高等数学中极限问题的解法详析.docx

数学分析中极限的求法摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法,1:利用两个准则求极 限,2:利用极限的四则运算性质求极限,3:利用两个重要极限公式求极限,4：利用 单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限,6：利用无穷小量的性质求极限,7： 利用等价无穷小量代换求极限,8：利用导数的定义求极限,9：利用中值定理求极 限，10：利用洛必达法则求极限，11：利用定积分求和式的极限，12：利用级数收 敛的必要条件求极限，13：利用泰勒展开式求极限，14：利用换元法求极限关键词:夹逼准则，单调有界准则，无穷小量的性质，洛必达法则，中值定理， 定积分,泰勒展开式,级数收敛的必要条件.极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来 描述如函数y=f(x)在％ = /处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义， 二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的极限 是研究数学分析的基本公具极限是贯穿数学分析的一条主线学好极限是从以 下两方面着手1：是考察所给函数是否存在极限2：若函数否存在极限，则考 虑如何计算此极限本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求 极限进行综述。

1：利用两个准则求极限1)夹逼准则：若一正整数工当n>N时，有""工< "且吧"|吧'则 limy” =a 有—笛.利用夹逼准则求极限关键在于从X”的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列｛约｝和匕｝,使得券« % - %1 1 1Xn = / 、 + ] 、 : + —/ > :例[1]广+〃求£的极限解：因为当单调递减，所以存在最大项和最小项L< Xfl <「则 Jr+〃+1lim= lim= 1又因为13c nmr…疝门（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一利川单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推 公式求极限例：[1]证明下列数列的极限存在，并求极限yl = \[a, y2 = yja + y/a, y3 = yja + y/^+y/a ,尤=+ \ja+ \]^+--+y/a证明：从这个数列构造来看片显然是单调增加的用归纳法可证乂因为 >2 =>3 = " + %»……，力=W + Xl所以得）因为前面证明先是单调增加的ay\i ＜一+i两端除以打得 以因为强则—+ 1 < y[a + 14工”<痴+1即%是有界的。

根据定理｛"｝有极限，而且极限唯一 lim >； = / 1fIl| Hm yJ =+ 幻令;r->oc则 “->8n->x^1 + 747+1则产=/ + /因为兑＞0,解方程得=—2—所以lim yn =1 =1 +J4a + 122：利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限 等于极限和的或积或差2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的 极限等于极限的商通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极 限的四则运算首先对函数施行各种恒等变形例如分之，分母分解因式，约去 趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多 项的和（或积）为有限项例;求极限lim ——；(1) I 2厂 7-1「Jl+x—2lim(2)一工一3「/ 13 、hm(一^―)(3)X+l A +11 1 1X.11 .,■■,1 1,］：m r(4)已知 1x2 2x3(〃一l)x〃 求“一联〃x2-l(a + 1)(.y-1)x+12 r Jl + x - 2Inn——； nm11nl - lim解:(1) i 2x^ -x-1 = i (x-l)(2x + l) = i 2x+l = 3 ⑵ 13x-3=(Jl + x — 2)( Jl + x + 2)x — 3ilim-== lim== 1一 (x-3)(Vl + x + 2) = r-3 (x«3)(>/T+x + 2) = 4「/ 13 、hm(一^―)⑶ il X+\ X +1x2-x-2 h (a + 1)(a-2)x-2lim——： Hm ,lim -=i― x3+l = J-i(x + l)(厂— x + 1)=.一&7 + 1 =-1⑷因为，1x2 2x3+ (n-l)xn,111111=J—— + ———+— ——+ ——2 2 3 3 4 4 + = 1 lim x = ) = 172-1 〃 - 1 n n 所以 J-30 n3：利用两个重要极限公式求极限v sinx .. . I [Inn = lim x・sm - = I两个极限公式(1)3。

X J" X1 1lim(l + —)' = lim(l + x)x =e (2)28 X D在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式例：求下列函数的极限[4]x xlim 5 lim cos —cos —cos —2 22 23cosf]!⑵岫一犷XXX cos — cos — cos — 解：(1) 2 22 23X cos — r2 sin —2〃. X sin x cos — 2cos cos —22 23x Ycos —sin —T TXXX lim cos—cos — cos — —x 2 22 23Xcos —r =lim2" sin——sinx xT1 sin xsinxlim 2" sin j Tsin xlims limxxx x 11 sinx,2 22 23 2"」［ =吧！ x =i⑵厕一曾lim(l—阳T8nt,)»nt°=14：利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极 限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在/@)=例:xsin—, xl + x\x>0x40求f(x)在x=0的左右极限lim x-sin 1解：3工=1lim x-sin 1 lim f(x) = lim /(x) = 1 lim f(x) = 15：利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。

如果"g(x)在点/连续g(%)=〃而y=f(u)在点先连续,那么复合函数尸f(g(x))在点/连续即lim = /(g(xo)) = /(lim g(x))lim也就是说，极限号-%可以与符号f互换顺序limln(l + —)r例：求Z x(l + -)x解：令 y = lnu, u=v= limln(l + —)A = e因为Inu在点 e x 处连续limln(l + —)x所以10xIn lim(l + —)v—18X-J1=Ine=16：利用无穷小量的性质求极限：无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量如果!黑"")二°, g(x) 在某区间(/一色心“5)有界，那么!黑"')这种方法可以处理 一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题「 sin x hm例：求f x解：因为皿日星二°.. sin xhm所以f x =07：利用等价无穷小量代换求极限：等价无穷小量：当Z 时，称y,z是等价无穷小量：记为y〜z在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替但是，不是乘除的情 况，不一定能这样做]. X4 + X3 lim(sin -)• 例：求 2.X X sin解：2 28：利用导数的定义求极限导数的定义：函数f (定在/附近有定义,%x，则” =/"。

')一/(/)如果lim — = lim>13川M 存在，则此极限值就称函数f(X)在点七的导数记4、」*°)=1沁/5+—一/(小)为了(/).B|JM在这种方法的运用过程中首先要选 好f(x)然后把所求极限表示成f(x)在定点工lim(x--)-cr^2x例：求T 2解：取f(x)二吟则r 2 lim上三VT用 江f工一一2年2%一依(2.勺lim 乙.V—>—7t X- -2lim T x-三2./ (―) _ (2sec- 2x)|x =—1=29：利用中值定理求极限:1：微分中值定理:若函数f(x)满足(i)在连续.(ii)在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存—使.二华誉「 sin(sin x)-sinx lim 例⑵：求D X解 sin(sin x) - sin x = (sin x - x) - cos [ ^ • (x - sin x)+x] (0<^< 1)limsin(sin x)-sinx(sin x - x)・ cos [6・(x - sin x) + x]八，.cos X -1 cos 0-lim1)3厂.. 一 sinxInnI 6x£-62：积分中值定理：设函数f(x)在闭区间［〃网上连续;g(x)在［&”】上不变号 且可积，则在,例上至少有一点§使得⑴训t 〜lim 例：求iJ。

JTlim Jsin'ja氏 解:〃fxJlim sixn - 5 •(三 — 0)2x ・ 4 k—lim(sin^);r—4 n—810：洛必达法则求极限:0 OO洛必达法则只能对6或N型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则洛必达法则只说明当g'W等于A时，那么g*）也存在且等于A.如果 g（幻不存在时，并不能断定 冢工）也不存 limZW 在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论 双幻 In sin mx lim例［1］：⑴求D In sin以lim xr(2)求 I"解:/、, lim In sin nvc = lim In sin nx =(1) ill D3所以上述极限是8待定型,・ In sin mx y. m cos mx - sin nx m sin nx lim lim —・ —• limif) In sin nx =工一n cos nx • sin //lv = n sin mx =1 lim xx、.⑵i它为型由对数恒等式可得炉=/mlim Xx则dnxi 二 e一 lim x - In x = lim —— = 0D.XTO. 1x- hm .V 0x *皿 =e = 111:利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f（x） o把所求极限的和式 表示成f（x）在某区间上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。

例:求〃-X 〃 n2 +\2 n2 +22解:由于〃 + “2+22 ++ IV + (/I - I)2可取函数f(x)== 区间为［°/上述和式恰好是1了■在［°，1］上n等分。