q2, 求B，并证 B为A及C的等差中项解：由余弦定理可得：.CABA,-B60)180(60B214)23(2)3()4()23(2cos222222222222的等差中项与是ABBABCppqpqpppqpBCABCABCABB3 （1）求证，若方程 x3+ax2+bx+c=0的三根可排成等比数列，则 a3c=b3. 证：设 ，是方程 x3+ax2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：+=-a +=b =-c 564321EQPRABC第 5 页 共 124 页又因，排成等比数列，于是 2=33333233a)()()(bccab此即（2）已知方程 x3+7x2-21x-27=0 的三根可以排成等比数列，求三根解：由可知 3=-c ，3=27，=3代入+=-7 可得+=-10，又由 ，成等比数列， 2=，即=9，故可得方程组：.91, 19,910或或可得解之于是，所求之三根为 -9 ，3，-1 或-1，3，-94过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线证：设抛物线方程为y2=2px过抛物线顶点 O任作互相垂直的二弦OA和OB ，设 OA的斜率为 k，则直线 OB的斜率为-k1，于是直线 OA的方程为：y =kx 直线 OB的方程为：xky1设点 A（x1 ,y1), 点 B(x2 ,y2)由，可得：.2,2121kpykpx由，可得：Y A P （ x,y) O X B 第 6 页 共 124 页x2=2pk2, y2=-2pk 设 P（x，y）为 AB的中点，由上可得：由可得：由可知：px2222kpkp, 代入,2p-pxy22222222222即ppxpkpkpy所以，点 P的轨迹为一抛物线1952 年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1. 因式分解 x4 y4 =？解：x4 y4 =(x2+y2)(x+y)(x-y)2. 若 lg2x=21lgx ，问 x=？解：2x=x21，x0，202X3. 若方程 x3+bx2+cx+d=0的三根为 1,-1,21, 则 c=？解：由根与系数的关系可知：c=1 （-1）+（-1 ） 21+211=1pkkpyyypkkpxxx222122212222222kppkpy第 7 页 共 124 页4. 若xx求,0472解：两边平方，得： x2 +7=16 ，3x5.解: 原式=-246. 两个圆的半径都是4 寸, 并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？解：设两圆 O1及 O2之公共弦为 AB连结 O1O2交 AB于点 C，则 AB 垂直平分 O1O2O1C=21O1O2=2（寸）).(342),(3224222121寸寸ACABCOAOAC连结 AO1，则ACO1为直角三角形，7. 三角形 ABC的面积是 60 平方寸， M是 AB的中点，N是 AC的中点，AMN的面积是多少？解： MN BC ，41ABCAMN22ANAM的面积的面积，AMN 的面积 =41ABC的面积 =15（平方寸）8. 正十边形的一个内角是多少度？解：由公式,)2(180nn此处 n=10于是一个内角为：144A O1O2C B ?123054321第 8 页 共 124 页9. 祖冲之的圆周率 =？答：22/7，355/13310. 球的面积等于大圆面积的多少倍？解：球的面积 4R2为大圆面积 R2的 4 倍11.直圆锥之底半径为 3 尺，斜高为 5 尺，则其体积为多少立方尺？解：圆锥高 h=4（尺） ，故此直圆锥的体积：V锥=31R2h=12（立方尺）12. 正多面体有几种？其名称是什么？答：共有五种，其名称为：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体13. 已知 sin =31, 求 cos2=？解：cos2=1-2sin2=9714. 方程 tg2x=1 的通解 x=？解：).(82为整数kkx15. 太阳的仰角为 300时，塔影长为 5 丈，求塔高是多少？解：塔高 =5tg300=335（寸）16ABC的 b 边为 3 寸，c 边为 4 寸，A角为 300，问ABC的面积为多少平方寸？解：).( 330sin4321sin21平方寸的面积AbcABC17. 已知一直线经过（ 2，3） ，其斜率为 -1 ，则此直线方程如何？解：即 x+y 5=0 18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为（ 3，4）则此圆的方程如何？第 9 页 共 124 页解：圆的半径.54322R所以，圆的方程为： (x-3)2+(y-4)2=25，也即： x2+y2-6x-8y=019. 原点至 3x+4y+1=0的距离是什么？解：.51431040322d20. 抛物线 y2-8x+6y+17=0 的顶点坐标是什么？解：原方程可变形为： (y+3)2=8(x-1), 故顶点坐标为（ 1，-3 ）第二部分：1. 解方程 x4+5x3-7x2-8x-12=0解：左式 =(x4+5x3-6x2）-（x2+8x+12）=(x+6)x2(x-1)-(x+2) =(x+6)(x3-x2-x-2) =(x+6)(x3-2x2)+(x2-x-2) =(x+6)(x-2)(x2+x+1)=0 可得原方程的四根为：.231,231,2,64321ixixxx2. ABC中， A外角的平分线与此三角形外接圆相交于P，求证：BP=CP证：如图， CBP= CAP= PAD 又1=2由CAD= ACB+ CBA =ACB+ CBP+ 2 第 10 页 共 124 页=ACB+ 1+CBP =BCP+ CBPBCP= CBP ，BP=CP3. 设三角形的边长为a=4，b=5，c=6，其对角依次为 A，B，C求ABCCsin,sin,sin,cos. 问 A，B，C三角为锐角或钝角？解：应用余弦定理，可得：.812cos222abcbaC由此可知 C为锐角；另外，由已知条件，三边边长适合关系式abc，从而可知 ABC由于 C为锐角，故 A，B亦为锐角.741casinCsinA.7165sinsin,.783)81(-1sinCcos-1sinC22cCbBC可得应用正弦定理可得由4. 一椭圆通过（ 2，3）及（ -1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点解：由于椭圆过（ 2，3）及（-1 ，4）两点，所以将此两点代入标准方程可得：C 1 P 2 D A B 第 11 页 共 124 页.75522,35522,355,755,1161194222222abbababa短轴长轴解之.2155221220,22222abcabc又).21552,0(),21552,0(21FF故焦点坐标为1954 年普通高等学校招生全国统一考试数学1甲、化简.)()()(317212131223babba解：原式 =.)()(32310231272321223ababbaba乙、解cbaxlglg2lg31lg61解略： x=a2b12c6. 丙、用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一.,001.0)1002()1002(34)1002(36100234310023)02.3(:43223444千分之一其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于解.182.830216.016.281)02.3(4丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和证：由 c2 =a2+b2弦上半圆的面积 = 22222221221421221babac第 12 页 共 124 页=勾上半圆的面积 +股上半圆的面积戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积解：内接正方体的中心即该球的球心正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r 若设内接正方体的边长为a，则有3a2=4r2，.398332.332333rrara内接正方体的体积己、已知a是三角形的一边， 及是这边的两邻角，试求另一边 b 的计算公式解：由正弦定理可知.)sin(sin)(180sinsin,sin)(180sinaabba2. 描绘 y=3x2-7x-1 的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围：1）y0， 2）y0).1261(31)67(:2yx将原方程变形可得解).1261,67(, 抛物线顶点为于是)0,6617(,)0,6617(:NMx轴的交点为与).,6617(),6617,(,0的值所在范围为时当xy).6617,6617(,0的值所在范围为时当xyY M O N X )1261,67(第 13 页 共 124 页3. 假设两圆互相外切，求证用连心。